在我們眼里，數(shù)軸是一根再普通不過的橫線，這根橫線是連續(xù)的。

但真是這樣嗎？

數(shù)軸是由點(diǎn)構(gòu)成的，每一個點(diǎn)對應(yīng)一個數(shù)字。那我們仔細(xì)想一下，數(shù)字和數(shù)字無縫隙地連在一起意味著什么呢？我們肯定說不清。

這里只考慮有理數(shù)的情形。

我們知道，有理數(shù)都可以用m/n來表示，那么，兩個不同的有理數(shù)之間就必然存在差值，也就是間隙，無論這個間隙多小，它一定存在。

那么，基于上述分析，數(shù)軸就不是連續(xù)的，而是點(diǎn)與點(diǎn)之間有間隔的：

雖然這個間隔可以任意小，但間隔終歸存在。

正是基于上述思想，數(shù)學(xué)家們定義了無窮小的概念：

無窮小比0大，但又比任何一個數(shù)字都小。

圖1中的間隔不管多小，因?yàn)槊總€點(diǎn)都對應(yīng)一個確定的數(shù)字，所以兩個鄰近點(diǎn)的間隔也是一個確定的數(shù)字。那么，按照無窮小的定義，它比數(shù)軸上任意兩個點(diǎn)之間的間隔都要小，因此，無窮小可以放置在數(shù)軸上任意兩個相鄰的點(diǎn)之間：

導(dǎo)數(shù)也正是基于這樣的思想定義的：

上圖中，把一個無窮小線段Δx放置在任意一個與切點(diǎn)a相鄰的點(diǎn)b之間，由于Δx是無窮小，我們可以認(rèn)為Δx同時處于曲線n與切線m上面，從而可以精確到求出點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)，也就是斜率。

簡單來說：

1：數(shù)學(xué)上的數(shù)軸其實(shí)不是一根連續(xù)的直線，而是由一個個分開的點(diǎn)構(gòu)成的；

2：真是基于數(shù)軸上的點(diǎn)有間隔這一事實(shí)，數(shù)學(xué)家定義了無窮小的概念；

3：無窮小可以放置在數(shù)軸上任意兩個相鄰的點(diǎn)之間；

4：由無窮小進(jìn)一步定義了導(dǎo)數(shù)、積分等概念。