如果你還沒有看過上一篇專欄，建議先補(bǔ)齊上一篇再繼續(xù)閱讀

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在上一篇專欄中，我們使用初中的方法探討了過圓外一點(diǎn)作該圓的兩條切線，這兩條切線的斜率與點(diǎn)的坐標(biāo)，圓的方程中各系數(shù)的關(guān)系

有很多人在評(píng)論區(qū)給出了自己的解法（雖然好像沒幾個(gè)是初中水平可以推導(dǎo)的??）

那么這一篇專欄則是對(duì)評(píng)論區(qū)中我認(rèn)為可行的方法進(jìn)行求解

不論如何，對(duì)于平面內(nèi)一圓及圓外一點(diǎn)

C:(x-a)2+(y-b)2=r2

K(u,v)

我們還是為了降低計(jì)算量，將圓平移至原點(diǎn)處，同時(shí)將點(diǎn)也進(jìn)行平移工作，以保證兩條切線的斜率不變，那么平移后圓與點(diǎn)變?yōu)椋?/span>

C':x2+y2=r2(r≥0)

K'(u-a,v-b)

同樣的，為了減少計(jì)算量，我們令

m=u-a,n=v-b

于是有K'(m,n)

（注：以下討論的均為|m|≠r的情況）

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第一種解法由@xx-xxl給出

預(yù)備知識(shí)：點(diǎn)到直線的距離公式

首先，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線解析式

y=k(x-m)+n

將其改寫為一般的直線方程

-kx+y+(km-n)=0

由于該直線與圓相切，故圓心到此直線的距離為r，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，我們有：

既

兩邊同時(shí)平方去掉絕對(duì)值，變形得到：

k2m2-2kmn+n2=k2r2+r2

整理為關(guān)于k的一元二次方程：

(m2-r2)k2+(-2mn)k+(n2-r2)=0

對(duì)k求解得到：

正如我所回復(fù)的，這個(gè)方法對(duì)于熟悉點(diǎn)到直線距離公式的人來說十分簡單，要是計(jì)算能力稍強(qiáng)一點(diǎn)的，在五分鐘內(nèi)即可得出答案

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第二種解法由@只打人機(jī)的孩子給出

（在正式求解前說一句，此方法對(duì)二次函數(shù)的切線求解來說較為簡易，但是對(duì)于圓來說計(jì)算量過大，并且計(jì)算難度高，不建議使用）

預(yù)備知識(shí)：圓的參數(shù)方程、隱函數(shù)求導(dǎo)、反三角函數(shù)、三角函數(shù)恒等變換

由這條評(píng)論容易想出這種解法：

設(shè)切點(diǎn)S(p,q)（p2+q2=r2)，則由隱函數(shù)求導(dǎo)可知，過點(diǎn)S的切線斜率為-p/q

而過S和K'兩點(diǎn)的直線斜率為(q-n)/(p-m)

讓二者相等，通過化簡后可以得到這樣一個(gè)等式：

mp+nq=r2

進(jìn)行到這步后，似乎可以用q=√(r2-p2)進(jìn)行換元，但由于p,q正負(fù)的不確定性，我們無法進(jìn)行換元的工作（至少我做不下去了）

這時(shí)我們可以使用另一種方法，使得表示位置的變量的數(shù)量降為1，那就是引入圓的參數(shù)方程

眾所周知，圓心位于原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為：

x=r·cost

y=r·sint

其中t為參數(shù)

通過這個(gè)方法，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（rcosa,rsina)，我們可以得到這樣一個(gè)等式：

化簡得到：

mcosa+nsina-r=0

對(duì)于學(xué)過三角恒等變換的讀者，看到這里應(yīng)該都知道要干什么了吧

沒錯(cuò)！我們可以用三角變換，將原式化為形如

Asin(ωx+φ)+B=0

的形式，此時(shí)再利用反三角函數(shù)即可求出a

我們令T=√(m2+n2)，tan(o)=m/n

這時(shí)原式變?yōu)椋?/span>

Tsin(a+o)-r=0

于是我們可以得到：

（注：此解當(dāng)且僅當(dāng)n≥0時(shí)正確）

那另一個(gè)切點(diǎn)呢？

我們知道，這兩個(gè)切點(diǎn)一定關(guān)于直線y=(n/m)x對(duì)稱（如圖）

又因?yàn)閷?duì)于關(guān)于直線l?對(duì)稱的兩條直線l?,l?，三者與x軸正方向的夾角α?，α?，α?有如下關(guān)系：

α?+α?=2α?

于是可以得到另一個(gè)切點(diǎn)與x軸的夾角b為：

（同樣的，當(dāng)且僅當(dāng)n≥0時(shí)正確）

那么當(dāng)n<0的情況呢？

當(dāng)n<0時(shí)，我們可以看作是n>0的情況進(jìn)行上下反轉(zhuǎn)，故此時(shí)a、b的值是當(dāng)n>0時(shí)的值的相反數(shù)，于是我們可以得到a'與b'為：

這里tan?1(m/n)沒有改變符號(hào)的原因是：

由于n改變了符號(hào)，導(dǎo)致tan?1（m/n)的符號(hào)也發(fā)生了改變，因此連續(xù)兩次變號(hào)使得tan?1(m/n)的符號(hào)重新變回來的負(fù)號(hào)

而在b'中，π的符號(hào)為正的原因則是由于三角函數(shù)的周期性，使得在-π的基礎(chǔ)上加上2π也不會(huì)影響b'的各個(gè)三角函數(shù)值

最后，在知道了兩切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的弧度后，計(jì)算這兩個(gè)角的-cot值即可得出切線斜率，這里不過多闡述（反正算出來和上面的k值是一樣的）

不論如何，能從不同角度思考問題總是好的。在我看來，數(shù)學(xué)靠的就是興趣和好奇心（不然我也就水寫不出這幾篇專欄）

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文章中第二種解法所用圖表：

https://www.desmos.com/calculator/p7p7tfione?lang=zh-CN