MIMO 檢測(MIMO detection)，是根據(jù)接收天線接收到的數(shù)據(jù)，估計發(fā)射天線發(fā)送的數(shù)據(jù)。當然，這個問題的前提是信道系數(shù)已經(jīng)知道。 我們假設(shè)信道是平坦衰落的，即發(fā)送的信號乘以一個復(fù)數(shù)增益，就是接收到的數(shù)據(jù)。

MIMO 檢測有很多種方法，這個文檔，我們想講一下基于馬爾科夫隨機場(Markov Random Field， MRF) 的置信傳播(Belief Propagration, BP)算法。

由于每個接收的天線都能接收到所有發(fā)射天線來的信號，因此，在接收到的每個信號，都可以給出每個發(fā)送符號的概率信息。因此，如果把每個發(fā)射信號都各看成一種需要估計的東西，那么這些估計之間是相互依賴的，這種依賴關(guān)系，是由接收天線得到的數(shù)據(jù)建立起來的。我們構(gòu)造的馬爾科夫隨機場概率圖模型中，是看不到接收到的信號的，是隱藏在后面的。例如，一個四根發(fā)射天線四根接收天線的系統(tǒng)如圖一，對應(yīng)的馬爾科夫隨機場如圖二。

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我們來推導(dǎo)一下全概率公式，即全概率的后驗概率

其中 x 是發(fā)送數(shù)據(jù)的列向量， y 是接收數(shù)據(jù)的列向量， H 是 Nr x Nt 的信道系數(shù)矩陣。若 n 是高斯白噪聲信號構(gòu)成的列向量，則：

那么

其中，因為 x 是與 H 無關(guān)的，且 x 各個元素的取值也是相互獨立的，則：

現(xiàn)在來推導(dǎo)一下? :

給定 x 和 H 后，y 是一個均值為 Hx，協(xié)方差為? 的 復(fù)高斯隨機向量。



我們把? 展開:


其中? 表示取實部的意思。

將公式 (2) 代入 公式 (1):

因為接收信號 y 和噪聲 都是已知的，因此，可以令：


則可以把公式 (3) 簡寫為：

根據(jù)矩陣乘法的一般推導(dǎo)公式（見附件），公式 (4) 可以展開為：


其中

另外需要注意，在矩陣展開時，又引入了一些常數(shù)，因此公式 (5) 中的常數(shù)與公式(4) 中的常數(shù)是不同的，因此，我加了一個撇號做標記，以示不同。

綜合上面的推導(dǎo)，公式 (0) 可以寫成：


令：

根據(jù)馬爾科夫隨機場概率模型的相關(guān)定理（此處需要補充細節(jié)），從 i 到 j 的消息為：

公式(7) 中需要注意的是上標 t，這個表示迭代的輪次。第 t 輪的所有消息的計算，都是基于 t-1 輪的消息，要把所有消息都計算完畢之后， t-1 輪的消息才沒有用了，t 輪的消息才變成 t+1 輪的輸入。



則 最終關(guān)于變量? 的概率信息（置信度）正比于：

通過比較?? 與? 的大小 ，可以對? 做判決。




代碼（Matlab）

仿真的結(jié)果：

附錄一：矩陣公式的推導(dǎo)

在文中從公式(4) 到公式(5)，這里面有點跳躍，現(xiàn)在在這里詳細證明一下。

首先，令 ， 則我們需要分析的矩陣乘法是：
我們先計算后兩個相乘的部分：

則

信道系數(shù)矩陣 H 的自相關(guān)矩陣 R 中，主對角線上的元素都是實數(shù)，沒有虛部。

又由于我們假定是 BPSK，只有 +1 和 -1 兩種取值，所以在上面的求和公式中，i=j 的部分可以單獨拿出來?? (-1)*(-1) =1, ?? 1*1 =1 ：

這是與? 無關(guān)的常量。



另外，當? 時，因為 R 矩陣有共軛轉(zhuǎn)置就是其自身的特性，所以：

珍惜環(huán)境，減少塑料垃圾進入河流海洋，謝謝了