第1章神奇整數(shù)探求

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1.1 水仙花數(shù)與蘭德爾數(shù)

蘭德爾（Randle）數(shù)又稱自方冪數(shù)。

蘭德爾數(shù)：一個n（n≥3）位正整數(shù)如果等于它的n個數(shù)字的n次冪之和，那么該數(shù)稱為n位蘭德爾數(shù)，又稱自方冪數(shù)。

如：370 = 3的三次方 + 7的三次方 = 27 + 343 = 370

當(dāng)n=3時稱為水仙花數(shù)，當(dāng)n=4時稱為四葉玫瑰花數(shù)，當(dāng)n=5時稱為五角星數(shù)，當(dāng)n=6時稱為六合數(shù)，當(dāng)n=7時稱為北斗七星數(shù)，當(dāng)n=8時稱為八仙數(shù)，等等。

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【編程題】

搜索n(3 ≤?n≤?8)位蘭德爾數(shù)。

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1.2 倍和數(shù)與倍積數(shù)

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由n個互不相同的數(shù)字（可含數(shù)字0）組成的n位整數(shù)x，若是其n個數(shù)字之和s的整數(shù)m倍，即有x=m×s，則稱整數(shù)x為n位優(yōu)美倍和數(shù)，整數(shù)m為對應(yīng)的倍數(shù)。

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如：407的3個數(shù)字之和為11，407=37×11，407就是一個3位優(yōu)美倍和數(shù)，37為相應(yīng)倍數(shù)。

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【編程題】

探索n位優(yōu)美倍和數(shù)及其倍數(shù)m的最大值與最小值。

輸入正整數(shù)n（2≤n≤9），統(tǒng)計n位優(yōu)美倍和數(shù)的個數(shù)，求出倍數(shù)m的最大值與最小值，并輸出對應(yīng)m最大與最小時的n位優(yōu)美倍和數(shù)。

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由n個互不相同的非零數(shù)字組成的n位整數(shù)x，若是其n個數(shù)字之積t的整數(shù)m倍，即有x=m×t，則稱整數(shù)x為n位優(yōu)美倍積數(shù)，整數(shù)m為對應(yīng)的倍數(shù)。

如，3276的4個數(shù)字之積為252，3276=13×252，3276就是一個4位優(yōu)美倍積數(shù)，13為對應(yīng)倍數(shù)。

【編程題】

輸入正整數(shù)n（2≤n≤9），探求n位優(yōu)美倍積數(shù)的個數(shù)，及n位優(yōu)美倍積數(shù)的倍數(shù)m的最大值與最小值，并輸出倍數(shù)m最大與最小時對應(yīng)的n位優(yōu)美倍積數(shù)。

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1.3　平方數(shù)匯趣

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一個整數(shù)的2次冪稱為平方數(shù)（又稱完全平方數(shù)）。例如，36是6的平方，121是11的平方。

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【編程題】

連續(xù)寫偶數(shù)個a，再連續(xù)寫位數(shù)為其一半的2a。搜索哪些數(shù)是平方數(shù)。

為確保2a為一個數(shù)字，要求鍵盤輸入a為1，2，3，4。

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【編程題】

搜索全為偶數(shù)數(shù)字組成且末位非零的n位平方數(shù)。

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【編程題】

不含重復(fù)數(shù)字的完全平方數(shù)稱為優(yōu)美平方數(shù)。

從鍵盤輸入指定位數(shù)n及指定排除數(shù)字個數(shù)m（m+n ≤?10），并依次輸入m個排除數(shù)字，輸出所有滿足以上要求的平方數(shù)。

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1.4 勾股數(shù)與長方體數(shù)

把滿足三元二次方程式x^2 + y^2 = z^2 的正整數(shù)解x,y,z稱為一組勾股數(shù)，又稱畢達(dá)哥拉斯數(shù)。如，著名的勾三股四弦五。

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【編程題】

探求并輸出指定區(qū)間[a, b]內(nèi)的所有勾股數(shù)組。

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如果長方體的棱長x, y, z和長方體對角線長w都是正整數(shù)，那么把它們稱為一組長方體數(shù)，滿足x^2 + y^2 + z^2 = w^2

【編程題】

輸出區(qū)間[a, b]（1≤a<b<10000）內(nèi)的長方體數(shù)組。

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在區(qū)間[a, b]內(nèi)搜尋6個整數(shù)，其中3個整數(shù)是長方體的長、寬、高，另3個整數(shù)是該長方體的6個面的對角線長。

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1.5 完全數(shù)與p-完全數(shù)

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若正整數(shù)n的所有小于n的正因數(shù)之和等于n本身，則稱數(shù)n為完全數(shù)，又稱完美數(shù)。

如6的小于6的正因數(shù)為1，2，3，而6 = 1+2+3，則6是一個完全數(shù)。

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設(shè)正整數(shù)a的小于其本身的因數(shù)之和為s，定義比值p(a) = s/a為整數(shù)a的因數(shù)比。

若整數(shù)的因數(shù)比為某一大于1的整數(shù)p，則稱該整數(shù)為p-完全數(shù)。

如p(120) = 2，則120為2-完全數(shù)；p(32760) = 3，則32760為3-完全數(shù)

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【編程題】

探求指定區(qū)間[x, y]中的完全數(shù)和p-完全數(shù)。

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1.6 卡普雷卡數(shù)

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如整數(shù)等于分兩段和的平方，稱為卡普雷卡數(shù)

如 3025 = (30 + 25) ^2

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【編程題】

探索偶數(shù)n位卡普雷卡數(shù)：偶數(shù)n位整數(shù)分為前后兩個n/2位整數(shù)，該數(shù)等于所分兩個數(shù)和的平方。

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1.7 雅趣守形數(shù)

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若正整數(shù)n是它平方數(shù)的尾部，則稱n為守形數(shù)，又稱同構(gòu)數(shù)。

如，6是其平方數(shù)36的尾部，25是其平方數(shù)625的尾部，6和25都是守形數(shù)。

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【編程題】

探求指定區(qū)間[x, y]中的所有守形數(shù)。

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1.8 逐位整除數(shù)

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定義n位逐位整除數(shù)：從高位開始，高1位能被1整除，高2位能被2整除，高3位能被3整除，以此類推，直至整個n位數(shù)能被n整除。

如，102456就是一個6位逐位整除數(shù)。

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【編程題】

對于指定的正整數(shù)n，搜索有多少個不同的n位逐位整除數(shù)，并找出最大值。

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1.9 神秘的六六大順數(shù)

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由6個不同的數(shù)字組成的一個6位整數(shù)m，m的2倍也是由這6個數(shù)字組成；m的3倍也是由這6個數(shù)字組成；以至m的4，5，6倍也是由這6個數(shù)字組成；這個數(shù)字稱為神奇的“六六大順數(shù)”。

【編程題】

試搜索w(1<w<10)位整數(shù)m，它由不同的w個數(shù)字組成，同時整數(shù)m的k(2≤k≤6)倍整數(shù)都是m的變序數(shù)（即m的組成數(shù)字通過不同排列所得整數(shù)），輸入位數(shù)w，搜索所有滿足以上倍數(shù)特征的整數(shù)m。

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【讀者體會】

這一章介紹了一些神奇的整數(shù)。

如果需要編程找到這些神奇的整數(shù)。

編程設(shè)計要點。枚舉法

1）枚舉。計算并確定數(shù)據(jù)取值范圍，然后循環(huán)依次處理（可以利用數(shù)的一些特征，減小搜索區(qū)間，減少運行時間）

2）分離。依據(jù)定義，分離數(shù)據(jù)中的每個數(shù)字（求余和整除）

3）判別。依據(jù)定義判定。（可以用數(shù)組記錄中間結(jié)果，減小重復(fù)計算）