在前面幾期的單元類型的選擇中提到了在某些情況下我們可以采用非協(xié)調(diào)單元避免剪切自鎖問題。

那么為什么這類單元可以避免自鎖問題？雜交單元，這個(gè)名稱并不怎么“好”的單元為什么能在發(fā)生體積自鎖的情況具有優(yōu)勢(shì)呢？我們結(jié)合實(shí)例講講——

01

非協(xié)調(diào)單元

非協(xié)調(diào)等參元最早由E.Wilson提出，提出的目的就是為了改善一階單元在面對(duì)彎曲問題時(shí)出現(xiàn)的剪切自鎖問題。通過在單元的位移插值函數(shù)中附加內(nèi)部無結(jié)點(diǎn)的位移項(xiàng)。增加附加項(xiàng)后就有可能 通過適當(dāng)調(diào)整系數(shù)使誤差降到最小。從數(shù)學(xué)上看, 是通過附加項(xiàng),使插值?函數(shù)中的二次項(xiàng)趨于完備, 從而達(dá)到提高計(jì)算精度的目的。

由于這些附加位移項(xiàng)在單元與單元的交界面上是不保證協(xié)調(diào)的, 也就是說由于單元內(nèi)增加了附加位移項(xiàng)而致使單元之間不能保證在交界面上位移的連續(xù)性。這些附加位移項(xiàng)稱之為非協(xié)調(diào)項(xiàng)。引入非協(xié)調(diào)位移項(xiàng)的單元稱為非協(xié)調(diào)元。顯然非協(xié)調(diào)元是違反有限元解的收斂準(zhǔn)則的（指完備性要求和協(xié)調(diào)性要求）。然而，已經(jīng)得到證明, 對(duì)于在單元邊上形函數(shù)連續(xù), 在單元尺寸不斷縮小的情況 (應(yīng)變趨于常應(yīng)變) 下, 非協(xié)調(diào)元的解趨于正確解。

以一個(gè)懸臂梁右端施加剪力結(jié)果舉例，下圖展示的是分別采用線性縮減積分、線性完全積分、線性非協(xié)調(diào)元的結(jié)果：

可以看到，當(dāng)使用縮減積分時(shí)，單元過于“柔軟”，變形量較大；完全積分時(shí)單元又過“硬”；完全積分非協(xié)調(diào)元時(shí)變形介于二者之間，且單元長(zhǎng)寬比越大時(shí)，非協(xié)調(diào)元損失精度越小。

*需要注意的是對(duì)單元的扭曲很敏感，在使用時(shí)必須小心以確保單元扭曲是非常小的。并且非協(xié)調(diào)單元和減縮積分單元，兩個(gè)只能選擇其一，不能同時(shí)選擇。但是可以同時(shí)選擇雜交單元。

02

雜交單元

如果材料是不可壓縮的,其體積在載荷作用下并不改變。因此,壓應(yīng)力不能由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算;這樣,對(duì)于具有不可壓縮材料性質(zhì)的任何單元,位移插值函數(shù)不再完全適用。因此軟件里的雜交單元包含一個(gè)可直接確定單元壓應(yīng)力的附加自由度。節(jié)點(diǎn)位移只用來計(jì)算偏(剪切)應(yīng)變和偏應(yīng)力。所以在對(duì)不可壓縮材料進(jìn)行分析時(shí)建議使用雜交單元。

*但是需要注意的是，ABAQUS軟件顯式求解器中不提供雜交單元，對(duì)于不可壓縮材料可能發(fā)生的體積自鎖只能采用細(xì)化網(wǎng)格或者采用顯隱式聯(lián)合的方式求解，顯隱式聯(lián)合求解將在相關(guān)課程和后續(xù)的技術(shù)文章中詳細(xì)說明。

參考資料

本篇參考資料為《有限單元法》5.6內(nèi)容及ABAQUS幫助文檔Element內(nèi)容