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最近我們被客戶要求撰寫(xiě)關(guān)于馬爾可夫Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

過(guò)程會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)展，結(jié)果會(huì)發(fā)生變化

考慮一下經(jīng)濟(jì)衰退和擴(kuò)張。在衰退開(kāi)始時(shí)，產(chǎn)出和就業(yè)率下降并保持較低水平，然后，產(chǎn)出和就業(yè)率增加。從統(tǒng)計(jì)上講，均值，方差和其他參數(shù)在各個(gè)狀態(tài)之間都在變化。我們的問(wèn)題是估計(jì)方案何時(shí)更改以及與每個(gè)方案關(guān)聯(lián)的參數(shù)值。詢問(wèn)狀態(tài)何時(shí)改變等同于詢問(wèn)狀態(tài)持續(xù)多久。

在馬爾可夫模型中，除了估算每個(gè)方案的均值，方差之外，我們還估算區(qū)制變化的可能性。某些問(wèn)題的估計(jì)轉(zhuǎn)移概率可能如下：

?from/tostate ? ?? ? ?1?2? ? ?? ? ??1 ? ?? ? ?0.82?0.182 ? ?? ? ?0.75?0.25

從狀態(tài)1開(kāi)始。從狀態(tài)1轉(zhuǎn)換為狀態(tài)1的概率為0.82。換句話說(shuō)，一旦處于狀態(tài)1，該過(guò)程便會(huì)停留在那里。但是，以0.18的概率，過(guò)程轉(zhuǎn)換到狀態(tài)2。狀態(tài)2的持久性不那么強(qiáng)。在下一個(gè)時(shí)間段，過(guò)程從狀態(tài)2轉(zhuǎn)換為狀態(tài)1的概率為0.75。

馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型不限于兩種狀態(tài)，盡管兩種狀態(tài)模型是常見(jiàn)的。

在上面的示例中，我們將轉(zhuǎn)換描述為突然的變化：概率立即改變。這種馬爾可夫模型稱為動(dòng)態(tài)模型。馬爾可夫模型還可以通過(guò)將轉(zhuǎn)移概率建模為自回歸過(guò)程來(lái)擬合更平滑的變化。

因此，轉(zhuǎn)換可以是平穩(wěn)的或突然的。

基金利率案例

讓我們看一下不同狀態(tài)之間的均值變化。我們分析基金利率，研究1954年至2010年底之間基金利率的變化。以下是數(shù)據(jù)：

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

用機(jī)器學(xué)習(xí)識(shí)別不斷變化的股市狀況—隱馬爾科夫模型(HMM)股票指數(shù)預(yù)測(cè)實(shí)戰(zhàn)

左右滑動(dòng)查看更多

01

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03

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我們有季度數(shù)據(jù)。高利率似乎是七十年代和八十年代的特征。我們將假定還有另一種低利率的狀態(tài)，這好像是其他幾十年的特征。

為了使動(dòng)態(tài)模型具有兩種狀態(tài)

mswit?Performing?gradient-based?optimization:?Iteration?0: ? ?log?likelihood?=?-508.66031Iteration?1: ? ?log?likelihood?=?-508.6382Iteration?2: ? ?log?likelihood?=?-508.63592Iteration?3: ? ?log?likelihood?=?-508.63592

馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸樣本：1954q3-2010q4觀測(cè)值數(shù)量= 226 狀態(tài)數(shù)= 2 ?AIC = 4,5455 無(wú)條件概率：HQIC = 4,5760? SBIC = 4,6211 對(duì)數(shù)似然= -508.63592

?fedfunds ? ?? ? ?Coef.?Std.?Err.?z?P>|z|?[95%?Conf.?Interval]? ? ?? ? ?? State1 ? ?? _cons ? ?? ? ?3.70877?.1767083?20.99?0.000?3.362428?4.055112? ? ?? ? ?? State2 ? ?? _cons ? ?? ? ?9.556793?.2999889?31.86?0.000?8.968826?10.14476? ? ?? ? ?? sigma ? ?? ? ?2.107562?.1008692?1.918851?2.314831? ? ?? ? ?? p11 ? ?? ? ?.9820939?.0104002?.9450805?.9943119? ? ?? ? ?? p21 ? ?? ? ?.0503587?.0268434?.0173432?.1374344

在上面的輸出中

• 兩種狀態(tài)的平均值（_cons）;

• 整個(gè)過(guò)程的單個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（sigma）;

• 狀態(tài)1到1和狀態(tài)2到1的轉(zhuǎn)移概率（p11?和?p21）。

State1是中利率狀態(tài)（平均值為3.71％）。State2是高利率狀態(tài)（平均9.56％）。

?from/tostate ? ?? ? ?1?2? ? ?? ? ??1 ? ?? ? ?0.98?1?-?0.982 ? ?? ? ?0.05?1?-?0.05

兩種狀態(tài)都是持久性（1-> 1和2-> 2概率分別為0.98和0.95）。

估計(jì)后可以預(yù)測(cè)的包括處于各種狀態(tài)的概率。我們只有兩個(gè)狀態(tài)，因此處于（例如）狀態(tài)2的概率告訴我們兩個(gè)狀態(tài)的概率。我們可以獲得預(yù)測(cè)的概率并將其與原始數(shù)據(jù)一起繪制成圖形：

該模型在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)幾乎沒(méi)有不確定性。我們看到三個(gè)時(shí)期的高利率狀態(tài)和四個(gè)時(shí)期的中利率狀態(tài)。

疾病案例

讓我們看一個(gè)疾病的例子，即1929年至1972年之間腮腺炎。您可能會(huì)認(rèn)為疾病對(duì)應(yīng)于均值變化，但是我們?cè)跀?shù)據(jù)中看到的是方差更大的變化：

我們繪制了變量S12.mumpspc的圖表?，這意味著在12個(gè)月內(nèi)人均季節(jié)性差異性腮腺炎病例，我們將分析?S12.mumpspc。

我們將假設(shè)兩個(gè)狀態(tài)，其中S12.mumpspc的均值和方差會(huì)?發(fā)生?變化。擬合動(dòng)態(tài)模型

mswit?Performing?EM?optimizaton:?Iteration?0: ? ?log?likelihood?=?110.9372?(not?concave) Iteration?1: ? ?log?likelihood?=?120.68028Iteration?2: ? ?log?likelihood?=?123.23244Iteration?3: ? ?log?likelihood?=?131.47084Iteration?3: ? ?log?likelihood?=?131.72182Iteration?3: ? ?log?likelihood?=?131.7225Iteration?3: ? ?log?likelihood?=?131.7225

馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸樣本：1929m2-1972m6 obs數(shù)量= 521狀態(tài)數(shù)= 2 AIC = -0.4826 無(wú)條件概率：HQIC = -0.4634 SBIC = -0.4336 對(duì)數(shù)似然= 131.7225

?mumspc ? ?? ? ?Coef.?Std.?Err.?z?P>|z|?[95%?Conf.?Interval]? ? ?? ? ?? State1 ? ?? mumpspc ? ?? LS12. ? ?? ? ?.4202751?.0167461?25.10?0.000?.3874533?.4530968? ? ?? ? ?? State2 ? ?? mumpspc ? ?? LS12. ? ?? ? ?.9847369?.0258383?38.11?0.000?.9340947?1.035379? ? ?? ? ?? sigma1 ? ?? ? ?.0562405?.0050954?.0470901?.067169? ? ?? ? ?? sigma2 ? ?? ? ?.2611362?.0111191?.2402278?.2838644? ? ?? ? ?? p11 ? ?? ? ?.762733?.0362619?.6846007?.8264175? ? ?? ? ?? p12 ? ?? ? ?.1473767?.0257599?.1036675?.205294? ? ??

報(bào)告

• S12.mumpspc的兩個(gè)狀態(tài)的?平均值?（0.42和0.98）；

• 兩種狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)偏差（0.06和0.26）；

• 狀態(tài)1到狀態(tài)1和狀態(tài)2到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移概率（0.76和0.15）。

狀態(tài)1是低方差狀態(tài)。

轉(zhuǎn)移概率如下：

from/tostate ? ?? ? ?1?2? ? ?? ? ??1 ? ?? ? ?0.76?1?-?0.762 ? ?? ? ?0.15?1?-?0.15

與以前的模型一樣，狀態(tài)是持久的。

本文摘選?《?stata馬爾可夫Markov區(qū)制轉(zhuǎn)移模型分析基金利率?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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