離散模型-北太天元學(xué)習(xí)18

我們前面講到一個(gè)例子，是描述雞蛋的溫度隨著時(shí)間的變化的，我們讓T_n表示雞蛋在第n個(gè)時(shí)刻 的溫度, 通過遞推關(guān)系 T_{n+1} = f( T_n ) 來建立模型。這是一個(gè)離散模型。在很多情況下，我們定期跟蹤發(fā)生的事情，例如每個(gè)小時(shí)，每天或每年。將時(shí)間視為連續(xù)變量可能沒有額外的好處。離散模型主要由遞歸關(guān)系和一些模型參數(shù)組成。

我們今天先以人口模型為例來講講離散模型，其實(shí)這里的人口可以是其他生物的數(shù)量，如草原上的兔子，池塘里的魚，某個(gè)培養(yǎng)皿中的細(xì)菌或者病毒。我們先統(tǒng)一的說成人口。 ?

例如，設(shè)x_n是某個(gè)時(shí)間n的人口數(shù)量。遞歸關(guān)系可以以如下形式的方程給出

x_n=f(x_{n?1}，x_{n?2}，…，x_{1}，x_{0}).

也就是說，在時(shí)間n，x_n的是所有先前所有時(shí)間的人口數(shù)量的函數(shù)。
形式為x_n=f(x_{n?1})的簡單方程被認(rèn)為是一階遞推關(guān)系，因?yàn)樗灰蕾囉谏弦粋€(gè)時(shí)間的值。 形式為x_n=f(x_{n?1}，x_{n?2}) 的序列被認(rèn)為是二階遞歸關(guān)系。

如果一個(gè)模型使用一個(gè)或多個(gè)遞推關(guān)系來描述某些現(xiàn)象，則稱其為離散動力系統(tǒng)。

首先，我們研究了一個(gè)基本的人口增長模型。假設(shè)人口在下一個(gè)時(shí)間間隔的增長率與當(dāng)前人口成正比，這是一階關(guān)系。讓x_n是時(shí)間n的人口，?按照上面的假設(shè)，我們就有
????? x_{n+1}?x_{n}=r*x_{n}，
其中r是是一個(gè)常數(shù)，稱為增長率。左側(cè)的x_{n+1}?x_{n}表示在在時(shí)間n到時(shí)間 (n+1)這一個(gè)時(shí)間單位的人口的增加，我們看到它與當(dāng)前人口x_{n}成比例。

對x_{n+1}與x_n的遞推關(guān)系就是如下的模型

x_{n+1} = x_n + r* x_n=（1+r)* x_n.

這有時(shí)被稱為指數(shù)增長模型，或馬爾薩斯模型，以托馬斯·馬爾薩斯（1766-1834）的名字命名。

注意: 當(dāng)|1+r|<1 時(shí), 這個(gè)模型給出的人口指數(shù)是隨著時(shí)間是指數(shù)衰減的;
當(dāng)1+r>1時(shí)，這個(gè)模型給出的人口隨著時(shí)間是指數(shù)增長的。

通常情況下，如果種群數(shù)量增加到某一個(gè)數(shù)以上，這個(gè)模型就不再適用了， 例如，一個(gè)國家的人口接近一定的最大容量，增長率就會放緩。邏輯斯蒂克模型描述了 增長率隨人口接近最大容量。設(shè)K是環(huán)境支持人口的最大容量 （這有時(shí)被稱為人口的承載能力）。我們假設(shè)當(dāng)人口x與K相比相對較小時(shí)， 人口呈指數(shù)級增長，并且隨著人口數(shù)量向承載能力的方向增加，增長放緩。 離散邏輯斯蒂克模型是

x_{n+1} = x_n + r* x_n * ( 1 -? x_n / K)

其中K是承載能力，x_n是時(shí)間n時(shí)的人口。注意，當(dāng)x_n與K相比小時(shí)，x_n/K將接近于零， 這意味著x_{n+1}≈x_n+r*x_n。這意味著當(dāng)人口較少時(shí)，邏輯斯蒂克模型接近指數(shù)增長模型。 另一方面，當(dāng)x_n接近K時(shí)，x_{n}/K≈1，因此x_{n+1}≈x_{n}+r*x_{n}(1-1) = x_n。 換句話說，隨著人口接近承載能力K，人口是相對恒定的。

邏輯斯蒂克增長方程的另一種寫法

x_{n+1}=（1+r）x_{n}? r * K * ( x_{n} )^2 .

雖然仍然是一階，但在這種形式下，更明顯的是，邏輯斯蒂克增長是一種非線性遞推關(guān)系，
因?yàn)樗雾?xiàng)? r * K * ( x_{n} )^2.


如何確定模型參數(shù)，如增長率r, 承載能力K?

對于指數(shù)增長模型,? 根據(jù)數(shù)據(jù) x_{0}, x_{1}, 可以確定r:
具體來說就是根據(jù) x_{1} = (1+r)*x_{0}, 得到 r = x_{1} /x_{0} - 1.

對于邏輯斯蒂克模型，根據(jù)數(shù)據(jù) x_{0}, x_{1}, x_{2} , 可以確定 r, K ?
x_{1}=（1+r）x_{0}? r * K * ( x_{0} )^2, ?
x_{2}=（1+r）x_{1}? r * K * ( x_{1} )^2
聯(lián)立可以求解可得 r 和 K.

我們現(xiàn)在引入一個(gè)新的詞語: 態(tài)(state), 大家去百度搜索，你會發(fā)現(xiàn)在量子力學(xué)等很多學(xué)
科都在使用這個(gè)詞語。我這里只是簡單把他用成描述某個(gè)研究對象的狀態(tài)， 例如我要研究的
是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它在時(shí)間 t 的狀態(tài)可以用? x_t =? [q_t; p_t] 來表示, 這里 q_t 表示
時(shí)間 t 時(shí)的該質(zhì)點(diǎn)的位置, p_t 表示 時(shí)間 t 時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的 動量。 這里 [q_t; p_t] 表示
一個(gè)列向量, q_t 和 p_t 之間的分號是北太天元 把q_t 和 p_t 做豎直方向的連接。
因此，這里的 態(tài)(state) 就是一個(gè)向量。

再舉一個(gè)態(tài)的例子: 我們僅僅考慮在草原上生活著兩種動物 兔子 和 狼, 我們要研究這
兩個(gè)物種構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在時(shí)間n的態(tài)(state) 可以用這個(gè)兩個(gè)物種的數(shù)量
組成的向量來表示, 也就是? ?
?? x_t = [? 兔_t ; 狼_t ]
其中 兔_t 表示 t 時(shí)刻的兔子的數(shù)量， 狼_t 表示時(shí)間t時(shí)狼的數(shù)量。 ?
下面給出一個(gè)簡單的捕食者-被捕食者(predator-prey)離散模型：
?? 兔_{t+1}? = (1+r) * 兔_{t}? -? f * 狼_{t} * 兔_{t}
?? 狼_{t+1}? = (1+w) * 狼_{t}? +? g * 狼_{t} * 兔_{t}
這里出現(xiàn)了四個(gè)模型參數(shù), r 表示兔子的自然生長率，w是狼的自然生長率,
?f 和 g 則是反應(yīng) 狼兔相逢 對兔 和 狼 數(shù)量的影響。這些參數(shù)的確定可以通過
觀測兩個(gè)時(shí)間的態(tài)[兔_0; 狼_0], [兔_1; 狼_1]來確定。?

下面我們給出北太天元寫的一個(gè)包含子函數(shù)的腳本計(jì)算兔狼數(shù)量隨時(shí)間變化:
%狼是捕食者，兔子是被捕食者
%
%
%
clf;
close all;
clear all;


x = [ 1000; 1];
r = 0.01; f = 1e-4; w = 2e-3; g = 3e-5;
para = [ r; w; f; g];
x1 = pp_step(x,para);
x2 = pp_step(x1,para);

A = [ x(1),? 0,??? -x(1)*x(2), 0;
????? 0,???? x(2), 0,????????? x(1)*x(2);
???? x1(1),? 0,??? -x1(1)*x1(2), 0;
????? 0,???? x1(2), 0,????????? x1(1)*x1(2) ] ;
b = [ x1 - x;
?? ???? x2 - x1];
para = A\b; % 模型參數(shù)求解
N = 100;
p = zeros(2,N+1);
p(:,1) = x;
for n=1:N
?? ?p(:,n+1) = pp_step(p(:,n), para); ?
end

subplot(1,2,1)
plot(0:N, p(1,:),'r-','LineWidth', 3)
title('兔子')
subplot(1,2,2)
plot(0:N, 100*p(2,:),'b-','LineWidth', 3)
title('狼')



function x1 = pp_step(x, para)
?? ?[r, w, f, g] =? deal(para(1), para(2), para(3), para(4));
?? ?x1 = x;
?? ?x1(1) = (1+r)*x(1) - f*x(2)*x(1);
?? ?x1(2) = (1+w)*x(2) + g*x(2)*x(1);
end

離散模型還有一個(gè)非常重要的應(yīng)用，是谷歌(goole)搜索的網(wǎng)頁排名模型(page rank model),
這個(gè)值得單獨(dú)講一次，因此我們留在下一節(jié)。