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第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪

步驟——

1. 確定函數(shù)y=f(x)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f"(x)；

2. 求出一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f"(x)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并求出函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)及f'(x)和f"(x)不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間；

3. 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)f'(x)和f"(x)的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；

4. 確定函數(shù)圖形的水平，鉛直漸近線以及其他變化趨勢；

5. 算出f'(x)和f"(x)的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形上相應(yīng)的點(diǎn)；為了把圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)；然后結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)y=f(x)的圖形。

第七節(jié) 曲率

一、弧微分

概念——

• 弧：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線y=f(x)上取固定點(diǎn)M0(x0,y0)作為度量弧長的基點(diǎn)，并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向，對曲線上任一點(diǎn)M(x,y)，規(guī)定M0到M的有向線段的值s（簡稱為弧s）如下：

  s的絕對值等于這弧段的長度，當(dāng)有向線段M0到M的的方向與曲線的正向一致時s>0，相反時s<0——弧s與x存在函數(shù)關(guān)系：s=s(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)。

• 弧微分公式：

二、曲率及其計算公式

概念——

• 平均曲率：弧段MM'的長度為|Δs|，當(dāng)動點(diǎn)從M移動到M'時切線轉(zhuǎn)過的角度為|Δα|，我們用比值|Δα/Δs|，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段MM'的平均彎曲程度，把這比值叫做弧段MM'的平均曲率。

• 曲率：平均曲線在Δs→0時（即M'→M時），上述平均曲率的極限叫做曲線C在點(diǎn)M處的曲率，記作K，即
  

三、曲率圓與曲率半徑

概念——

• 曲率圓：設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為K(K≠0)，在點(diǎn)M處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D，使|DM|=1/K=ρ，以D為圓心，ρ為半徑作圓，這個圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓。

• 曲率中心：曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率中心。

• 曲率半徑：曲率圓的半徑ρ叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑。

關(guān)系——

1. 曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K≠0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑ρ有如下關(guān)系，ρ=1/K，K=1/ρ；

2. 含義：曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)。

四、曲率中心的計算公式 漸屈線與漸伸線

概念——

• 漸屈線：當(dāng)點(diǎn)(x,f(x))沿曲線C移動時，相應(yīng)的曲率中心D的軌跡曲線G稱為曲線C的漸屈線；

• 漸伸線：曲線C稱為曲線G的漸伸線。