最近一直看微分幾何相關(guān)的書(shū)籍和文章，可是對(duì)“微分形式”這個(gè)概念卻越發(fā)的覺(jué)得有某種違和感，總感覺(jué)自己的不同理解總是對(duì)不上，于是將自己手中的各種資料拿來(lái)詳細(xì)對(duì)比。

首先是Foundations of Differential Geometry這本書(shū)，其中對(duì)k階微分形式的定義是：

也就是說(shuō)k階微分形式是Λ^k(T*M)的截面（section），其本身構(gòu)成的空間表示為Ω^k(M)?？傊褪?strong>微分形式的空間是Ω開(kāi)頭的這個(gè)玩意，而不是Λ開(kāi)頭的那個(gè)。

而另外一篇文章：Lie Groupoids in Classical Field Theory I: Noether’s Theorem，則有這句話(huà)：

文章中說(shuō)任意流形上的r階微分形式的纖維叢是Λ^r(T*E)，也就是說(shuō)Λ開(kāi)頭這貨作為這個(gè)纖維叢的總空間，由r階微分形式構(gòu)成?？傊褪?strong>微分形式的空間是Λ開(kāi)頭的這個(gè)玩意。

總之我就感覺(jué)很奇怪了，按照微分形式的定義，就應(yīng)該是余切空間T*E的外冪的那個(gè)Λ開(kāi)頭的東西才對(duì)啊，難道是我對(duì)Λ外冪這個(gè)東西的理解錯(cuò)了？

之后我又想到另外一本書(shū)：The Geometry of Jet Bundles：

更加凌亂了，這本書(shū)和前面的書(shū)都用Λ與一個(gè)切空間（這里是T*M）作為總空間，然而不同于第一本書(shū)用Ω^k(M)作為截面，這本書(shū)用Λ^r(M)表示截面，且兩本書(shū)都說(shuō)這個(gè)截面就是微分形式的空間（不同于第二篇文章以總空間為微分形式的空間），難道說(shuō)其實(shí)Λ和Ω這兩個(gè)符號(hào)都是一個(gè)意思？Λ^r(M)就表示M上的r階微分形式的話(huà)，那么Λ^r(T*M)難道表示以TM為底空間，在它上面定義的微分形式？無(wú)法理解啊...太亂了...

后來(lái)，我又翻到了梁燦彬的微分幾何入門(mén)與廣義相對(duì)論這本書(shū)，總算水落石出了：

什么，還有略去關(guān)鍵字的操作？differential form和differential form field這兩個(gè)東西完全不同好嗎？這都能略去“field”這個(gè)關(guān)鍵字？

最終結(jié)論出來(lái)了，其實(shí)流形M上的k階微分形式構(gòu)成的空間就是Λ^k(T*M)那個(gè)，而那個(gè)Ω^k(M)這個(gè)玩意準(zhǔn)確的說(shuō)應(yīng)該是k階微分形式場(chǎng)，作為截面，根據(jù)底流形M上具體的點(diǎn)，給出總空間Λ^k(T*M)中一個(gè)具體的k階微分形式。即1、3這兩本書(shū)所說(shuō)的“形式”都是“形式場(chǎng)”略去了“場(chǎng)”字的一種說(shuō)法。

也就是說(shuō)，同一個(gè)術(shù)語(yǔ)，對(duì)應(yīng)了2個(gè)不同的東西，有的數(shù)學(xué)家就是要皮那么一下，省略一個(gè)關(guān)鍵字。最后還是多虧了個(gè)搞物理的專(zhuān)門(mén)指出這個(gè)細(xì)節(jié)...說(shuō)好的數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)，物理學(xué)家粗枝大葉呢？另外第3本書(shū)截面也用Λ來(lái)表示，大概只是那個(gè)作者自己的符號(hào)規(guī)定吧...

總之這次是被坑慘了...PS：但愿目前的理解沒(méi)錯(cuò)...