2022年阿貝爾獎授予美國數(shù)學(xué)家丹尼斯·帕內(nèi)爾·蘇利文（Dennis Parnell Sullivan），表彰其“在最廣泛意義上對拓撲學(xué)的開創(chuàng)性貢獻，尤其是代數(shù)、幾何及動力學(xué)方面”。數(shù)學(xué)大師蘇利文是當今最有影響力的拓撲學(xué)家之一，對拓撲學(xué)諸多分支作出根本性貢獻，在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域也頗有建樹。他的獲獎實至名歸。年過八旬，蘇利文仍然在數(shù)學(xué)探索之路上。一路走來，有許多朋友、數(shù)學(xué)大師影響了他，而他又像一位引領(lǐng)方向的“司機”，成為了數(shù)學(xué)的掌舵人。

撰文?|?倪憶（加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授）

西蒙斯的“司機”

筆者小時候看過這樣一個故事：愛因斯坦成名后，經(jīng)常被邀請到各個大學(xué)演講。有一次，他的司機對愛因斯坦說：“我聽了您這么多次演講，我自己都會講了，下次可以替您講！”于是愛因斯坦下次果然讓司機冒充他去講，自己則扮作司機。司機講得很成功，但他講完后，臺下有人提問，司機當然回答不出來。司機靈機一動，一指愛因斯坦，說：“這個問題太簡單了，連我的司機都會回答！”愛因斯坦便上臺來，解答了這個問題。

這個故事當然是虛構(gòu)的，但它流傳頗廣，絕不是中文圈所編造出來的。十幾年前，筆者曾經(jīng)聽過著名數(shù)學(xué)家、華爾街大佬西蒙斯（James Simons，1938-）的一場學(xué)術(shù)報告。西蒙斯開場便講了這個故事，然后他說：“今天大家要是有什么問題，我答不出來的，就去問我的司機……”

西蒙斯說的“司機”，就是聽眾席中的丹尼斯·帕內(nèi)爾·蘇利文（Dennis Parnell Sullivan，1941-）。那次報告，西蒙斯講的是跟蘇利文合作的關(guān)于微分上同調(diào)的工作。所謂“去問司機”，只是一個活躍氣氛的自嘲式笑話。進入華爾街之前，西蒙斯已經(jīng)是一流的數(shù)學(xué)家。他曾在1976年獲得幾何、拓撲界最高獎——維布倫獎。他與陳省身先生（1911-2004）合作完成的陳-西蒙斯理論在幾何、拓撲和理論物理中都有著非常重要的作用。西蒙斯離開學(xué)術(shù)界前發(fā)表的最后一篇論文是“微分上同調(diào)”這一領(lǐng)域的經(jīng)典文獻。二十多年后，西蒙斯重回數(shù)學(xué)研究，很自然地延續(xù)了當年的工作，跟他的同事蘇利文合寫了幾篇重要論文。

西蒙斯這人絕頂聰明，眼界也非常高。離開學(xué)術(shù)界之前，他總共發(fā)表過不到十篇論文，合作者都是大師級數(shù)學(xué)家。重回數(shù)學(xué)研究后，跟他合作的“司機”蘇利文，是數(shù)學(xué)界的一代宗師，獲得過無數(shù)榮譽。蘇利文最新得到的獎勵是在2022年3月23日，由挪威科學(xué)與文學(xué)院頒發(fā)的數(shù)學(xué)界最高獎——阿貝爾獎。

蘇利文丨圖源：紐約州立大學(xué)石溪分校

蘇利文獲得阿貝爾獎，可謂是實至名歸。他是過去半個世紀里最有影響的拓撲學(xué)家之一，對拓撲學(xué)的許多分支都作出了根本性的貢獻。但他的工作不僅僅是拓撲學(xué)，還包括動力系統(tǒng)、微分幾何、數(shù)學(xué)物理等等。他研究中使用的工具異常廣泛，來源于代數(shù)、數(shù)論、幾何、分析、理論物理等不同領(lǐng)域。阿貝爾獎頒獎辭中說，授獎“以表彰其在最廣泛意義上對拓撲學(xué)的開創(chuàng)性貢獻，尤其是代數(shù)、幾何及動力學(xué)方面”，可謂十分精準地概括了蘇利文的研究風格。

領(lǐng)袖群倫的掌舵人

蘇利文本科就讀于萊斯大學(xué)。他起初的專業(yè)是化學(xué)工程。在數(shù)學(xué)課上學(xué)到了復(fù)分析里的黎曼映射定理后，他被深深地震撼了，決定轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)專業(yè)。他于1966年在普林斯頓大學(xué)獲得博士學(xué)位，導(dǎo)師是威廉·布勞德（William Browder，1934— ）。畢業(yè)后，他先后在英國華威大學(xué)、加州大學(xué)伯克利分校、麻省理工學(xué)院、巴黎第十一大學(xué)短期工作。蘇利文從1974年到1997年擔任法國國際高等科學(xué)研究院（IHéS）的終身教授，從1996年至今是紐約州立大學(xué)石溪分校教授。從1981年起，他在紐約城市大學(xué)研究生院兼任愛因斯坦講席教授。

在紐約城市大學(xué)，蘇利文組織了著名的愛因斯坦講席討論班，邀請世界各地的數(shù)學(xué)家前來做報告。這個討論班沒有時間限制，聽眾可以隨意提問。一次報告正常情況下都會超過三個小時，最長紀錄則是六個半小時。

有蘇利文參加的報告永遠不會冷場，因為他總是坐在前排，而且?guī)缀趺看味紩釂?。在筆者參加過的一次會議上，某位演講者因為時間沖突，沒有親身前來，只是通過事先錄制的視頻發(fā)表演講。但會議現(xiàn)場的音響出了問題，效果很差。在這種情況下，絕大多數(shù)與會者都早早離開了。留下聽講的只有寥寥一二十人，其中就有蘇利文。他仍然坐在第一排，興致盎然地看著錄像，即使已經(jīng)不可能提問。

蘇利文對年輕人非常友善，經(jīng)常慷慨地分享自己的想法。我讀博期間，在某次會議后搭便車，跟他坐一輛車。我當時正好要用到蘇利文上世紀70年代一個關(guān)于葉狀結(jié)構(gòu)的定理，但需要一個更強的版本，便借機問他這個更強的版本是否正確。蘇利文當即便告訴我他的一些想法，建議我去嘗試一下證明。個人能力所限，我并沒有太聽懂他說的話，但卻能從中感受到他的熱情與坦誠。這是我同他很少的個人接觸之一。

蘇利文不吝于給予后輩贊美。令我印象深刻的一件事，是在一次會議上，Mohammed Abouzaid做了一個關(guān)于鄰近拉格朗日子流形猜想的報告。報告結(jié)束后，蘇利文對主持人說，他有一句評論。接過話筒，蘇利文只說了一個感嘆詞“哇喔！”（Wow）。這是我見證過的對報告人最不同尋常的贊揚。

2011年，在石溪召開了一個慶祝蘇利文七十歲生日的會議。數(shù)學(xué)界的這種會議通常最多一個星期，但蘇利文涉足的領(lǐng)域太多，影響太過深遠，所以他的生日會議開了十天。根據(jù)安排，在倒數(shù)第二天晚上，將在西蒙斯家中舉行一個大型宴會。所有與會者屆時在會場外集合，一起乘車前往。結(jié)果到了那天下午，會場周圍一下子多出了許多生面孔。好些人看模樣就不像是學(xué)數(shù)學(xué)的，多半是與會者的親友團，想去一起蹭吃蹭喝，并見識一下億萬富翁的豪宅。

最后要去赴宴的人數(shù)保守估計是日常與會人數(shù)的兩倍以上，這讓會議組織者們壓力山大。不說別的，光是事先安排接送的加長轎車都遠遠不夠。下午最后一個報告結(jié)束后，一位秘書上臺講話，說來的人太多了，無法讓所有人都去宴會。為了讓西蒙斯先生以后還能給大家辦宴會，這次必須要秘書們篩選一遍，她們認可的人才能上車。自然，許多人十分失望，但也理解組織者們的顧慮。

這時蘇利文神情冷峻，拿起手機，一邊打電話一邊走出會場。不一會兒，蘇利文回到會場，大手一揮：“沒問題了，所有人都可以去！”以蘇利文的作風，大概是直接給西蒙斯打電話，讓他同意擴大宴會規(guī)模。最終，組織者增派了許多車輛，調(diào)撥了更多人力物力，讓宴會得以成功舉辦，賓主盡歡。

可以說，蘇利文身上有著一種帶頭大哥的氣質(zhì)。他不光是學(xué)術(shù)出類拔萃，人格魅力上也自帶領(lǐng)袖氣場。從這個角度來看，西蒙斯說蘇利文是“司機”不全然是玩笑話。他當之無愧地是數(shù)學(xué)界的一位掌舵人。

有理同倫論

蘇利文最早的工作是非常純粹的拓撲學(xué)。在他的博士論文里，蘇利文極大地發(fā)展了拓撲學(xué)里的手術(shù)理論，并用這一工具把組合拓撲學(xué)里的“主猜想”（Hauptvermutung）化為對特定的上同調(diào)類的計算。這篇200頁的博士論文沒有正式發(fā)表在學(xué)術(shù)期刊上。蘇利文僅僅是在《美國數(shù)學(xué)會簡報》上發(fā)表了一篇3頁的研究報告，該報告為他贏得了1971年的維布倫獎。（根據(jù)維布倫獎的評獎規(guī)則，獲獎?wù)撐谋仨毷窃谶^去六年中發(fā)表于正式期刊上。蘇利文實際的獲獎工作包含在沒有正式發(fā)表的博士論文里，所以獲獎的是那篇發(fā)表的研究報告。）

在蘇利文的博士論文答辯中，答辯委員會成員斯廷羅德（Norman Steenrod，1910-1971）提問道：“你這個理論很好，但怎么計算這些上同調(diào)類呢？”蘇利文當時并不知道答案，只能抱怨說：“沒有人對Hirsch-Mazur光滑化理論提出同樣的問題！”

蘇利文沒有記錄下斯廷羅德當時的反應(yīng)，但他自己顯然對這個回答并不滿意。隨后乘船前往英國的旅途中，他苦苦思索這一問題，其間一度絕望地把自己的筆記扔進大海。他最終得到了部分解答，并受此啟發(fā)，做出了他最重要的工作之一：有理同倫論。

拓撲學(xué)里有兩個基本不變量：同調(diào)群和同倫群。其中同調(diào)群有現(xiàn)成的算法可以計算，同倫群的計算則十分困難，沒有一般的計算方法。1951年，法國數(shù)學(xué)家塞爾（Jean-Pierre Serre，1926-）發(fā)展了“譜序列”方法，并以之計算出了球面的有理系數(shù)的同倫群（簡稱有理同倫群）。塞爾因此獲得了1954年的菲爾茲獎，是迄今為止最年輕的獲獎?wù)摺?/p>

塞爾的工作提示大家，有理同倫群的計算比一般的同倫群簡單得多。1969年左右，蘇利文和奎倫（Daniel Quillen，1940—2011，1978年菲爾茲獎得主）建立了有理同倫論，使得有理同倫群的計算成為可能。蘇利文采用的方法跟奎倫不同，通常被認為更適合計算。按照法國科學(xué)院院士étienne Ghys的說法，蘇利文對有理同倫論的創(chuàng)建是“一件美妙的藝術(shù)品”，“這是數(shù)學(xué)歷史上的偉大時刻”。

在建立有理同倫論的過程中，蘇利文綜合使用了來自許多不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的思想和方法。他把微分流形的微分形式推廣到了沒有微分結(jié)構(gòu)的空間里，建立了相應(yīng)的德拉姆定理。他把代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何里的“局部化”、“完備化”思想應(yīng)用于拓撲空間，并把數(shù)論里常出現(xiàn)的“絕對伽羅華群”引入拓撲學(xué)。采用這一套非常代數(shù)的辦法，他獨立證明了同倫論中的亞當斯猜想。（奎倫用不同方法也證明了亞當斯猜想。）

蘇利文的麻省理工講義丨圖源：Amazon

蘇利文建立有理同倫論的工作大部分起初只是以講義形式存在，只有一小部分作為論文發(fā)表在期刊上。他1970年的《麻省理工學(xué)院講義》在圈內(nèi)流傳了三十多年，直到2005年才被整理成書出版。這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)大師中并不罕見。蘇利文當時正處在創(chuàng)造力的高峰期，有著大量的新想法。對這樣的頂級數(shù)學(xué)家來說，與其花費時間精力去精雕細琢自己的論文，回復(fù)審稿人的各種問題，不如去開拓新的領(lǐng)域，把細節(jié)留給別人來填補。這樣做對數(shù)學(xué)的貢獻反而會更大。

大師之間的友誼

1974年，蘇利文在國際數(shù)學(xué)家大會上做了題為《流形的內(nèi)與外》的全會報告。他指出，在有理同倫論建立之后，高維單連通流形的拓撲分類已經(jīng)接近完成。接下來要關(guān)注的，應(yīng)該是動力系統(tǒng)、葉狀結(jié)構(gòu)等更能反映流形內(nèi)部幾何性質(zhì)的研究方向。他本人身體力行，在接下來的二十多年中研究流形的幾何性質(zhì)，包括動力系統(tǒng)、雙曲幾何、群作用等等。他這方面的工作，很大程度上是受到了瑟斯頓（William Thurston，1946-2012，1983年菲爾茲獎得主）的影響。

年輕時的瑟斯頓丨圖源：philosophyofscienceportal.blogspot.com

1971年，蘇利文訪問伯克利。一天，他去聽一場關(guān)于二維動力系統(tǒng)的報告。報告人講完后，前排坐著的資深數(shù)學(xué)家們都沒有什么異議，后排卻有一個大胡子長頭發(fā)年輕人站起來，說報告中使用的算法不正確。然后這個年輕人就走上講臺，在黑板上畫了一個例子。把報告中的算法應(yīng)用到這個例子里，圖形變得越來越復(fù)雜，以至于這個算法不能成立。這個年輕人就是瑟斯頓，當時還是一個研究生，而蘇利文已經(jīng)是維布倫獎得主，當世頂尖的拓撲學(xué)家。盡管如此，蘇利文對瑟斯頓表現(xiàn)出來的幾何直覺仍然十分欽佩。

幾天以后，蘇利文被伯克利的研究生們邀請去在樓里粉刷壁畫。瑟斯頓正在墻上畫一條非常復(fù)雜的曲線，他問蘇利文：“你覺得這值得畫嗎？”

蘇利文問：“這是什么？”

“一條簡單閉曲線。”

“你最好賭它足夠有趣！”

于是瑟斯頓和蘇利文便花了幾個小時，把這幅壁畫完成。這幅畫在伯克利的數(shù)學(xué)樓里保存了將近四十年才被覆蓋。

瑟斯頓和蘇利文所粉刷的壁畫丨圖源：Notices of the AMS

簡單閉曲線就是只有一個分支的閉合曲線，但它可以非常復(fù)雜。在當年，連蘇利文這樣的頂級拓撲學(xué)家都沒有意識到這一點。瑟斯頓向蘇利文解釋了怎樣構(gòu)造出這樣的曲線，以及怎樣把它畫得漂亮。對蘇利文來說，這無疑是一場幾何思想的洗禮。蘇利文說，若干年后，他之所以不費太大力氣就能理解瑟斯頓在曲面映射方面的工作，就是因為當初刷墻的幾個小時里已經(jīng)學(xué)到了其中的思想。

在七十年代后期，瑟斯頓把雙曲幾何引入低維拓撲的研究，使得低維拓撲跟雙曲幾何、克萊因群、泰希米勒理論、復(fù)動力系統(tǒng)等許多領(lǐng)域聯(lián)系起來。蘇利文在這些相關(guān)領(lǐng)域里做了大量的基本工作。他最重要的貢獻并不是證明了一個個具體的定理，而是從哲理的高度，提出了一個根本性的指導(dǎo)原則——“蘇利文字典”。

最早版本的蘇利文字典，來自其原始論文

蘇利文發(fā)現(xiàn)，克萊因群與復(fù)動力系統(tǒng)有諸多相似之處，很多概念和定理都可以一一對應(yīng)起來。運用這個被稱為“蘇利文字典”的對應(yīng)關(guān)系，可以設(shè)法把一個領(lǐng)域中已有的概念和理論類比到另外一個領(lǐng)域中，或者用一個領(lǐng)域里的思想方法解決另外一個領(lǐng)域中的未知問題。“蘇利文字典”在克萊因群和復(fù)動力系統(tǒng)里催生了大量的研究，被成功用來解決許多難題，深刻地改變了這兩個學(xué)科的面貌。蘇利文本人用這一原則解決了復(fù)動力系統(tǒng)創(chuàng)始人Fatou和Julia遺留下來的有65年歷史的難題。瑟斯頓的幾何化綱領(lǐng)也深受蘇利文字典的影響。

曼德布洛特集是復(fù)動力系統(tǒng)研究的重要對象，在蘇利文字典里也有一席之地丨圖源：維基百科

像蘇利文一樣，瑟斯頓最重要的工作沒有發(fā)表，僅以普林斯頓大學(xué)講義的形式存在。在這個講義里，瑟斯頓重新發(fā)現(xiàn)了“圓填充”（circle packing）的概念。但瑟斯頓講義中包含的數(shù)學(xué)過于豐富，以至于圓填充起初沒有得到學(xué)界的重視。在1985年的一次演講中，瑟斯頓猜測，利用圓填充可以給復(fù)分析里的黎曼映射定理一個簡單的構(gòu)造性證明。瑟斯頓的這個猜想在1987年被Burt Rodin和蘇利文所證明。以此為起點，圓填充得到了大量關(guān)注，逐漸發(fā)展成了一個獨立的領(lǐng)域，并在計算機可視化里有許多應(yīng)用。

圓填充的一個例子。圖中三角形和圓形內(nèi)部的圓填充有著同樣的組合模式，但三角形內(nèi)部用到的圓大小相同，圓形內(nèi)部的圓大小不同。丨圖源：Notices of the AMS

蘇利文和瑟斯頓的友誼持續(xù)了四十多年，彼此都從中獲益良多。瑟斯頓因病逝世后，蘇利文一氣呵成地寫出了一篇回憶文章，講述他們兩人交往過程中發(fā)生的十一個故事。

來自物理學(xué)的影響

從上世紀80年代開始，物理學(xué)對純數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了出人意料的影響。這方面最著名的例子就是唐納爾森（Simon Donaldson，1957-，1986年菲爾茲獎得主）用規(guī)范場論構(gòu)造出了四維微分流形的不變量，以及威騰（Edward Witten，1951-，1990年菲爾茲獎得主）等物理學(xué)家發(fā)展的弦理論對數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的沖擊。在這個物理學(xué)引發(fā)的大潮里，蘇利文同樣站在時代前沿。

1989年，蘇利文與唐納爾森合作，把唐納爾森理論推廣到了四維擬共形流形。這是他在80年代為數(shù)不多的拓撲工作之一。

1999年，部分地受到威騰的啟發(fā)，蘇利文和他的現(xiàn)任妻子Moira Chas定義了“弦拓撲”，并發(fā)現(xiàn)了上面的李代數(shù)結(jié)構(gòu)。“弦拓撲”這個名字就暗示著其思想來源于弦理論。（弦拓撲最簡單的例子早先由瑟斯頓的學(xué)生William Goldman發(fā)現(xiàn)。）弦拓撲在辛幾何和量子場論中都有廣泛應(yīng)用，是當前的研究熱點。

蘇利文是一個對物理學(xué)抱有開放態(tài)度的數(shù)學(xué)家，他對物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有所關(guān)注，并不光是規(guī)范場論和弦理論這種基礎(chǔ)理論。他關(guān)于費根鮑姆常數(shù)的工作就是一個例子。

1975年，洛斯阿拉莫斯實驗室的物理學(xué)家費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）在研究單峰映射的迭代時，通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)了“倍周期分岔”。這是一種重要的混沌現(xiàn)象，在物理學(xué)的許多分支里有著廣泛的應(yīng)用。費根鮑姆因此獲得了1986年的沃爾夫物理學(xué)獎。

單峰映射的分岔圖。其中每一個二股叉長度與下一個二股叉長度的比值的極限是第一費根鮑姆常數(shù)，每一個二股叉寬度與適當選取的下一個二股叉寬度的比值的極限是第二費根鮑姆常數(shù)丨圖源：維基百科

在倍周期分岔里，出現(xiàn)了兩個常數(shù)4.669201...和2.502907...，分別被稱為第一費根鮑姆常數(shù)和第二費根鮑姆常數(shù)。費根鮑姆等人采取物理學(xué)家常用的“重整化”方法，在計算機輔助下證明了這兩個常數(shù)在很大一類動力系統(tǒng)里都有著同樣的值，是跟π和e一樣的普適性常數(shù)。從幾何上說，這意味著分岔圖在這些動力系統(tǒng)里都有著相似的形狀。

然而，從數(shù)學(xué)家的角度來看，物理學(xué)家的證明并不嚴格，而且計算機的輔助讓人類難以真正理解其中的意義。許多動力系統(tǒng)專家開始尋找一個對于費根鮑姆常數(shù)普適性的純數(shù)學(xué)證明。蘇利文在這其中起到了關(guān)鍵作用。他用泰希米勒理論給出了一個數(shù)學(xué)證明的綱領(lǐng)，并且證明了重整化映射的收斂性。他的學(xué)生麥克馬倫（Curtis McMullen，1958-，1998年菲爾茲獎得主）證明，這個問題在蘇利文字典里對應(yīng)于瑟斯頓的映射環(huán)面上雙曲結(jié)構(gòu)存在性定理。最終，蘇利文在石溪的同事，烏克蘭裔數(shù)學(xué)家柳比奇（Mikhail Lyubich，1959-）在1999年給出了普適性的第一個數(shù)學(xué)證明。

蘇利文對流體力學(xué)一直非常感興趣。他在萊斯大學(xué)讀本科時，暑假經(jīng)常到石油公司實習(xí)，所做的工作就是用計算機求解線性化的納維-斯托克斯方程。在過去三十年里，蘇利文從代數(shù)拓撲的角度思考流體力學(xué)，尤其是納維-斯托克斯方程。這是一個過于復(fù)雜的領(lǐng)域，蘇利文雖然已經(jīng)發(fā)表了一些論文，有的還發(fā)表在一流雜志上，但尚未取得任何讓他滿意的階段性成果。按他自己的話來說，他對這個主題已經(jīng)理解得越來越多，但仍然在嘗試。

人們常說，數(shù)學(xué)是年輕人的學(xué)科。但八旬高齡的蘇利文至今仍然活躍在科研一線，積極學(xué)習(xí)各個領(lǐng)域的最新進展，并嘗試開拓更多的研究方向。對于蘇利文來說，數(shù)學(xué)探索沒有禁區(qū)，更沒有盡頭。