小姚老師 | 1 函數(shù)概念與性質(zhì)

1??函數(shù)三要素

一、定義域

1. 具體

• √x：x≥0
• log??：a,x＞0，a≠1
• 1/x：x≠0
• x?：x≠0

2. 抽象

①定義域：x

②括號(hào)范圍不變?cè)瓌t

若f(x)的定義域?yàn)椤? , 3】，則函數(shù)y= f(x-1)的定義域?yàn)椤? , 4】

若f(2x+1)的定義域?yàn)椤? , 3】，則函數(shù)y= f(x)的定義域?yàn)椤? , 7】

二、值域

1. 同除法

分子分母都有單項(xiàng)式，同時(shí)除以這個(gè)單項(xiàng)式：變成對(duì)勾函數(shù)或二次函數(shù)

2. 換元法

二次除二次：分離常數(shù)

三、解析式

f后面是表達(dá)式，用t換元

f后面是函數(shù)，用待定系數(shù)法

• 設(shè)kx+b

f后面是等式，用方程法

• x替換成 -x 或 1/x

2??單調(diào)性與奇偶性

一、單調(diào)性

2. 等價(jià)定義

?x?≠x?

k = f(x?) -f(x?) / x?-x? > 0，f(x)是增函數(shù)

3. 復(fù)合

f(g(x))：同↑異↓

4. 導(dǎo)數(shù)

>0增，<0減

二、奇偶性

1. 奇函數(shù)

f(-x) =-f(x)

f(x) =ln(√1+x2 ±x)

f(x) =e? -e??

注意定義域：2 ≥ x > 2x-1 ≥-2

先判斷奇偶，后判斷增減

用圖像的幾何性質(zhì)判斷大?。ň嚯x）

奇函數(shù)，求導(dǎo)確定是增函數(shù)

e? +e?是定值

3??對(duì)稱中心應(yīng)用

奇函數(shù)，坐標(biāo)對(duì)稱

對(duì)稱中心（0，1），所以是-9

奇函數(shù)，增函數(shù)

分離常數(shù)，奇函數(shù)，對(duì)稱中心

4??函數(shù)性質(zhì)擴(kuò)展

f（）~f（）

一、和為常數(shù)：對(duì)稱性

• f（a-x）= f（a+x）【x=a】
• f（a-x）= f（b+x）【x=a+b/2】

對(duì)稱方程：括號(hào)相加 / 2

二、差為常數(shù)：周期性

• f（a-x）= -f（a+x）【對(duì)稱中心（a , 0）】
• f（a-x）= -f（a+x）+b【對(duì)稱中心（a , b/2）】
• f（x）= f（x+k）【T=k】
• f（x）= -f（x+k）【T=2k】

5??雙對(duì)稱的周期結(jié)論

雙對(duì)稱的周期結(jié)論（可借助三角函數(shù)輔助理解）

（1）如果函數(shù)f(x)有兩條對(duì)稱軸，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱軸距離的2倍.

（2）如果函數(shù)f(x)有一條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍.

（3）如果函數(shù)f(x)有在同一水平線上的兩個(gè)對(duì)稱中心，則f(x)一定是周期函數(shù)，周期為對(duì)稱中心之間距離的2倍.

把g(x) -f(x-4)替換成g(2-x) -f(-2-x) =7

6??函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像關(guān)系

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱結(jié)論：

（1）若f(x)存在導(dǎo)函數(shù)f'(x)，且f(x)有對(duì)稱中心（a , b），則f(x)必有對(duì)稱軸x=a .特別地，若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)為偶函數(shù).

（2）若f(x)存在導(dǎo)函數(shù)f'(x)，且f(x)有對(duì)稱軸x=a，則f(x)必有對(duì)稱中心（a , 0）.特別地，若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù).

（3）若f(x)有對(duì)稱中心（a , b），則f(x)不一定有對(duì)稱軸x=a；但若b=0，則f(x)一定有對(duì)稱軸x=a .特別地，若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)必為偶函數(shù).

（4）若f(x)有對(duì)稱軸x=a，則f(x)必有對(duì)稱中心（a , b）.特別地，若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)不一定是奇函數(shù)，只能f(x)關(guān)于（0 , b）對(duì)稱，但b不一定是0.