按：本文是 NH Flecture教授晚年（時(shí)年74歲）所撰寫(xiě)的論文。該文選擇了音樂(lè)聲學(xué)史上一直以來(lái)的空白點(diǎn)，即閉管的邊棱音樂(lè)器——排簫進(jìn)行研究，雖然并不特別深入細(xì)致，但因其開(kāi)創(chuàng)性而顯得甚為稀有。

原文標(biāo)題《Stopped-pipe wind instruments: Acoustics of the panpipes》，

原文下載地址：? https://newt.phys.unsw.edu.au/music/people/fletcherpublications.html

原名：閉管的管樂(lè)器：排簫的聲學(xué)

摘要：

由噴氣柱激發(fā)的閉管樂(lè)器在很多文化中存在著，這些樂(lè)器中如今最為人知的，是東歐和秘魯安第斯山地區(qū)的排簫，或潘神簫。此類(lèi)樂(lè)器演奏風(fēng)格各不相同，但都是在一組長(zhǎng)度漸變竹管的開(kāi)放端吹氣進(jìn)行激勵(lì)的。其激勵(lì)細(xì)節(jié)的空氣動(dòng)力學(xué)需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，尤其是在較高音區(qū)，包含著與閉管本有之奇數(shù)諧波振幅相近的偶數(shù)諧波。分析顯示，由流體動(dòng)力學(xué)法則所控制的噴氣柱偏移，是偶數(shù)諧波激勵(lì)可感知的根源。為一位演奏者進(jìn)行的實(shí)測(cè)，在很大程度上確認(rèn)了該理論。

1、簡(jiǎn)介

演奏者嘴唇吹出的噴氣柱，掠過(guò)簡(jiǎn)單組合的閉管頂端以發(fā)出聲音，這樣的樂(lè)器有極其悠久的歷史。在Marcuse1所做的一份優(yōu)異總結(jié)中，列舉了烏克蘭境內(nèi)發(fā)現(xiàn)的，公元前2300到2000年間所造七八件鳥(niǎo)類(lèi)骨器的例子。由多種多樣材料制成的類(lèi)似出土器，在經(jīng)典希臘文化，以及非洲，亞洲和美洲均有發(fā)現(xiàn)，“排簫”和“潘神簫”的名稱(chēng)即源于這些文化1。今天最常見(jiàn)的，是來(lái)自東歐和南美秘魯安第斯山地區(qū)，由竹子制成的此類(lèi)排管狀樂(lè)器。圖1展示了一件優(yōu)質(zhì)的來(lái)自東歐的該類(lèi)別典型樂(lè)器。兩個(gè)地區(qū)的演奏風(fēng)格大相徑庭，歐洲最知名的演奏錄音是由 Gheorghe Zamfir 所作的類(lèi)古典作品，而安第斯山音樂(lè)家則采取一種打擊樂(lè)式的流行與鄉(xiāng)村音樂(lè)演奏風(fēng)格。對(duì)此兩種演奏風(fēng)格，本文都將進(jìn)行聲學(xué)調(diào)查。

圖1、來(lái)自東歐的一把排簫。注意直徑的變化

2、物理參數(shù)

如圖1所示，被試排簫是用竹子細(xì)心制造而成的，每根竹管底部沿竹節(jié)切斷。竹管被鑲嵌在木制托架中，并相互粘接成輕微的弧形。每根竹管的頂部?jī)?nèi)緣（根寧注：似應(yīng)為‘頂部外緣’）有稍稍加工的斜度，為演奏者嘴唇提供光滑的接觸面，大一些的管子在內(nèi)部也有輕微加工的斜面。

該樂(lè)器能基于F#4（394赫茲）演奏全音階。除了最短的管子外，音準(zhǔn)聽(tīng)起來(lái)是好的（一定程度依賴于演奏者），最短的管子發(fā)出的是C7，而非預(yù)想中的B ? 6。不知道是不是有意為之。

隨著音高的升高，管子的直徑穩(wěn)步縮小，但截面積的微小不規(guī)則給測(cè)量帶來(lái)了一些困難。圖2展示了一組管子直徑 d 與管長(zhǎng) L 的函數(shù)關(guān)系，單位都是毫米。其指數(shù)回歸表達(dá)如下

該尺寸縮放有兩個(gè)目的。首先，這可使演奏者唇部到管子外緣的距離縮短，有利于演奏高音，這在后面會(huì)討論到。第二，相關(guān)聯(lián)地，這讓樂(lè)器整個(gè)音域的響度趨于一致。

將管風(fēng)琴笛管通常所做的縮放作與此進(jìn)行比較，是饒有趣味的2。這樣的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，常被描述為相差一定音程時(shí)管徑將加倍，或相差一個(gè)八度時(shí)的管徑比值，后者代表性的范圍是1.6 到 1.7 倍。如式（1）給出的那樣，近似的法則是 d∝L0.75 ?（根寧注：即d與L的0.75次方成正比）。而排簫比典型管風(fēng)琴管子的直徑減少來(lái)得更慢。這是因?yàn)榕藕嵉囊粲蛑挥?.5個(gè)八度，對(duì)比之下管風(fēng)琴則有5個(gè)八度，在排簫的管子序列中不存在巨大的音色平衡效應(yīng)，無(wú)論如何事實(shí)上都影響甚微，因?yàn)榕藕嵵皇且患?jiǎn)單的旋律樂(lè)器。

秘魯安第斯山排簫的一個(gè)測(cè)例，顯示出與歐洲同類(lèi)樂(lè)器非常相似的管徑縮放特征，但其管徑遠(yuǎn)為更不規(guī)則，也許是該測(cè)例低得多的價(jià)錢(qián)所致。作為對(duì)比，泰國(guó)竹排簫（Thai vot）是將管子環(huán)形安置在一個(gè)實(shí)芯的周?chē)ǜ鶎幾ⅲ阂?jiàn)根寧補(bǔ)圖1），且所有管子的直徑幾乎相同。Vot各管頂端同樣有斜切，沒(méi)學(xué)過(guò)的人要吹出聲則困難了很多。

圖2、東歐排簫的管子縮放?；貧w線即d=1.32L0.43 ，d 和L 的單位都是毫米

（根寧補(bǔ)圖1：來(lái)自泰國(guó)的Wot Vot（竹排簫））

3、聲學(xué)理論

有關(guān)噴氣柱激勵(lì)的共鳴體，存在著大量的聲學(xué)文獻(xiàn)，3但其中絕大多數(shù)談的是開(kāi)放的管子，如管風(fēng)琴的音栓列，人所共知的橫吹長(zhǎng)笛，或者豎笛。本研究很大程度上與閉合的管子相關(guān)，這與前者有著令人矚目的差異。我所知道的唯一關(guān)于排簫聲學(xué)的論文，是Czyzewski 和 Kostek4最近關(guān)于排簫聲音波導(dǎo)模型的貢獻(xiàn)。在下文中，將基于 Coltman，5 Elder，6 和Fletcher7提出的噴氣柱驅(qū)動(dòng)機(jī)制，給出可能的最簡(jiǎn)單理論。由Howe8,9 最先提出，并經(jīng)Hirschberg 與其合作者詳盡研究的理論 10,11表明，渦流在排簫聲學(xué)過(guò)程中可能扮演著重要的角色，但這個(gè)理論要比簡(jiǎn)單噴氣柱理論復(fù)雜得多，不過(guò)，通過(guò)管內(nèi)靠近管口混合區(qū)域——其中動(dòng)量通量守恒以及能量被耗散——的概念，該理論被有效隱藏在簡(jiǎn)單噴氣柱理論的背后了。

圖3（a）噴氣柱掠過(guò)管口發(fā)展的過(guò)程，標(biāo)出符號(hào)以備討論。在A區(qū)域與B區(qū)域之間，噴氣柱輪廓從“高帽（top-hat）”形變成了比克利（Bickley）形，而后又被粘性卷吸（viscous entrainment）線性地加寬到C點(diǎn)。（b）噴氣柱速度剖面的發(fā)展，假定一個(gè)起始的“高帽”形。兩圖中的標(biāo)簽A，B，和C相互對(duì)應(yīng)。

當(dāng)然，在管外靠近管口的附近，也存在卷吸和渦流形成過(guò)程導(dǎo)致的，相當(dāng)程度的能量耗散。在 Howe–Hirschberg 模型中，盡管這些具備周期性的渦流對(duì)發(fā)聲有貢獻(xiàn)，其貢獻(xiàn)是小量的，與邊棱音中的情形相似，故而在混合區(qū)域模型中被忽略。

閉管與開(kāi)管?chē)姎庵?lì)一個(gè)非常重要的區(qū)別，與進(jìn)入管中氣流的穩(wěn)定部分相關(guān)。在開(kāi)管的情況下，這無(wú)足輕重，因?yàn)楣茏酉掠蔚穆曌杩乖诹泐l率時(shí)本來(lái)就是零，故所有的流都能逃逸。而在閉管的情況下，零頻率的聲阻抗是無(wú)窮大，故任何穩(wěn)定流將被完全阻塞。如此一來(lái)，閉管?chē)娙霘饬鞯姆较驎?huì)受到噴出氣流中穩(wěn)定平衡部分的影響，甚至幾乎完全為其所控。作為結(jié)果，噴氣柱平均中線的方向是由空氣動(dòng)力學(xué)來(lái)考量，而非演奏者的唇部形態(tài)所決定的，于是，與尾吹的開(kāi)管樂(lè)器，例如日本尺八的發(fā)聲難度相較起來(lái)，其發(fā)聲相當(dāng)?shù)胤€(wěn)定與簡(jiǎn)單。理論性開(kāi)掘的第一部分將致力于探索此事。

4、空氣動(dòng)力

可從兩個(gè)維度考慮噴氣柱的行為，從而導(dǎo)出一個(gè)合理的近似。噴氣柱的行為及用到的符號(hào)如圖3所示。當(dāng)噴氣柱從演奏者唇部出現(xiàn)時(shí)，由唇內(nèi)通道的有效長(zhǎng)度決定，其速度剖面大致處于“高帽”形和拋物線形之間。不論是哪種形狀，跟長(zhǎng)笛一樣，中央空氣速度 V0 只取決于口內(nèi)吹氣壓力，這依賴于所演奏的音符，典型的速度大約是20–40 米/秒12。在離開(kāi)嘴唇一個(gè)短距離 d 之后，流輪廓因周?chē)諝獾恼承宰枇Χ淖?，迅速呈現(xiàn)為比克利形13

這里的 z 是噴氣柱的橫向坐標(biāo)，b1 是噴氣柱的半寬度參數(shù)。在這個(gè)很快的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，把噴氣柱中線面速度 V0 看作不變是合理的，由于粘性效應(yīng)必定會(huì)從噴氣柱邊緣擴(kuò)散進(jìn)去，這個(gè)假設(shè)會(huì)讓接下來(lái)的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。

如圖3所示，設(shè) 2b0 是演奏者的風(fēng)門(mén)寬度，且 b1? 是輪廓調(diào)整后的噴氣柱半寬度參數(shù)，則守恒的動(dòng)量通量

應(yīng)在這個(gè)輪廓轉(zhuǎn)換過(guò)程中保持不變，那么，如果初始輪廓是高帽形，則要求 b1 /b0=3/2? ，如果是拋物線形，則要求 ?b1 /b0=4/5 。貫穿整個(gè)流輪廓的積分，決定了每種情形下噴氣柱中的容積流量 U ，如果初始流輪廓是高帽形，則 U=1.5U0? ，如果是拋物線形，則 U=1.2U0? ，其中 ?U0 是來(lái)自演奏者嘴唇的初始容積流量。由于額外的卷吸流在噴氣柱的上下方各占一半，噴氣柱輪廓調(diào)節(jié)過(guò)程從管內(nèi)卷吸的容積流量是 ?βU0 ，其中 0.1＜β＜0.25? 。

在噴氣柱掠過(guò)管子頂部時(shí)，會(huì)因粘性阻力進(jìn)一步加寬，如圖3所示，并卷吸更多的空氣。比克利的分析13給出了這種加寬的表達(dá)式，對(duì)管風(fēng)琴噴氣柱處于類(lèi)似排簫吹奏壓力的測(cè)量表明，雖然比克利輪廓（2）在典型情況下保持了約15毫米距離，維持了一個(gè)很好的近似，但噴氣柱實(shí)際上比預(yù)計(jì)的更慢和更寬，加寬程度大致與距離呈線性關(guān)系，其擴(kuò)張半角度 ?ε 約為6°14。

隨著噴氣柱掠過(guò)管子頂部，并在剩下的距離l－δ 中傳播時(shí)，將發(fā)生進(jìn)一步的空氣卷吸，整個(gè)路徑的長(zhǎng)度為 ?l 。如果半寬度參數(shù) ?b 的值以因子 α改變的話，那么為了保持式（3）所給定的動(dòng)量通量積分 J 不變，噴氣柱的中央速度必須以因子 α-1/2 進(jìn)行改變。將此二變量考慮進(jìn)去，噴氣柱的總體積通量將以因子 ?α1/2 進(jìn)行改變。在本例中，噴氣柱長(zhǎng)度是典型的約5-10毫米，而最初的噴氣柱半寬度約為0.5-1毫米，由于加寬讓噴氣柱最終的半寬度約成為1.5-2毫米，故α≈2。在噴氣柱掠過(guò)管子頂部后，其容積流量增長(zhǎng)為最初大小的1.4倍，而這增長(zhǎng)中的一半，或者說(shuō)初始流0.2倍的流量，是從管子內(nèi)部卷吸而出的。還必須加上之前討論過(guò)的，初始流的0.1–0.25 倍，得出從管子內(nèi)部卷吸的總流量大概是 0.4U0 ?。為使該分析更具體些，設(shè)噴氣柱輪廓改變處的半寬度為 b1? ，到達(dá)管口處的半寬度為 b ，于是α=b/b1 ，則來(lái)自管內(nèi)的凈卷吸流量為

結(jié)果是大約 0.4U0? 。追求這些數(shù)字的精度意義并不大，因?yàn)檫@是基于對(duì)兩個(gè)維度流量的近似得出的結(jié)果，會(huì)隨演奏者與所演奏音符的不同，隨時(shí)發(fā)生相當(dāng)程度的變化。

為使該卷吸流與噴氣柱所注入的總流量進(jìn)行平衡，噴氣柱的中線面必須以 h0 的長(zhǎng)度偏斜出管口，于是

其中 V=α-1/2V0? ，是噴氣柱在此位置的中線面速度，而 ?V0 是其離開(kāi)嘴唇時(shí)的速度。

由式（4），該要求簡(jiǎn)化為

將之前討論過(guò)的α≈2? 和 ?γ≈0.4 的典型數(shù)值代入，則必須的偏移量為 ?h0≈0.5b 。很清楚，這個(gè)量取決于演奏者和所演奏音符的細(xì)節(jié)，但也展示出，噴氣柱被偏轉(zhuǎn)而導(dǎo)致其中心面越過(guò)管口外部，越過(guò)的幅度占半寬度相當(dāng)?shù)谋壤诳拷鸵魠^(qū)，該數(shù)值的典型值約為0.5毫米。

5、聲學(xué)激勵(lì)

現(xiàn)在要重點(diǎn)評(píng)估一下噴氣柱偏離對(duì)管子聲學(xué)激勵(lì)造成的影響。該問(wèn)題已由Fletcher 和 Douglas15 基于普通管風(fēng)琴噴氣柱做出了詳盡的研究，同樣的考量適用于封閉的管子。實(shí)際的聲學(xué)輸出明顯取決于兩個(gè)因素，一是由噴氣柱提供的激勵(lì)；一是管內(nèi)空氣柱的共振增強(qiáng)，對(duì)閉管來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)的是奇數(shù)諧波。計(jì)算的概要如下。

正如已經(jīng)提及的那樣，由于噴氣柱傳播過(guò)程中正弦式的波動(dòng)行為，加上演奏者對(duì)吹氣壓力和噴氣柱長(zhǎng)度的調(diào)節(jié)，噴氣柱的偏轉(zhuǎn)幾乎與基音的聲學(xué)流完全對(duì)應(yīng)。然而，因?yàn)閲姎庵D(zhuǎn)的幅度與其寬度相比并不算小，進(jìn)入管子的噴氣流包含著基音的諧波列，其振幅與噴氣柱中心面的偏移量有關(guān)，當(dāng)然，還與基音的振幅有關(guān)。被實(shí)驗(yàn)確認(rèn)的理論指出，當(dāng)噴氣柱偏移為零時(shí)，將只產(chǎn)生奇數(shù)諧波，而當(dāng)噴氣柱偏移量大于 0.5b? ，偏轉(zhuǎn)幅度與 b? 堪以相比時(shí)，噴氣流和輻射聲波中的偶數(shù)諧波振幅就變得相當(dāng)大了。當(dāng)偏轉(zhuǎn)幅度為 2b? 時(shí)，對(duì)注入氣流諧波行為的計(jì)算如圖4所示，且該計(jì)算已由一個(gè)開(kāi)放管子的實(shí)驗(yàn)15所驗(yàn)證。

圖4、由Fletcher 和 Douglas計(jì)算的（參考文獻(xiàn)15），當(dāng)比克利噴氣柱輪廓偏移量為噴氣柱寬度的 h0 /b 倍時(shí)，噴氣柱輸入流基音的諧波列。 為使觀察更清晰，每條曲線相對(duì)前一諧波縮減了10 dB。該計(jì)算被一開(kāi)放管子的實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。

輻射出的聲功率，則同時(shí)依賴于噴氣柱橫向振動(dòng)在管口處激發(fā)的全部聲流。對(duì)一個(gè)具備速度V和截面積 Sj? 的簡(jiǎn)單噴氣柱，管中的聲學(xué)容積流量為

其中 Sp ?是管子的橫截面積， Zs ?是管子串聯(lián)端校正后的聲阻抗。3,7 聲阻抗的近似值為

其中 ?L 是管子的長(zhǎng)度，已做過(guò)端校正，Z0=ρc/πr2 ?是管子的特征聲阻抗，設(shè)其半徑為 r? ，σ≈1.2×10-5ω1/2r-1 ?是管壁衰減量。 Zs? 的最小極值，與管子基音的一個(gè)奇數(shù)諧波相對(duì)應(yīng)，近似為 tanhσL≈σL? ，而其最大極值，則與偶數(shù)諧波激勵(lì)相對(duì)應(yīng)，為 cothσL ≈1/σL 。這兩個(gè)流的振幅響應(yīng)比值大約是 1 : (σL)2， 在共振和反共振精確調(diào)音的理想尺寸管子里，其典型值約為 ?103 或 ?60 dB 。然而，對(duì)于非理想化的管壁，有更高的衰減，且其共振、反共振，及演奏頻率與理想模型不精確一致，這個(gè)比值會(huì)降低。

另有一個(gè)發(fā)生在南美打擊樂(lè)風(fēng)格演奏中的有趣現(xiàn)象。其噴氣柱以相對(duì)高的壓力和一個(gè)短促的爆破啟動(dòng)，故在其到達(dá)管子邊棱之前就已經(jīng)成了湍流。湍流中包含著所有頻率的成分，故大致能以展示管子聲阻抗功能的方式，激發(fā)管子的各種模式，這正如 ?Verge 和 Hirschberg 之前對(duì)管風(fēng)琴噪聲背景做實(shí)驗(yàn)研究展示的那樣16。在這種演奏風(fēng)格中，基音本質(zhì)上是唯一被激發(fā)為清晰振動(dòng)的模式。

6、實(shí)驗(yàn)研究

一個(gè)短小的實(shí)驗(yàn)研究證明，偶數(shù)諧波在普通演奏和打擊樂(lè)風(fēng)格演奏的聲譜中同樣存在。很清楚，有經(jīng)驗(yàn)的演奏者對(duì)噴氣柱參數(shù)有大量的調(diào)節(jié)余地，但即使是天資缺缺的人也能吹出合意的聲音，本實(shí)驗(yàn)的演奏者屬于后一種情況。圖5（a）展示了以普通風(fēng)格演奏一個(gè)低音音符的聲譜。其中奇數(shù)諧波占很大的優(yōu)勢(shì)，而偶數(shù)諧波水平在其相鄰奇數(shù)諧波的 20-50 dB之下，這為所發(fā)聲音賦予了“空洞”的音色特征。相似地，圖6（a）展示了對(duì)一個(gè)中音音符的測(cè)量。其中的偶數(shù)諧波大為增強(qiáng)，但依然以10-20 dB的差距居于奇數(shù)諧波包絡(luò)之下。這種趨同關(guān)系在高音區(qū)得到繼續(xù)。

圖5、歐洲排簫以普通風(fēng)格演奏（a）和打擊樂(lè)風(fēng)格演奏（b）低音音符的輻射聲譜。

?

圖6、歐洲排簫以普通風(fēng)格演奏（a）和打擊樂(lè)風(fēng)格演奏（b）中音音符的輻射聲譜。

形成這種遞進(jìn)趨同關(guān)系的原因有兩個(gè)。第一，噴氣柱在高音區(qū)比低音區(qū)更短，這部分是因?yàn)楣茏拥闹睆礁?，部分是為了促進(jìn)發(fā)聲反饋循環(huán)的相位調(diào)整，而有意施行的演奏技術(shù)。 第二，高音音符所使用的吹氣壓力更大。當(dāng)噴氣柱以同樣方式撞擊管子邊棱時(shí)，這兩種變化都會(huì)對(duì)其寬度造成影響，高音音符比低音音符的撞擊噴氣柱更窄。設(shè)噴氣柱離開(kāi)演奏者的嘴唇，在距離δ上變寬成為穩(wěn)定輪廓，擁有半寬度 b1? ，則在走過(guò)總距離 l? 后，到達(dá)管子對(duì)面的邊棱，此時(shí)的半寬度為

其中ε≈ 0.1，與之前提到過(guò)的，根據(jù)實(shí)驗(yàn)約為 6° 的發(fā)散角相對(duì)應(yīng)。因此 b/b1 的值對(duì)短的噴氣柱來(lái)說(shuō)會(huì)更小。對(duì)更快的噴氣柱來(lái)說(shuō)，由于具備更高的速度，其形成穩(wěn)定輪廓并開(kāi)始發(fā)散時(shí)，所走過(guò)的距離也更大，從而為發(fā)散過(guò)程留下更小的長(zhǎng)度 l－δ 。根據(jù)之前的分析，這意味著高音音符的偏離比例 ?h0 /b 比低音音符更大，從而導(dǎo)致較大的偶數(shù)諧波激勵(lì)。另一方面，必須承認(rèn)，演奏者通常會(huì)在演奏高音音符時(shí)縮短風(fēng)門(mén)高度 2b0 3,12 ，這將產(chǎn)生相反的效果。故不同演奏者的高音音符會(huì)有不同的諧波平衡。

圖5（b）和6（b）展示了用打擊樂(lè)風(fēng)格演奏同樣兩個(gè)音符的聲譜。其中只有基音以樂(lè)音方式產(chǎn)生，而噪聲頻譜強(qiáng)調(diào)了基音的奇數(shù)諧波，這符合管子共振（此例中為聲阻抗最小極值）的預(yù)期。這些共振模式的加寬，可歸因于噴氣柱渦流的耗散效應(yīng)。圖5（a）和6（a）展示的“普通演奏”實(shí)驗(yàn)聲譜，與此有著同樣的噪聲背景，但數(shù)量級(jí)要低得多?？梢院侠淼赝茰y(cè)，高明的演奏者能進(jìn)一步降低這種噪聲，奏出極為純凈的樂(lè)音。

7、結(jié)論

希望這篇短論文能讓研究一種美麗而精巧管樂(lè)器的興趣得到提升。上面所展示的分析不能說(shuō)已經(jīng)解決了所有問(wèn)題，但這至少是個(gè)開(kāi)始。

參考文獻(xiàn)

?