拿面積體積來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題像是在查字典告訴你某個(gè)生詞的意思。我想題主需要的是思維過(guò)程的展現(xiàn)。而且我相應(yīng)他已經(jīng)知道了埃爾朗根綱領(lǐng)--即以幾何研究的是群作用下的不變量的綱領(lǐng)來(lái)研究幾何。而其他的一切搞不變量的想法都是在套用和推廣這句話。然后怎么推廣的對(duì)這個(gè)問(wèn)題不細(xì)答出來(lái)的話給人的感覺(jué)也是不夠的。

1.剛體變換群的不變量--歐式幾何不變量

《旋轉(zhuǎn)，平移》的混合作用下幾何體的保持不變的性質(zhì)是不變量，這里有距離，面積，體積。不言自明。

2.共形變換群下的不變量--歐式幾何不變量

《旋轉(zhuǎn)，平移，放縮》生成的群，比上述群大。它不再保持長(zhǎng)度面積體積。這個(gè)群由于丘成桐開(kāi)創(chuàng)的《共性計(jì)算幾何》變得越來(lái)越重要。做人工智能算法的人會(huì)告訴你這個(gè)群作用在人臉上的不變量叫做人臉特征，什么是人臉特征--三庭五眼均勻與否等任何算命的人需要的信息。點(diǎn)共線線共點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)的共圓性，三個(gè)點(diǎn)的夾角，共線的點(diǎn)的交比，線段的比例等等都是這個(gè)群作用下的不變量。

回顧二次型的變換f(x,y,z)=0會(huì)被共形群變出慣性指數(shù)（二次型的終極不變量）來(lái)。

3，射影變換群下的不變量--射影幾何不變量

《旋轉(zhuǎn)，平移，放縮，莫比烏斯變換》生成的群。其特點(diǎn)是可以把一個(gè)十個(gè)系數(shù)的齊次的f(x,y,z)=0的三次和四次方程（四次要用上莫比烏斯變換）都給變成y^2=X^3+aX+b的形式，得到終極的j不變量。

其中莫比烏斯變換的幾何意義是：用一點(diǎn)對(duì)某個(gè)空間曲線做投影，投射到某個(gè)平面上。這也是為什么四次曲線可以被投成XOY平面內(nèi)的維爾斯特拉斯標(biāo)準(zhǔn)型的原因。因?yàn)樘潅€(gè)都是1.

這里已經(jīng)引出了虧格為1的?？臻g的概念了。呼之欲出的是：虧格1?？臻g在射影等價(jià)下的維數(shù)是1維。不變量是1（維），給了我們不停地折騰各種換元的勇氣和動(dòng)力，因?yàn)槲覀兿嘈抛詈罂梢該Q出只有一個(gè)未知系數(shù)的方程。（提問(wèn)：哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ砀嬲]我們不要瞎折騰，是不是因?yàn)槟撤N變換的不變量已經(jīng)注定了？）

這種變換破解了各種二次三次的丟番圖方程。這讓我們想到二階三階線性常微分方程會(huì)有簡(jiǎn)單形的分類結(jié)果也是因?yàn)樽儞Q群的作用，是哪個(gè)群呢？留待伏筆。

4.雙有理不變量--射影幾何的不變量

雙有理變換對(duì)X=f(x,y),Y=g(x,y)首先逆過(guò)來(lái)也是雙有理的，那它的變換群究竟是什么呢？雙有理變換可以分解成基本的奇異點(diǎn)解消的變換嗎？即X=xy；Y=y；這個(gè)問(wèn)題不停問(wèn)下去可能要把許晨陽(yáng)激怒了。日本代數(shù)幾何學(xué)家廣中佑平做了奠基性的工作。平面多項(xiàng)式曲線定義的奇異點(diǎn)都被他解消了。這意味這某一些雙有理變換=《奇異點(diǎn)解消的變換》生成的。然而《美麗心靈》的諾獎(jiǎng)得主約翰納什還總是想著拷問(wèn)廣中，隨便給一個(gè)五元五次多項(xiàng)式=0，你能不能給我把奇異點(diǎn)解消出來(lái)。

我并沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)雙有理變換群這個(gè)說(shuō)法。它是否有生成元更加無(wú)法得知。只知道代數(shù)幾何界，用同調(diào)求解射影簇的雙有理不變量。而向量叢的陳類--這種不變量起到了本質(zhì)性的作用。

5.非歐幾何的不變量

考慮龐加萊圓盤模型或者上半平面，群作用用離散群---某個(gè)同余子群，問(wèn)：在這個(gè)群作用下，哪些點(diǎn)是等價(jià)的，等價(jià)的點(diǎn)粘貼后成什么形狀？--某種黎曼面。人們走向了模形式的研究，開(kāi)啟了數(shù)論的新篇章。你也可以考慮一些其他的非歐幾何變換，不過(guò)內(nèi)涵不是很大。

6.線性變換群（甚至某些李群）的不變量理論

給一個(gè)旋轉(zhuǎn)群g=(cost,sint; -sint cost)，會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)多項(xiàng)式x^2+y^2,在這個(gè)群作用下X=g.x,Y=g.y形式g.x^2+q.y^2,是不變的，X^2+Y^2=x^2+y^2.這種式子叫做群的不變式的話。這相當(dāng)于在小范圍研究某些多項(xiàng)式空間的幾何。

群擴(kuò)展到一些李群之后，它所屬的不變多項(xiàng)式成了一個(gè)研究課題。與群表示論和李代數(shù)也掛鉤了。

一元多次方程的判別式就是上述某種李群的不變量。我們想想，根的平移和旋轉(zhuǎn)是不影響判別式的，因?yàn)榕袆e式是一些距離之積。所以判別式一定是一個(gè)剛體變換李群的不變量。甚至放縮和剪切變換對(duì)判別式也只會(huì)帶來(lái)一個(gè)標(biāo)量的倍數(shù)變換而已。所以我們可以得出判別式是GL(n)的（差一個(gè)常數(shù)倍意義下）的不變量。

李群對(duì)稱性用在PDE和ODE里面也能夠指導(dǎo)方程的化簡(jiǎn)。我們還沒(méi)談到一些微分算子的不變量。

7.算子的不變量

e^x是求導(dǎo)的不變量。傅里葉變換的是高斯核。還有一些熱核是某些特殊算子的不變量。

8.代數(shù)性和超越性不變量

e和pi的超越性不隨著一些加減乘除改變。

9.積分的初等函數(shù)可表性和超越函數(shù)的超越性

這里把《函數(shù)的復(fù)合，函數(shù)加減乘除等二元作用》看成了一個(gè)群--是無(wú)限群。某些積分可以有初等函數(shù)在群混合作用下表出。

10.線性相關(guān)性

由行列式=0來(lái)判別。

11.函數(shù)相關(guān)性

由jocabian=0判別。本質(zhì)是函數(shù)換元有它的宿命。兩個(gè)函數(shù)一旦函數(shù)相關(guān)，那么怎么改變形式他們的零點(diǎn)都有公共的了。

12.離散幾何的不變量--格的不變量

格有周期性。格點(diǎn)上面可以建立母函數(shù)。建立一些好的級(jí)數(shù)和模形式之類的母函數(shù)，都可反映出格本身的周期性質(zhì)。

13.圖論的不變量

聯(lián)通與否，可否一筆畫(huà)，太多了。

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總之，哪里有數(shù)學(xué)手段折騰，哪里就有不變量（不需要對(duì)稱性）。哪里的不變量研究完了，那里的數(shù)學(xué)也就研究差不多了。研究不變量本身，就是在研究事物的特征，宇宙運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律。這不僅是在研究數(shù)學(xué)呀，這才是在定義數(shù)學(xué)。告訴人們哪是真正的數(shù)學(xué)---而哪些只不過(guò)大聲叫囂虛張聲勢(shì)騙取經(jīng)費(fèi)把人當(dāng)傻瓜。