少年，要上大學了吧？

學點加減乘除唄!

很多人，剛上大學或者還沒到大學報到呢，就以為自己會加減乘除了。筆者本人也曾這樣狂妄過~誰還沒有個年少輕狂的時候啊。但是，約在十年前，也就是在本人當了十年左右的物理教授后的某一天，我發(fā)現關于加減乘除以及與這些運算相關聯的數，我還真不懂。本文給即將走入或者已經入了大學的少年朋友們介紹一丁點兒關于數及其運算規(guī)則的基礎知識~按說是中學的時候就該學到的，希望等到他們博士畢業(yè)的時候能自信地說：“這篇文章里的內容我都懂呃”。

(本文內容取自 曹則賢 《云端腳下~從一元二次方程到規(guī)范場論》，科學出版社，2020

撰文｜曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

關于數，一開始是自然數，1，2，3…，計數用的。自然數是有，是存在，形而上地會令人想起虛無、空，于是我們的先輩艱難地引入了0——0的符號比概念出現得更晚[1]。自然數求和是天然的，任意兩個自然數之和都還是自然數，而且加法還滿足交換律，m+n=n+m。這是經驗總結。減是加的逆操作，一個實實在在的物理過程。自然數的減法有些尷尬，當m≤n時，m-n的結果不在自然數中。當m=n時，我們得引入新的對象0，m-n=0。這個還算相當自然。當m＜n時怎么計算m-n？計算m-n竟然還真有需求，比如你從朋友處借了3個金幣轉天他從你這里拿走5個金幣，肉疼的感覺會讓你思考3-5的意義。針對m＜n的情形下m-n問題，人們不得不引入負數的概念 (印度人約在公元9世紀才引入負數)。這樣，我們就有了…-3，-2，-1，0，1，2，3…這樣的數系，稱為整數，包括負整數、0和正整數。正整數就是自然數。整數對于加法及其逆運算，減法，都是封閉的。不同的是，m+n=n+m，而m-n=-(n-m)。

乘法也是比較自然的。自然數的乘法是閉合的，任意兩個自然數的乘積還是自然數，且具有可交換性，m×n=n×m。整數的乘法也具有閉合性，任意兩個整數的乘積還是整數，且具有可交換性，m×n=n×m。但是，整數的乘法有些尷尬，比如 0×n=0就相當抽象；此外，整數乘法還有正負為負、負負得正的規(guī)則，(-m)×n=m×(-n)=-(m×n)，(-m)×(-n)=m×n。憑什么呀？從物理的角度看，1×2、0×2、3×(-2)和(-3)×(-2) 中的乘法作為物理操作可能就各有不同。我們先記著有這些事兒，此處不作深入討論，讀者在學物理的時候若遇到乘法請多留意一下。

我們會不停地遇到數系擴展的情景。為了方便深入地理解這個問題，咱們先考察一個有趣的現實場景。魔術師從盛著3個小球的碗中抓出1, 2, 3個小球時，你看到也相信碗中相應地剩下2, 1, 0個小球。當魔術師從中拿出第4個小球時，你會在堅持碗中的小球數為0的同時思考這第4個小球的來源。這個情景一個值得關注的問題是，在這之前你關注的只是“碗~魔術師的手”這個體系，但在他拿出第4個球的時候你把體系擴展成了“碗~魔術師的手~未知的地方”的復雜體系。還有，當這個未知的地方被證實是碗或者魔術師的手的時候，這個復雜體系又退化回到“碗~魔術師的手”這個簡單體系。類似這樣的擴展體系的事情，在數系這個概念的發(fā)展過程中會多次出現。

除法是乘法的逆 (人后悔了就幻想有逆操作)，但是連正整數的除法也遭遇了麻煩。首先，正整數除法沒有封閉性。當m＜n時商m/n沒有著落，m＞n時也只有針對某些特定的m, n， 商m/n才是正整數。面對5/3，8/6， 我們確實不知道該怎么辦。那就把數系擴展一下吧，把0納入考慮，0/m=0還算有意義，眾人假裝對空吃飯結果肯定是餓肚子，都理解。那m/0呢，這個可真沒啥意義—誰認為有意義誰說說。擴展數系，對整數體系再納入任意兩個整數之商，把任意正整數之商m/n稱為rational numbers (比例數)。你看，數系與運算法則是一體的：自然數可以 (無礙地) 加乘，整數可以 (無礙地) 加減乘，有理數才可以(無礙地)加減乘除。

幾何的發(fā)展也給我們帶來了數系擴展的需求。按照平面的歐幾里得幾何，直角三角形有勾股定理，c2=a2+b2。當a=b=1時，c2=2。但是，c2=2的c就不可以是比例數，任何m/n的平方都不可能是2。引入新記號√，定義為

?！?不能是比例數，所以是非比例數(irrational number) 。我們對√2這樣的數太不習慣了，或者說√2這樣的數太奇怪了，所以形容詞irrational 就有了奇怪的、不合理的之類的貶義。Irrational number 漢譯無理數，相應地，rational number的漢譯為有理數。參考關于整數的考量，有理數也不妨加上負號。好了，我們現在有了有理數系。所有的有理數和無理數，都是分立的存在。

幾何上的直線，選定一個點作為原點，定義其對應0，同線上所有點建立起一一對應的數定義為實數，記為R。實數是連續(xù)的存在，任意一個實數的任意小的鄰域內都有無窮多個實數。我這里是大白話的描述，嚴謹的實數連續(xù)性理論，我可讀不懂。我們暫且就按照直線的圖像來理解實數，范圍為 (-∞, ∞ )，是連續(xù)的。有理數 (整數是有理數的子集) 是實數中的分立的存在，測度為零 (意思是不占地方) 。 與有理數互補的是無理數。無理數也是個有結構的存在，不是簡單地一個無理數的概念就能打發(fā)過去的。無理數怎么個無理法，值得研究的地方多了。比如，a, b 都是有理數，形如 a+b√2 這樣的數就足以構成代數，它們的加減乘除是閉合的，即結果仍是 a+b√2 的形式。 a+b√2當然是實數，可是它似乎已經有二元數的意思了，可以理解為由有理部和 (關于√2的) 無理部兩部分拼接而成。

代數方程又逼迫我們注意到更多的數的怪異性質。考察一元n-次代數方程 a0xn+ a1xn-1+…+an-1x+an=0，其中系數a0, a1, a2 …an都是整數。這等價于方程 xn+ a1xn-1+…+an-1x+an=0，其中系數a1, a2 …an都是有理數。對于方程xn+ a1xn-1+…+an-1x+an=0，有些數可以是方程的解，這些數是代數數 (algebraic numbers)。與此相對，也有些數絕不可能是代數方程的解，它們是超越數(transcendental numbers)。1844年劉維爾 (Joseph Liouville，1809—1882) 首先證明了超越數的存在性，1873年厄米特 (Charles Hermite，1822—1901) 證明了自然對數e是超越數，1882年林德曼 (Ferdinand von Lindemann, 1852-1939) 證明了π是超越數。怪不得它們在數學中那么特立獨行，我看著歐拉公式 eiπ+1=0，就覺得e和π長相可疑。

讓我們根據具體的方程研究一點細節(jié)。先考察 x2+bx+c=0，其形式解為

(不是

。記住了，代數方程及其根的表示里面就沒有減號的事兒)。當 b2-4c＜0 時，就有了負數開方的問題。一個數的平方為負，前所未有的事情，不明白，不接受。于是，我們宣稱當b2-4c＜0時，方程 x2+bx+c=0無解。

考察一般形式的（缺項）一元三次方程 x3+px+q=0，解的卡爾達諾公式為

。當

時，負數開根號的問題又浮現了。這一次卻不能簡單地一扔了之啦，因為當

時三次方程可能依然有三個(實數) 根。卡爾達諾在《大術》一書中就給了一個例子。對于方程 x3-15x-4=0，按照公式應有一個解

。此時似乎不能因為遇到負數開平方根就簡單地判定該方程無解，它分明有解x=4 (另兩個解為-2±√3) 。1560年，邦貝里 (Raphael Bombelli 1526-1572) 發(fā)現 ，只要不問負數開平方根的意義只管悶頭往下算，就可以找到解x=4。在1572年出版的《代數》一書中，邦貝里建議為了求得三次方程的實根，至少可以暫時接受負數平方根的存在。定義

為單位虛數，虛數是瑞士數學家歐拉1777年給取的名字，這樣，代數方程一般解可寫成a+ib的形式。形如a+ib的數被稱為復數。若實數對應一條直線，虛數的幾何意義是在與此直線垂直方向上的運動。復數a+ib是為平面而生的，用復數證明平面幾何勢如破竹。

復數可表示成矩陣的形式，

，單位復數為

，這是二維空間笛卡爾坐標系下的轉動變換—復數乘積有表示二維平面內轉動的功能！大約在1830年，愛爾蘭數學家、天文學家哈密頓 (Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865) 認為把復數寫成一個實數加一個虛數的做法是有誤導性的，復數應該是一種遵循具體算法的具有兩個分量的數，寫成 (a, b) 的樣子即可。哈密頓稱之為代數偶素 (algebraic couple)，現在也叫二元數 (binarion) 。明白了二元數，即復數，可以表示二維平面內的轉動，哈密頓想發(fā)明描述三維空間內轉動的數，結果于1843年10月16日下午發(fā)明了四元數 (quaternion) 。四元數 q = a + bi + cj+ d，其中的三個單位虛數滿足關系ij=k，jk=i，ki=j；ij=-ji，jk=-kj，ki=-ik；i2=j2=k2=ijk=-1。由四元數 q = a + bi + cj+ d，于是有了標量 (其中的a) 和矢量 bi+cj+dk 的說法，它們被用于電磁學中電場矢量、電磁勢標量之類的表示，后來還發(fā)展出了矢量分析和線性代數。經典力學、量子力學和量子場論里的那些或真實或抽象的轉動是用四元數表示的。少年們，念到研究生時好好學學這些內容吧，不過我建議你大學階段最好學會了！注意，四元數不滿足交換律，也就是說，一般地，q1×q2≠q2×q1。

四元數可表示成形如

的2×2矩陣的樣子。注意

，也就是說表示四元數2×2的矩陣，矩陣值就是四元數的模平方。明白了這一點，以后就明白為什么廣義相對論的公式里總有

出現了。四元數的矩陣表示可以理解為四元數構成一個四維線性空間，其四個基矢量分別為

，

，

，

。這個四元數矢量部分表示和量子力學中的泡利矩陣

，

，

只相差一個虛數因子-i，可看作是一回事兒。泡利矩陣是從對原子物理中遭遇的二值問題而由泡利構造的。四元數2×2矩陣的矢量部分可以用來描述電子的自旋，還能從中看到量子力學與相對論的統(tǒng)一。為此，你所需要的數學工具是群論，而群論竟然是個“只用到加減乘除中的乘法”的“簡單”數學領域，嚇不嚇人？

受四元數的啟發(fā)，1843年12月26日John Graves構造了八元數 (octonion)。八元數有一個實部，7個虛部。記八個單位八元數為{e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6 , e7}，任意一個八元數可表示為單位八元數的實線性組合，即 x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7。選定 e0=1，八元數的乘法有480種可能的定義。其中常見的一種可能是選擇是e0e0=e0，e0ei=eie0=ei，eiej=-δije0+εijkek，其中i, j, k=1,…,7，δij是Kronecker符號， εijk是反對稱張量，對于ijk=123, 145, 176, 246, 257, 347, 365，εijk=1。八元數不愧是超復雜的數。八元數乘法既不滿足交換律，也不滿足結合律，也就是說，一般地，O1×O2≠O2×O1，O1×(O2×O3)≠(O1×O2)×O3。

注意，是到了發(fā)明了八元數之后，我們才認真地考慮代數，即加法配上乘法，所應該表現出的規(guī)律的。對于某一類數A, 乘法的交換律指A1×A2=A2×A1, 乘法的結合律指 A1×(A2×A3)=(A1×A2)×A3，而分配率涉及乘法和加法，A1×(A2+A3)=A1×A2+A1×A3。實數 (一元數) 和復數 (二元數) 三者都滿足，四元數不滿足交換律，而八元數不滿足交換律與結合律。當八元數破壞了交換律和結合律時，我們才認識到這些律的存在與重要性。

減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，連乘的逆運算帶來開方的問題。除法對數的存在性要求太嚴格了，(一元的) 整數除以整數結果就不一定是整數。對于多元數，除法就更要命了。Hurwitz定理表明，只有1-, 2-, 4-, 8-元數有除法，即兩數相除還是那種數。Hurwitz定理的證明要用到代數的深層次知識，筆者不懂，這里只說結論。證明過程最后都著落到整數N>1能否被數2(N-2)/2整除的問題。我們看到只有N=2, 4, 8 這三種情形滿足這個要求。也就是說只有1-, 2-, 4-, 8-元數有除法代數。認識到可除代數只存在于2-, 4-, 8-元數能帶來什么用處呢？我舉一個小例子。兩個二 (四、八) 元數的乘積還是二 (四、八) 元數，則兩個二 (四、八) 元數模平方的乘積還是二 (四、八) 元數模平方乘積。若二 (四、八) 元數之實部及虛部都是整數，則得到結果任意二 (四、八) 個整數平方之和的乘積還是二 (四、八) 個整數平方之和，此為整數平方和恒等式 (參閱 曹則賢 《驚艷一擊-數理史上的絕妙證明》，外研社，2019)。知道可除代數，這個整數平方和恒等式的證明就是個簡單的演算，如果不知道可除代數，那要想證明可就夠嗆了。

知道了存在1-, 2-, 4-, 8-元數這四種可除數系，知道了加減乘除以及代數法則，知道一元二次、三次、四次方程的代數解公式以及五次以上方程沒有有限根式解（及其證明），那個我們在初中時就自以為學過的稱為代數的這門課，我們才算捱到了它的門口，還沒正式入門呢——那門后有無限的絢麗風景。

本文中我介紹了一小部分我所知道的關于加減乘除的知識，而我能知道的全部也不過是加減乘除知識的冰山一角。少年，你還認為你會“加減乘除”嗎？

謹以此文祝福那些拉開架勢真地要學習的少年們。少年，不驕傲，也莫灰心，好好學習，青春無悔！

注釋

[1] 竟然有關于自然數是否包括0的爭論。考察一下0的概念以及0的符號到底經過了多少艱難才最終被引進來的，就知道0不是自然數。你教孩子數數或者查點物品的時候從0開始？數的性質，首先是個物理問題。