在做平方數(shù)求和“12+22+32+···+n2”時(shí)，如果有可(tao)愛(yan)的小學(xué)生問“n(n+1)(2n+1)/6”這個(gè)公式怎么來的，你有沒有什么辦法給他講懂呢？

證明方法倒是很多——高次相鄰項(xiàng)相減累加法、Abel恒等變換、四棱錐立方體法、待定系數(shù)法、擾動(dòng)法……

但作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)老師，⑨老師和眾多老師一樣，認(rèn)為“踢三角”才是最最最適合小學(xué)生的證明方法.

該方法簡單直觀，并能讓小學(xué)生充分體會(huì)到“數(shù)形結(jié)合”的奇妙……

看到這，你可能已經(jīng)預(yù)判到⑨老師要畫三角形并開始講那個(gè)“踢一腳”“再踢一腳”的“踢三角大法”了——

非也！

不必踢兩腳，疊起來更好——

——確認(rèn)過眼神，這是干貨文~

以下是⑨老師的原創(chuàng)內(nèi)容：把“踢三角”改造為“RGB疊三角”！

“RGB疊三角”其實(shí)是“高斯倒序相加求和法”的進(jìn)階版.

既然我們愿意不厭其煩地給孩子講“高斯小時(shí)候巧妙地計(jì)算從1加到100”的故事，那就更應(yīng)該“好人做到底”.

有關(guān)“RGB疊三角”的正確學(xué)習(xí)方式應(yīng)分為以下三階段——

①高斯求和→②平方數(shù)求和→③自然數(shù)乘等差數(shù)求和.

○△△△△
○○△△△
○○○△△
○○○○△

(1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)

以上是高斯求和：將原式copy一份然后倒序相加，會(huì)看到“項(xiàng)項(xiàng)相等”的奇妙現(xiàn)象！

而平方數(shù)求和“12+22+32+42”可以認(rèn)為是“1×1+2×2+3×3+4×4”，即——

1
22
333
4444

如果還是模仿高斯求和將原式copy一份然后倒序相加——

14444
22333
33322
44441

(⊙o⊙)…呃~

以上每行并不相等……失敗.

這是因?yàn)槠椒綌?shù)求和的第n項(xiàng)“n2”隨序號(hào)n呈現(xiàn)平方式增加，變得“頭更輕腳更重”.

既然復(fù)制一份倒序相加不再有效，那就超級(jí)加倍——復(fù)制兩份，并把——

1
22
333
4444

寫在三張透明的三角形塑料片上——

一張紅色半透明塑料片名為R，一張綠色半透明塑料片名為G，一張藍(lán)色半透明塑料片名為B，將R、G、B上面的三角形數(shù)表的“1”分別朝三個(gè)不同方向并上下重疊在一起——

就會(huì)出現(xiàn)高斯求和中“項(xiàng)項(xiàng)相等”的現(xiàn)象——

R、G、B重疊后三角形數(shù)表的每個(gè)位置都疊放有三個(gè)數(shù)，且每個(gè)位置的三個(gè)數(shù)之和都等于“1+4+4”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”個(gè)，所以——

R+G+B=(1+4+4)×(1+2+3+4)

又因?yàn)镽=G=B=12+22+32+42，所以——

12+22+32+42
=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3
=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+4×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推廣到“n”，則有——

12+22+32+···+n2
=(1+2n)n(n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

以上是平方數(shù)求和公式的“RGB疊三角”證明法.

還沒完，接下來我們繼續(xù)介紹——

“自然數(shù)乘等差數(shù)”的求和方法.

（自然數(shù)乘等差數(shù)即自然數(shù)列1~n與等差數(shù)列A1~An序號(hào)相等的每一項(xiàng)相乘再求和.）

設(shè)R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，則有——

仍然會(huì)出現(xiàn)高斯求和中“項(xiàng)項(xiàng)相等”的現(xiàn)象——

R、G、B重疊后的三角形數(shù)表的每個(gè)位置都疊放有三個(gè)數(shù)，且每個(gè)位置的三個(gè)數(shù)之和都等于“1+7+7”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”個(gè)，所以——

R+G+B=(1+7+7)×(1+2+3+4)

又因?yàn)镽=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——

1×1+2×3+3×5+4×7
=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3
=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+7×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推廣到“n”，另設(shè)“An”為等差數(shù)列第n項(xiàng)，設(shè)“A1”為等差數(shù)列首項(xiàng)，則有——

1×1+2×3+3×5+···+n×An
=(A1+2An)n(n+1)/6
=n(n+1)(2An+A1)/6

以上就是“自然數(shù)乘等差數(shù)”的求和公式，特別地，當(dāng)An=n時(shí)，以上公式退化為——

n(n+1)(2n+1)/6

沒錯(cuò)，平方數(shù)求和公式其實(shí)是“自然數(shù)乘等差數(shù)”求和公式的特殊情況.

最后⑨老師想說的是，數(shù)學(xué)證明往往是給看似不相關(guān)的兩樣?xùn)|西畫上等號(hào)——這是非常需要靈感的.

靈感通常被描述為一瞬間打開了縱觀全局的上帝視角.

這種視角，往往是把概念、數(shù)據(jù)、符號(hào)、算式圖形化、結(jié)構(gòu)化、等量轉(zhuǎn)化——

這也是為什么⑨老師推薦大家多多去體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”，比如金字塔數(shù)求和——

1+2+3+4+3+2+1=？

一個(gè)4×4的點(diǎn)陣，從正常角度來看它就是4行4列即“4+4+4+4”，而按照斜線來求和卻是“1+2+3+4+3+2+1”，于是我們把“同一數(shù)量的兩種不同表達(dá)用等號(hào)連接”：

1+2+3+4+3+2+1=4×4

要知道，數(shù)學(xué)最重要的就是各種等式，而神奇公式等號(hào)連接的兩側(cè)，幾乎都是我們認(rèn)為風(fēng)馬牛不相及的東西——

e^(πi)=-1