Part 1?同區(qū)域異數(shù)弱關(guān)系的引入

首先我們來看一則示例。

如圖所示，觀察這條鏈：

按照原始定義，設(shè)r1c1(3)為假，則我們可以得到r1c4(3)真。根據(jù)接下來就推不動(dòng)了，接下來嘗試使用弱關(guān)系的新定義來說明是否r1c4(3)-r2c46(5)。如果弱關(guān)系即“不可同真”，那r1c4(3)和r2c46(5)是否可以同真。

如果同真，則r1c4 = 3，并且r2c46(5)區(qū)塊成立，而r2c46(5)區(qū)塊成立，指的是r2c46其中一格是5。觀察涂色的r1c4和r2c46這三個(gè)單元格，在b2之中，填入1和9的位置只可能是這三格。這樣就意味著，里面至少得需要兩個(gè)單元格夠1和9填入?？墒?，剛才同真后，一格被數(shù)字3占據(jù)了，一格被5區(qū)塊的數(shù)字5占據(jù)了，就只剩下唯一一個(gè)單元格了。這樣就不夠1和9填入了，所以顯然是矛盾的。所以，r1c4(3)和r2c46(5)不可同真。故r1c4(3)和r2c46(5)是弱關(guān)系。

弱關(guān)系即推得r2c46(5)為假。所以最后得到r2c13(5)為真，于是構(gòu)成區(qū)塊不連續(xù)環(huán)。刪除的交集就是r1c1(5)了，所以r1c1 <> 5。

這個(gè)結(jié)構(gòu)則是區(qū)塊不連續(xù)環(huán)，并帶有一個(gè)特別的結(jié)構(gòu)，說它是ALS，又有些不像，因?yàn)樗玫氖钱悢?shù)弱關(guān)系。它就被稱為弱ALS（Weak ALS，簡(jiǎn)稱WALS）。比如圖中的{r1c4, r2c46}就構(gòu)成一個(gè)WALS區(qū)域。

我們?cè)賮砜磧蓜t例子。

如圖所示，這條鏈比較麻煩，但邏輯很清晰。

當(dāng)我們得到r9c1(1)為真時(shí)，必須讓r5c1(7)為假。答案是顯然的，因?yàn)樵赾1上只有r12569c1五個(gè)單元格里才能放下3、4、6、9四種數(shù)字，而當(dāng)如果r9c1(1)和r5c1(7)同真時(shí)，會(huì)占據(jù)其中兩個(gè)單元格，導(dǎo)致還剩下三個(gè)單元格，此時(shí)3、4、6、9是無法完整放進(jìn)去的，所以會(huì)出現(xiàn)矛盾。后面的邏輯將比較清晰，這里就不討論了。

我們?cè)賮砜醋詈笠粋€(gè)例子。

如圖所示，我們來看這一則示例。這一則示例里是跨區(qū)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的弱關(guān)系。實(shí)際上，這個(gè)示例并不難，可以看到，如果r3c78(3)和r9c9(1)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)同真，則會(huì)導(dǎo)致一個(gè)ALS區(qū)域只能放2，出現(xiàn)矛盾，所以不同真，即弱關(guān)系成立。

不過實(shí)際上，這個(gè)例子使用的是ALS而不是WALS。

Part 2 WALS 的利用

實(shí)際上，WALS我們很少去使用它，除非是特殊情況，比如為了縮短鏈的長(zhǎng)度，才會(huì)刻意去尋找這種弱關(guān)系（當(dāng)然，ALS的強(qiáng)關(guān)系也會(huì)去找，所以它確實(shí)不是特別實(shí)用）。

那么，WALS和ALS不同，它的使用則更為古怪。

如圖所示，我們先假設(shè)圖中b2內(nèi)，只有r1c4和r3c45這三個(gè)單元格可以填1和2。這樣一來，{r1c4, r3c45}(12)就是一個(gè)WALS區(qū)域，而3和4里面最多只有一個(gè)數(shù)可以放到里面。那么，最容易可以得到的一個(gè)結(jié)論就應(yīng)該為：這個(gè)WALS區(qū)域內(nèi)，任一格的3和任另外一格的4構(gòu)成弱關(guān)系，因?yàn)樗鼈儾豢赏?，否則1和2不夠填。比如，這個(gè)例子里面，r1c4(3)-r3c5(4)是成立的。

由于弱關(guān)系是“不可同真”，所以我們?cè)賮硭伎家幌?，還有什么結(jié)構(gòu)為真時(shí)也會(huì)占據(jù)一格（或者至少一格）的位置呢？就是區(qū)塊了。來思考一下，r13c4(3)-r3c5(4)可以嗎？答案是可以的。因?yàn)橥鏁r(shí)，r13c4(3)區(qū)塊成立，即r13c4其中有一格是3，而同真意味著r3c5是4，那么一定存在兩個(gè)不同的單元格，使得其中一格是3、另外一格是4了。這樣依然會(huì)把1和2擠到一格之內(nèi)，使得不能填數(shù)。所以這個(gè)情況依然成立。而且比如r13c4(3)-r3c45(4)也可以。兩個(gè)區(qū)塊同真時(shí)，r13c4一格是3，r3c45一格是4，雖然r3c4一格是被兩個(gè)區(qū)塊共用的單元格，但很明顯，當(dāng)r3c4被3或4的其中一個(gè)數(shù)占據(jù)時(shí)，那另外一個(gè)數(shù)顯然就不能再占據(jù)r3c4啦，因?yàn)?和4肯定不同格。所以，兩個(gè)區(qū)塊為真，依然會(huì)占據(jù)這個(gè)WALS里面的其中兩個(gè)單元格，那剩下一格根本不夠填入兩種數(shù)字3和4，所以矛盾了，故這個(gè)弱關(guān)系還是成立的。

甚至是更奇葩的弱關(guān)系：r13c4(3)-r1c4(4)，這樣也是成立的哦！只是這樣寫法還不如直接寫成r3c4(3)-r1c4(4)。所以在WALS區(qū)域下，任意兩個(gè)非“僅填入此區(qū)域”的候選數(shù)的部分都是弱關(guān)系。說白了，“僅填入此區(qū)域”指的是這里的數(shù)字1和2。

最后，總結(jié)和對(duì)比一下強(qiáng)ALS和弱ALS的特征和強(qiáng)弱關(guān)系的使用：

強(qiáng)ALS

• 規(guī)則：在同一區(qū)域下，n個(gè)單元格內(nèi)有(n+1)種候選數(shù)。

• 強(qiáng)關(guān)系：任意多種數(shù)字之間，按候選數(shù)種類分成任意兩個(gè)部分都是強(qiáng)關(guān)系。

弱ALS

• 規(guī)則：在同一區(qū)域下，只有(n+1)個(gè)單元格可以讓n種候選數(shù)填入。

• 弱關(guān)系：任意兩個(gè)不是“僅填入此區(qū)域”的候選數(shù)部分都是弱關(guān)系。

Part 3?WALS的互補(bǔ)視角

實(shí)際上，WALS也是有互補(bǔ)視角的。ALS的互補(bǔ)視角更類似于隱性數(shù)組，那么WALS的互補(bǔ)視角，則更類似于顯性數(shù)組。

如圖所示，我們將涉及的單元格全部去掉，然后把中間所有的數(shù)對(duì)數(shù)組忽略掉，剩余的單元格構(gòu)成互補(bǔ)的視角。

此時(shí)可以看到，如果r1c4(3)和r2c46(5)同真的話，r3c6則無法填入任何數(shù)字，所以產(chǎn)生了矛盾；而第二個(gè)示例的互補(bǔ)，則是這樣的：

顯然，這個(gè)例子看互補(bǔ)視角也更輕松一些。