如何把點(diǎn)光源射出的光變成平行光？

2023-08-12 22:32 作者:最快最強(qiáng)的hood 0人讀過 | 我要投稿

其實(shí)很簡(jiǎn)單，只需要反光鏡就可以了

只不過，需要的不是一面兩面反光鏡，而是一個(gè)由很多很多小反光鏡組成的曲面

不難推斷，這個(gè)曲面應(yīng)該是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面——放到坐標(biāo)系里就是關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以為了簡(jiǎn)便，就可以在這個(gè)曲面上取一個(gè)截面去分析（打到這個(gè)截面上的光反射后也是平行光）。

我們把這個(gè)截面（一條曲線）放在坐標(biāo)系里，并假設(shè)它的函數(shù)解析式是 $y%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89$ （肯定是個(gè)偶函數(shù)）。將點(diǎn)光源的位置設(shè)作原點(diǎn)。

假設(shè)點(diǎn)光源發(fā)出一道光，這道光的路徑毫無疑問是直線，設(shè)它的解析式為 $y%3Dkx$ （并取定k，x均大于0），與這條曲線的交點(diǎn)記為 $%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89$ 。現(xiàn)在這束光經(jīng)反光鏡反射，變成了一道平行于y軸的光。

但是還有一個(gè)問題：反光鏡的位置和曲線有什么關(guān)系？

從圖中可以看出，反光鏡越多，組成的圖形就越趨近于一條平滑曲線，而反光鏡就是曲線的割線。當(dāng)反光鏡無限增多時(shí)，反光鏡的長(zhǎng)度趨于0，割線也趨近于切線。所以反光鏡應(yīng)該與曲線的切線相重合。

記曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20$ 。由反射定律，反射角等于入射角，那么記入射光線和切線之間夾角為 $%5Calpha%20$ ，那么反射光線與切線夾角也為 $%5Calpha%20$ ，也就是說，入射光線和豎直方向夾角為 $2%5Calpha%20$ 。

由斜率與和坐標(biāo)軸夾角的關(guān)系， $k%3D%5Ccot%202%5Calpha%20%20%EF%BC%8C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%5Ccot%20%5Calpha%20%20$ ，即 $%5Ctan%202%5Calpha%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%EF%BC%8C%5Ctan%20%5Calpha%20%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%7D%20$ ，又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ctan%202x%20%3D%5Cfrac%7B2%5Ctan%20x%20%7D%7B1-%5Ctan%5E2%20x%20%7D%20" alt="%5Ctan%202x%20%3D%5Cfrac%7B2%5Ctan%20x%20%7D%7B1-%5Ctan%5E2%20x%20%7D%20">，所以 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20%3D%5Cfrac%7B2dx%7D%7Bdy%7D%2F1-%5Cfrac%7Bdx%5E2%20%7D%7Bdy%5E2%20%7D%20%20$ ，即 $k%3D%5Cfrac%7Bdy%5E2-dx%5E2%7D%7Bdy%5E2%7D%20%2F2%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D%20dy%5E2-dx%5E2%2F2dxdy%3D%5Cfrac%7Bdy%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D%20-1%2F2%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20$ 。

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=k%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20" alt="k%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20">，所以就得到一個(gè)關(guān)于 $x%EF%BC%8Cy%EF%BC%8C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20$ 的微分方程，下面嘗試去解這個(gè)方程。

變形之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)的一元二次方程。解出來 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cpm%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B1%20%7D%20$ ，這里應(yīng)該舍去負(fù)根，因?yàn)橛蓤D可知，在我們討論的范圍內(nèi)，y的導(dǎo)數(shù)是大于0的。

觀察這個(gè)方程，我們發(fā)現(xiàn)，y和x其實(shí)在這里只有一種組合形式—— $%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%20$ ，那么為什么不干脆把它設(shè)成一個(gè)中間變量u呢，這樣不僅形式簡(jiǎn)潔，也更好計(jì)算（其實(shí)這就是齊次微分方程的處理方法）。

如果我們?cè)O(shè) $y%3Dux$ ，那么就有 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bd%EF%BC%88ux%EF%BC%89%7D%7Bdx%7D%3Du%2Bx%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%20%20%20$ ，對(duì)方程進(jìn)行變形，就得到 $u%2Bx%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Du%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%20%2C%5Cfrac%7Bdu%7D%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bdx%0A%7D%7Bx%7D%20$ ，這樣就變成了可分離變量的一階微分方程，那么對(duì)兩端求不定積分，得： $%5Cint%5Cfrac%7Bdu%7D%7B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%20%7D%20%3D%5Cln%20%7Cx%20%7C$ 。記u=tans，那么左式就變成了 $%5Cint%20secsds$ ，又等于 $%5Cint%20csc%EF%BC%88s%2B%5Cpi%20%2F2%EF%BC%89d%EF%BC%88s%2B%5Cpi%20%2F2%EF%BC%89$ ，記積分變量為r，那么原式就等于 $%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%20cos%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%20%20%7D%20d%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%20%3D%5Cint%5Cfrac%7Bsec%5E2%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7D%7Btan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7D%20d%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%3D%5Cint%5Cfrac%7Bdtan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7D%7Btan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7D%20%3D%5Cln%20%7Ctan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%20%7C$ ，所以 $%5Cln%20%7Ctan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7C%3D%5Cln%7C%20x%20%7C$ ，當(dāng)然還不能忘記常數(shù)，所以 $%5Cln%7C%20tan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7C%3D%5Cln%20%7Cx%7C%20%20%2B%5Cln%20C%3D%5Cln%7C%20Cx%7C$ ， $%7Ctan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%7C%3D%7CCx%7C$ 。又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20" alt="%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20">，所以左式變形為 $tan%5Cfrac%7Br%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Btan%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%20%2B1%7D%7B1-tan%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Btan%5Cfrac%7Barctanu%7D%7B2%7D%2B1%20%7D%7B1-tan%5Cfrac%7Barctanu%7D%7B2%7D%7D%20$ ，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=tanx%3D%5Cfrac%7B2tan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%7D%7B1-tan%5E2%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%20" alt="tanx%3D%5Cfrac%7B2tan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%20%7D%7B1-tan%5E2%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%20">，所以 $tan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B%201%2B%20tan%5E2%20x%20%7D%20%7D%7Btanx%7D$ ，所以原式等于 $%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B1%2Bu%5E2%7D%2Bu%20%7D%7Bu-1-%5Csqrt%7B1%2Bu%5E2%7D%20%7D%20%3D-(u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D)%20$ ，所以 $u%2B%5Csqrt%7Bu%5E2%2B1%7D%3DCx%2Cu%5E2%2B1%3Du%5E2-2uCx%2BC%5E2x%5E2%20$ ，又因?yàn)閥=ux，所以 $2Cy%3DC%5E2x%5E2-1%EF%BC%8Cy%3D%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%20x%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20(Cx%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B4C%7D)%20$ 。