原題詳見:

BV1SP4y1L7Cm

可分別求∫√cotxdx①和∫√tanxdx②再相減

對(duì)①，令x=arccotu

則①=∫√ud(arccotu)=∫-√u/(1+u2)du=

-∫√u/(1+u2)du

即需求不定積分∫√u/(1+u2)du

對(duì)②，令x=arctanu

則①=∫√ud(arctanu)=∫√u/(1+u2)du

即需求不定積分∫√u/(1+u2)du

因此，目標(biāo)可轉(zhuǎn)向求取不定積分∫√u/(1+u2)du

ps:由于打字設(shè)備限制，暫無法使用文檔打出工整數(shù)學(xué)符號(hào)，又因積分過程較繁瑣，且字符不易打出。為方便讀者理解，鄙人無奈只能采用手寫了。(字丑勿嫌)

再分別對(duì)兩個(gè)不定積分自變量將元換回即可

最終(待化簡(jiǎn))結(jié)果為

其中，t?+1裂項(xiàng)的過程如下:

令t?+1=0，運(yùn)用棣莫弗公式(歐拉公式亦可)求得該方程4個(gè)復(fù)數(shù)根為:

t?=√2/2+√2/2i,t?=-√2/2+√2/2i

t?=-√2/2-√2/2i,t?=√2/2-√2/2i

其中t?與t?，t?與t?分別互為共軛復(fù)數(shù)

配成兩個(gè)一元二次方程得

(t2-√2t+1)(t2+√2t+1)