我們先復(fù)習(xí)一下實(shí)數(shù)完備性第二個(gè)定理的內(nèi)容：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

我們把這個(gè)定理?yè)Q一種更好應(yīng)用的方式表述——單增有上界數(shù)列必有極限，單減有下界數(shù)列必有極限。

而這個(gè)定理常常會(huì)用到的地方——

1. 典型能看出來(lái)單調(diào)的數(shù)列，比如我們學(xué)到后面的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定法中，就有這條定理的應(yīng)用；

2. 考試的時(shí)候，如果遇到“證明XXX迭代數(shù)列是收斂的”優(yōu)先考慮能不能用這個(gè)定理——迭代數(shù)列是拿一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)表示an的方式，比如最簡(jiǎn)單的迭代數(shù)列a1=1，an=an-1+1就是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。

這個(gè)定理的用法也很簡(jiǎn)單——

1. 判斷迭代數(shù)列是否單調(diào)？——是，進(jìn)第2步，否，考慮其他辦法；

2. 判斷迭代數(shù)列是否有界？——是，進(jìn)第3步，否，則數(shù)列發(fā)散；

3. 由1、2可知數(shù)列是有極限a的，那么我們令n趨向于無(wú)窮大，就可以得到一個(gè)關(guān)于極限a的方程，解出方程即可得到極限a。

今天我們聊一下最后一道偏復(fù)雜的題目，這一題書上的分析比較繞，我們按照正常思路捋一下，有兩種情形，我們分兩次講完——

35例題

6.迭代數(shù)列：x1=c/2，xn+1=c/2+xn^2/2，（c為實(shí)數(shù)）——

這道題是要找出這個(gè)數(shù)列有極限時(shí)，c的所有取值。

分析——

1. 顯然c=0的時(shí)候這個(gè)數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列xn=0，我們主要考慮c不為0的情況；

2. 作差：xn+1-xn=（c/2+xn^2/2）-（c/2+xn-1^2/2）=（xn^2-xn-1^2）/2；

3. 又x2-x1=（c/2+x1^2/2）-x1=（c/2+x1^2/2）-c/2=x1^2/2=（c/2）^2/2=c^2/8；

4. 我們做一步簡(jiǎn)單的運(yùn)算：xn+1-xn=（xn^2-xn-1^2）/2=（xn+xn-1）（xn-xn-1）/2={（xn+xn-1）[（xn-1^2-xn-2^2）/2]}/2=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）（xn-1-xn-2）/4=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（x2-x1）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）（c^2/8）/2^（n-1）=（xn+xn-1）（xn-1+xn-2）……（x2+x1）c^2/2^（n+2）；

5. 顯然這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，在數(shù)列{xn}為正項(xiàng)數(shù)列的時(shí)候單增，而在非正項(xiàng)數(shù)列時(shí)則單調(diào)性待定；

6. 又已知這個(gè)數(shù)列有極限a，則可以令迭代公式兩側(cè)n趨向于無(wú)窮大，即lim?xn+1=lim （c/2+xn^2/2）=c/2+（lim?xn^2）/2，即a=c/2+?a^2/2；

7. 解得a=[2+（4-4c）^（1/2）]/2=1+（1-c）^（1/2）或者a=1-（1-c）^（1/2）；

8. 因?yàn)閿?shù)列有極限a，所以這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，所以，1-c>=0，c<=1 。

由分析過(guò)程4、7，我們得到情形一——

a).0<c<=1——

分析——

1. 已知xn+1=c/2+xn^2/2>c/2>0，則該數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，有下界0；

2. 已知當(dāng)數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列時(shí)，單調(diào)遞增；

3. 又x1=c/2<=1/2，x2=c/2+x1^2/2=c/2+（c/2）^2/2=（4c+c^2）/8<=5/8，x3=c/2+x2^2/2<=1/2+（5/8）^2/2=89/128，以此猜想，數(shù)列{xn}有上界1；

   用歸納法證明——

   x1=c/2<=1；

   假設(shè)xn<=1，則xn+1=c/2+xn^2/2<=c/2+1/2<=1，證畢，該數(shù)列有上界1；

4. 則該數(shù)列在0<c<=1為一個(gè)單增有界的數(shù)列，必有極限a，由數(shù)列的取值范圍（0,1]，可知，0<=a<=1，即a=1-（1-c）^（1/2）。

下次結(jié)束這部分習(xí)題！