【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep5】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
數(shù)列{n^（1/n）極限為1；
當(dāng)a>0時，{a^（1/n）}極限為1；
數(shù)列極限的四則運算，lim xn=a，lim yn=b——
lim（ɑxn+βyn）=ɑa+βb，ɑ，β是常數(shù)；
lim（xnyn）=ab；
lim（xn/yn）=a/b。
線性相關(guān)：對于n（n>=1）個向量a1，a2，……，an，如果存在不全為零的n個數(shù)l1，l2，……，ln使得l1a1+l2a2+……+lnan=0，那么n個向量a1，a2，……，an叫做線性相關(guān)。
線性無關(guān)：當(dāng)且僅當(dāng)l1=l2=……=ln=0式，上式才成立，則稱a1，a2，……，an叫做線性無關(guān)。
三向量共面的充要條件：線性相關(guān)。
定理：在n>=2時，向量a1，a2，……，an線性相關(guān)的充要條件是其中一個向量是其余向量的線性組合。
如果向量e1，e2，e3不共面，那么空間任意向量r可以由向量e1，e2，e3線性表示，或者說空間任意向量r可以分解成向量e1，e2，e3的線性組合，即r=xe1+ye2+ze3，并且其中系數(shù)x，y，z被e1，e2，e3，r唯一確定。這時e1，e2，e3叫做空間向量的基底。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 編）
《解析幾何》（呂林根 許子道 編）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修 於崇華?編）》）——
求數(shù)列極限：lim{[（n^2+1）^（1/n）-1]sin （nπ/2）}
解：注意到{sin （nπ/2）}是有界數(shù)列，由經(jīng)驗可以揣測{（n^2+1）^（1/n）-1}為無窮小或者無窮大，驗證即可——
lim[（n^2+1）^（1/n）-1]=lim（n^2+1）^（1/n）-1=[lim n^（1/n）]^2*lim?（1+1/n^2）^[（n^2）（1/n^3）]-1=1*lim[e^（1/n）]^（1/n^2）-1=1-1=0；
|lim{[（n^2+1）^（1/n）-1]sin （nπ/2）}|<=|lim[（n^2+1）^（1/n）-1]|=0.
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道 編）》）——證明三個向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c=-3e1+12e2+11e3共面，其中a能否用b，c線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式。
解：三向量共面，即c為a和b的線性組合，即存在實數(shù)m，n，使得a=mb+nc，即——
-e1+3e2+2e3=m（4e1-6e2+2e3）+n（-3e1+12e2+11e3）=（4m-3n）e1+（-6m+12n）e2+（2m+11n）e3；
得到方程組：-1=4m-3n，3=-6m+12n，2=2m+11n；
由前兩式解得：m=-1/10，n=1/5，代入第三式依然成立，即可得，三向量線性相關(guān)，且a=-b/10+c/5。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）——數(shù)集{a+b*2^（1/3）|a， b為任意有理數(shù)}是否構(gòu)成數(shù)環(huán)或數(shù)域？
解：該數(shù)集既不作成數(shù)域，也不作成數(shù)環(huán)，因為對乘法不封閉，例如4^（1/3）=[2^（1/3）][2^（1/3）]不是該數(shù)集元素——
設(shè)存在有理數(shù)a， b，使得4^（1/3）=a+b*2^（1/3），即
a
=4^（1/3）-b*2^（1/3）
=[2^（1/3）][2^（1/3）-b]
=[2^（1/3）][4^（1/3）-b^2]/[2^（1/3）+b]
=[2-（b^2）*2^（1/3）]/[2^（1/3）+b]；
（a+b^2）[2^（1/3）]=2-ab——
若a+b^2=0，則ab=2，即b[4^（1/3）-b*2^（1/3）]=2，b*2^（1/3）-b^2=4^（1/3），b^2-b*2^（1/3）+4^（1/3），Δ=2^（2/3）-4*4^（1/3）=-3*4^（1/3）<0，無解；
若a+b^2=不為0，則2^（1/3）=（2-ab）/（a+b^2），即無理數(shù)=有理數(shù)，矛盾。
故而4^（1/3）不是該數(shù)集的元素。
就到這里！
