本系列文章將從下面不同角度解析線性代數(shù)的本質(zhì)，本文是本系列第三篇

向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關(guān)

矩陣與線性相關(guān)

矩陣乘法與線性變換復(fù)合

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

非方陣

點積與對偶性

叉積

以線性變換眼光看叉積

基變換

特征向量與特征值

抽象向量空間

快速計算二階矩陣特征值

張量，協(xié)變與逆變和秩

目錄
逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

逆矩陣，列空間，秩與零空間

前面我們已經(jīng)通過直觀的線性變換來理解矩陣與向量運算，也了解到了線性變換是如何描述對空間的操縱，這對計算機圖形學(xué)和機器人學(xué)有很大的幫助，但線性代數(shù)的作用不僅限于此，今天我們從另一個角度來看看線性代數(shù)是如何幫助我們求解特殊線性方程組的。

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上面提到的特殊線性方程組，這個“特殊”是指未知量都是一次的，并不包含其他特殊函數(shù)，例如指數(shù)，對數(shù)，n次方，三角函數(shù)等，且未知量都是通過乘上一個系數(shù)后進行相加操作，對于這樣的方程組我們稱為：多元一次線性方程組。

既然要用線性代數(shù)求解線性方程組，那就要將上面方程轉(zhuǎn)換為矩陣和向量相乘的形式，我們將系數(shù)提取成系數(shù)陣，未知量提取成向量形式，結(jié)果提取成向量形式，最終轉(zhuǎn)換為：

上面的矩陣乘法是不是很熟悉？這就是前面提到的矩陣與向量的乘法，它代表的幾何含義是：向量在矩陣A的作用下變換得到向量，要想求解上面的方程組，也就是在空間中找到一個向量在A的線性變換后與向量重合。

上面的例子是三維空間中的變換，更直觀的，接下來讓我們看一個二維空間的例子：

那么如何判斷是否有解呢？也就是說是否存在一個向量經(jīng)線性變換后能與向量

重合呢？這就用到了前面我們講過的行列式的知識了，在行列式章節(jié)中，我們說過，矩陣行列式代表變換前后空間的縮放比，根據(jù)行列式的不同，可以分為兩種情況：行列式不為零和行列式為零。

行列式不為零：

矩陣行列式不為零意味著線性變換后空間維度不變，也就是說基向量沒有被壓縮到在一條直線上，或者一個點上，那就肯定存在一個向量，也就是肯定能找到一個基向量縮放因子能與向量重合；那如何求呢？這時我們反向思考，剛才是找向量在矩陣的作用下能與重合，反過來就是：變換矩陣A的逆矩陣作用在向量上，變換后的向量就是我們要求的向量

這里我們再來直觀的看一下逆矩陣的含義，例如，一個逆時針旋轉(zhuǎn)90度的變換如下：

其對應(yīng)的逆變換就是順時針旋轉(zhuǎn)90度：

對任意向量先施加一個變換，再施加逆變換，向量將回到原始狀態(tài)，也就是說兩個矩陣的乘積是一個恒等變換。

總結(jié)一下就是如果變換矩陣的行列式不為0，則線性方程組存在唯一解，這個在高維空間同樣適用。

行列式為零：

當(dāng)變換矩陣的行列式為零時，也就是說，基向量經(jīng)過變換后落在了同一個直線上，或者一個點上，如果這個直線與向量不共線，則找不到一個向量 ，能使得x*i_transformed+y*j_transformed能與向量v重合，也就是說不存在逆變換能讓一條線解壓縮成一個面；但如果這個直線與向量共線，即便不存在逆變換，但仍可能存在解，且解的個數(shù)為無數(shù)個。

如上圖，棕紅色和綠色為變換后的基向量，黃色是結(jié)果向量，這個同樣適用于三維空間。

注意了，這時候我們又提出一個新的名詞：秩，秩就代表變換后空間的維數(shù)，前面的例子中，如果變換矩陣的行列式為0，說明空間被壓縮成了一條線，所以空間維度為1，也即是說秩為1；如果變換矩陣的行列式不為零，說明空間沒有被壓縮，原空間為2維，變換后的空間也是2維，秩就是2，原空間是三維，變換后的空間也是3維，秩就是3；秩就代表變換后空間的維數(shù)，不管變換結(jié)果是一條直線，一個平面還是三維空間，所有可能變換結(jié)果的幾何叫做矩陣的列空間。

秩的名字是如何得來的呢？如上圖，矩陣的列代表基向量變換后的位置，換句話說，列空間就是矩陣的列張成的空間，秩就是列空間的維數(shù)，當(dāng)秩達到最大值時，秩與列數(shù)相等，這種情況我們稱為滿秩。

如下圖，線性變換一定保持原點位置不變，原點也就是零向量，滿秩時，原點是唯一一個經(jīng)變換后還落在原點位置的向量，非滿秩時，由于空間被壓縮，所以會有一些列的向量被壓縮到原點上。

克萊姆法則

前面我們從線性代數(shù)的角度來理解線性方程組，但并沒有給出一個具體的求解方法，今天我們就來看一個計算法則以及其背后的幾何原理：克萊姆法則。

?????? 先聲明一下，克萊姆法則并不是求解線性方程組最高效的方法，相比而言，高斯消元法計算的更快，學(xué)習(xí)克萊姆法則是為了擴展知識面以及加深對線性方程組的理解。

?????? 下面我們就以一個簡單的例子出發(fā)，注意，克萊姆法則可以擴展到任意個未知數(shù)。

通過前面章節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道可以將上面方程組轉(zhuǎn)換成矩陣乘法的形式：

矩陣的前兩列代表基向量變換后的坐標(biāo)：

現(xiàn)在的問題就是求解哪個向量在變換后會變成。

一種思路是，輸出矩陣是矩陣列向量的線性組合，現(xiàn)在要做的就是求出x，y的值。

前面章節(jié)我們說過，方程組是否有解，依賴于矩陣行列式的值，行列式為0，方程無解或者有無數(shù)解，行列式不為0，方程組有唯一解，本文只討論行列式不為0的情況。

在正式講克萊姆法則之前，先讓我們看一個錯誤的求解思路，我們知道向量可以分解為基向量的線性組合，如下圖，變換之前，先計算出未知向量在基向量上的分量。

并且假設(shè)變換后仍然滿足上面的向量分解法則：

理想很美滿，但現(xiàn)實很骨感，很可惜，上面的公式很可能是不成立的，因為變換后的基向量很可能是不垂直的，也可能被拉伸了，例如上圖紅色和綠色箭頭就是變換后的基向量。

?????? 那所有的變換都不滿足上面的公式嗎？有一種變換很特殊，經(jīng)過它的變換后，基向量仍然垂直，且長度不變，更一般地，變換前垂直的向量，變換后仍然垂直，這種變換就是正交變換，這在計算機圖形學(xué)中對應(yīng)的是剛體運動，也就是該變換既沒有拉伸，壓縮或者變形。

所以，如下圖所示，用正交矩陣來解決線性關(guān)系問題會非常方便：

變換前：

既然是正交變換，所以下面公式在變換后仍然成立，下面公式，第一個是目標(biāo)向量，第二個是基向量變換后的位置，且都是已知的。

最終的結(jié)果：

雖然正交變換是一種特例，但給我們提供了一種思路，接下來就要進入今天的正題了，如下圖，未知向量和i形成的面積就就等于坐標(biāo)y。

同理，未知向量和j形成的面積就就等于坐標(biāo)x。

同樣，三維坐標(biāo)系下可以將立方體的體積與x，y，z坐標(biāo)關(guān)聯(lián)起來。

那為什么我們要將平行四邊形的面積，立方體的體積與坐標(biāo)關(guān)聯(lián)起來呢？根據(jù)前面章節(jié)學(xué)習(xí)的知識，當(dāng)對未知向量施加一個線性變換后，面積和體積的比例會發(fā)生變化。

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根據(jù)前面章節(jié)學(xué)到的知識，當(dāng)提到面體，體積的變換比例時，我們是不是立馬想起行列式了！面積伸縮的比例就等于變換矩陣的行列式。

變換前，平行四邊形的面積等于y值，變換后，四邊形的面積按照變換矩陣行列式進行縮放，其面積等于。

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那么我們就可以變換后的面積和行列式的值求出y：

那如何求變換后的面積呢？我們已經(jīng)知道變換后的結(jié)果向量的坐標(biāo)，則其與i組成的四邊形的面積就可以用矩陣的行列式表達，該矩陣就代表的變換矩陣，其行列式值代表變換前后的面積變化比例。

以同樣的方式我們就可以求出另一個變量x的值：

對于三維而言也是同樣的道理：

以上就是克萊姆法則。