WIFI 協(xié)議中的 beamforming，需要回傳 beamforming matrix，實(shí)際上就是回傳信道系數(shù)矩陣 SVD 分解后的 V，當(dāng)然，傳的是 V 中 一部分而不是全部，后面我們?cè)僮鲈敿?xì)解釋。
這個(gè)回傳，有一種 compressed (壓縮) 的方式，就是對(duì) 回傳的向量做壓縮，減少回傳的數(shù)據(jù)量。
（錄制的視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1xP411777k/）

WIFI 協(xié)議中的公式看起來(lái)很復(fù)雜，下面這個(gè)公式，是回傳后，接收方重建 beamforming matrix 的公式：

這個(gè)公式看起來(lái)很復(fù)雜，我們今天來(lái)分解一下看看。

我們以 beamforming matrix 是一個(gè) 4x2 的矩陣為例：

我們知道， SVD 分解后得到的 V 矩陣，其列向量是相互正交的，且都是單位向量，即其模長(zhǎng)為 1.

上面的 V 可以理解為是 三維空間中的兩個(gè)正交向量，但是，不在坐標(biāo)軸上。我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)，讓其與兩個(gè)坐標(biāo)軸重合。V 矩陣一般是一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣，我們要使用的旋轉(zhuǎn)的方法，是基于實(shí)數(shù)矩陣的，所以，要先把 V 矩陣變成實(shí)數(shù)矩陣，然后再旋轉(zhuǎn)。



1) 對(duì)每一列做一個(gè)相位調(diào)整，使得每一列的最后一個(gè)元素是實(shí)數(shù)。這個(gè)調(diào)整的相位，不用回傳，因?yàn)橄喈?dāng)于在發(fā)射方，對(duì)每個(gè)發(fā)射天線做統(tǒng)一的相位調(diào)整，不影響正確接收。
2) 對(duì)第一列的前三行的元素，計(jì)算出其相位（記為 ) 然后，對(duì)兩列的前三行，分別做對(duì)應(yīng)相位的調(diào)整，結(jié)果是第一列的前三個(gè)元素也變成實(shí)數(shù)了.? 這個(gè)計(jì)算的過(guò)程，相當(dāng)于乘以了如下的矩陣的共軛版本,? 這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?
? ?

3) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)的角度(記為 )，把第一列第二行的元素變成 0
?? 乘以這個(gè)矩陣，下面這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?

? ?

4) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)的角度(記為 )，把第一列第三行的元素變成 0
?? 乘以這個(gè)矩陣，下面這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?


5) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)的角度(記為 )，把第一列第四行的元素變成 0
?? 乘以這個(gè)矩陣，下面這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?
???

6) 至此，第一列中，只有第一行的元素不為 0 ，應(yīng)該是 1；第二列中的第一行的元素應(yīng)該是 0 （因?yàn)檎坏脑颍谀莻€(gè)坐標(biāo)軸的上的投影為 0 ). 第二列的第四行還是實(shí)數(shù)，但是，第二行和第三行的元素，還不能確保一定是實(shí)數(shù)。
7) 對(duì)第二列的第二行和第三行計(jì)算對(duì)應(yīng)的相位(記為 ，然后對(duì)兩列的第二行和第三行做相位調(diào)整，因?yàn)榈谝涣械牡诙泻偷谌卸际?0， 因此，調(diào)整后，第二列的第二行和第三行也是 實(shí)數(shù)。
?? 這個(gè)計(jì)算的過(guò)程，相當(dāng)于乘以了如下的矩陣的共軛版本,? 這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?
???

8) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)的角度(記為 )，把第二列第三行的元素變成 0
?? 乘以這個(gè)矩陣，下面這個(gè)矩陣就是公式中的?? ?

9) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)的角度(記為 )，把第二列第四行的元素變成 0
?? 乘以這個(gè)矩陣，下面這個(gè)矩陣就是公式中的?

? ?

10) 至此，第二列的第三行和第四行也是 0， 且第二行元素不為 0，應(yīng)該是 1.

最后，接收方可以根據(jù)這 ? 和 ?相位，重建 beamforming matrix? V:

其中 T 表示轉(zhuǎn)置，其實(shí)就是相位的反方向旋轉(zhuǎn)，例如：

一個(gè)向量左乘這個(gè)矩陣，就相當(dāng)于對(duì)這個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?角度。
如果要順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?角度，也就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?角度，把這個(gè)代入上面的矩陣中：


則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$ \psi_{41}$ 角度，就是對(duì)向量左乘 $G_{41}^T$.

**附錄**：

旋轉(zhuǎn)角度的計(jì)算：

將 ?這個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)變成 0 ，也就是把這個(gè)向量旋轉(zhuǎn)到垂直于 “不包括這個(gè) ? 坐標(biāo)軸的超平面 ”