牟合方蓋與球的關(guān)系

? ? 大家好，牟合方蓋是一千多年前為了求球體體積公式而談?wù)摰膸缀误w，就是將兩個同樣大小的圓柱垂直相交，并且中心點為同一點，這樣兩個圓柱的重疊部分所構(gòu)成的立體圖形就是牟合方蓋，敘述不太嚴密，直接看圖吧，如下

?? ?那么如何用牟合方蓋來計算球體體積呢？就需要用到祖暅原理了。

? ? 祖沖之大家都知道，計算圓周率的數(shù)學家，此外，他還有很多理論傳承下來，有著名的極限思想，他的后人受到這些經(jīng)典的數(shù)學思想，耳濡目染也成為偉大的數(shù)學家，并且提出來著名的理論——界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果截面的面積處處相等，那么這兩個幾何體的體積相等。以上便是祖暅原理，由祖沖之的后代，數(shù)學家祖暅提出，也叫卡瓦列利原理。

? ? 根據(jù)祖暅原理，可以明確球體體積和牟合方蓋存在很大的聯(lián)系，根據(jù)圖3 可知，如果被平行的平面所截，設(shè)截面到最底面的高度為h，牟合方蓋的半徑為r，那么牟合方蓋其內(nèi)切球的截面圓面積為

? ? 而牟合方蓋的截面都是正方形，其面積為。而當? 在上半部分時，內(nèi)切球截面面積為，同理，牟合方蓋截面面積為，可見牟合方蓋的截面正方形面積是內(nèi)切球截面圓面積的倍，那么根據(jù)祖暅原理，牟合方蓋的體積也將是內(nèi)切球的倍，想求球體體積，只要將牟合方蓋體積乘以即可。

牟合方蓋的體積

? ? 那么問題又來了，牟合方蓋的體積怎么求呢？由于體積的對稱性，這里將牟合方蓋切成全等的8份，考慮其中一份就行了，發(fā)現(xiàn)牟合方蓋體積與正方體內(nèi)部的四棱錐體積相等，如圖

? ? 為了便于觀察，畫出了輔助正方體，上圖是牟合方蓋體積的，觀察平行平面，發(fā)現(xiàn)剩余部分截面面積與同樣的正方體下的四棱錐部分的截面面積相等（兩圖中紫色截面面積相等），那是因為若設(shè)紫色截面高度為y，那么兩處截面紫色部分面積都將是，這樣我們就可得出牟合方蓋體積的為?，那么牟合方蓋的體積為，從而可求出球體體積為?

牟合方蓋的表面積

? ? 下面來看看牟合方蓋的表面積，想求表面積可以計算一下展開圖，如果沿著截面正方形對角線的位置將其切開，切痕就相當于把圓柱體斜著45°切開的切面，應(yīng)該是橢圓，那展開圖呢？想象一下將粉筆用紙卷起來再斜著切，那么切完之后紙的痕跡應(yīng)該是三角函數(shù)曲線，為什么呢？這里根據(jù)牟合方蓋計算一下，如圖4，設(shè)側(cè)面射線到底面的夾角為θ，就可以列出參數(shù)方程。如果將側(cè)面展開，弧長為x軸，展開的寬度為y，那么根據(jù)牟合方蓋可知

化簡可得

那么解析式就是余弦函數(shù)了，一半的牟合方蓋展開圖如下

? ? 其中的弧線是余弦曲線，那么根據(jù)代表曲線所圍一片葉子的積分可算得整個牟合方蓋的表面積為

創(chuàng)新思維

? ? 牟合方蓋的體積、表面積及應(yīng)用就這些了，感覺到創(chuàng)意沒？其實表面積那部分要用到積分的知識才能解決，如果想只用高中知識，那就用極限試試吧，原理都一樣，將θ分成n份，每份的弧長乘以寬度再求和，最后再將n趨勢到∞就行了，有興趣的朋友可以自己計算。