實(shí)數(shù)

定理-定義： 存在 唯一 的 完備 全序 域，我們稱之為實(shí)數(shù)域

實(shí)數(shù)的構(gòu)造①②③ =>本質(zhì)相同

域≈能夠做四則運(yùn)算的集合（即F：field）

(F,+,×,0,1,且0≠1)叫做一個(gè)域，如果它們滿足以下九條性質(zhì)

①x+y=y+x;

②(x+y)+z=x+(y+z);

③x+0=0+x=x;

④對(duì)于x∈F,存在唯一的一個(gè)相反數(shù)y使得x+y=y+x=0(由①②③④可以推出這樣的y是唯一的，y1y2,y1=y1+0=y1+(x+y2)=(y1+x)+y2=0+y2=y2)稱之為x的相反數(shù) ，記為“-x”(可定義x-y:=x+(-y));

-------------上四條定義加法-------------

⑤xy=yx;

⑥（xy）z=x(yz);

⑦x*1=1*x=x;

⑧對(duì)于x∈F，且x≠0，存在唯一一個(gè)y使得xy=yx=1,稱之為x的倒數(shù)，記為x^-1,(可定義x/y:=x*y^-1);

-------------上四條定義乘法-------------

⑨x(y+z)=xy+xz;

-------------加乘法聯(lián)系（相容性）-------------

注釋， 如果不說明0≠1，則集合F={0}也是滿足上述九條性質(zhì)的一個(gè)域（第八條是因?yàn)閿?shù)學(xué)上約定空集成立）

全序 域：域（9條性質(zhì)）內(nèi)元素之間存在全序（比大?。╆P(guān)系（四條），并且序關(guān)系與域相容（兩條）。

(F,+,×,0,1,≤)叫做一個(gè)全序 域，如果①-⑨成立，且以下六條性質(zhì)成立：

⑽x≤x;

⑾若x≤y,且y≤x,則x=y;

⑿若x≤y,且y≤z,則x≤z;

------自反、非對(duì)稱、傳遞構(gòu)成偏序------

⒀對(duì)于任何x,y∈F,或者x≤y,或者y≤x(此性質(zhì)定義了全序，也叫線性序=>排成一條線的數(shù)才能比大小，例如復(fù)數(shù)非線性就不能比大小);

----上四條定義 ≤是一個(gè)全序關(guān)系----

⒁若x≤y, 則x+z ≤ y+z; 序和加法的相容性

⒂若x≤y,且z≥0,則xz ≤ yz; 序和乘法的相容性

完備性：

⒃對(duì)于F的兩個(gè)非空子集A、B，若對(duì)于任何的x∈A，y∈B，都有x≤y,則存在一個(gè)c∈F，使得對(duì)于任何x∈A，y∈B，都有x≤c≤y。

-------完備 全序 域--------