學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（六十）

2023-02-25 15:26 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

現(xiàn)在，我們正式進(jìn)入數(shù)學(xué)分析的最后一部分內(nèi)容——Fourier級(jí)數(shù)。

基本上，在介紹完Fourier級(jí)數(shù)以后，數(shù)學(xué)分析部分就結(jié)束了。歷經(jīng)半年多，終于將整個(gè)數(shù)學(xué)分析部分完完整整地給大家呈現(xiàn)了一遍。不同于一般教材的編寫，在專欄里我其實(shí)是加入了很多自己的理解與想法。

比如說(shuō)，為了便于大家理解問題，我加入了很多的引入想法，意在能夠讓大家不是生硬地背誦或者是將這些東西看做是沒有什么依據(jù)的、不好聯(lián)系的東西來(lái)學(xué)習(xí)，希望能利用自己的理解來(lái)讓大家不是感覺到那么枯燥和難以接受。

又比如，在很多內(nèi)容的介紹方面，我選擇了改變形式與順序，將不重要的內(nèi)容略過，突出重點(diǎn)。并且為了突出內(nèi)容之間的聯(lián)系，不同于一般教材編寫的順序，我打亂了很多內(nèi)容。同時(shí)，一些通常教材上一定會(huì)有的內(nèi)容，較為基礎(chǔ)又比較鍛煉思維的，我都放到了思考里，讓大家能夠自由地去練習(xí)。

再比如，為了能夠保證內(nèi)容的全面性與連貫性，我還在專欄里補(bǔ)充了很多的內(nèi)容，包括重積分換元部分，還有很多內(nèi)容中引用一些其他大佬的思路，便于大家吸收。

總而言之，還是比較希望大家能夠真的學(xué)到很多東西，也可以說(shuō)是我所做的這些事情有真的幫助到大家~

Chapter? Seventeen? Fourier分析

17.1? 周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)

Fourier級(jí)數(shù)的產(chǎn)生，其實(shí)很大程度上來(lái)源于物理學(xué)的需要。發(fā)明這一級(jí)數(shù)的Fourier本人，其實(shí)就是一位物理學(xué)大佬。Fourier的主要工作領(lǐng)域似乎是熱傳導(dǎo)方向，傳熱學(xué)中的Fourier定律就是出自這位之手。

那么，F(xiàn)ourier定律能夠用來(lái)解決什么樣的物理問題呢？

學(xué)過或者未來(lái)要學(xué)到信號(hào)與系統(tǒng)的小伙伴就比較會(huì)有感觸，因?yàn)檫@們課程基本上就是圍繞著Fourier分析展開的。事實(shí)上，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)與Fourier分析，主要能夠針對(duì)的，就是周期現(xiàn)象（這是指狹義Fourier級(jí)數(shù)，當(dāng)我們介紹過著一章的全部?jī)?nèi)容后，我們會(huì)看到廣義的Fourier級(jí)數(shù)），因?yàn)镕ourier級(jí)數(shù)的通項(xiàng)就是含參數(shù)的三角函數(shù)?；谌呛瘮?shù)的周期性，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)就能夠很好地刻畫許多周期現(xiàn)象。

物理學(xué)中比較明顯的周期現(xiàn)象，就是簡(jiǎn)諧波。具體的物理細(xì)節(jié)我們不去討論，我們只要知道，簡(jiǎn)諧波是可以疊加的，從而也可以拆分。那么我們就要想，對(duì)于一個(gè)一般的簡(jiǎn)諧波，我們?cè)趺茨軌驅(qū)⑵洳鸾鉃橐幌盗泻?jiǎn)諧波的和呢？換句話說(shuō)，一個(gè)周期函數(shù)如何能被表達(dá)成：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20(a_k%5Ccos%20kx%2Bb_k%5Csin%20kx)$

這樣的形式呢？更進(jìn)一步，這一函數(shù)能否被表達(dá)成：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)$

這一級(jí)數(shù)的形式呢？

這就是這一章我們要研究的問題。

由于三角函數(shù)的一般周期是2π，而對(duì)于任何周期不是2π的周期函數(shù)而言，我們只要做變換：

$t%3D%5Cfrac%7BT%7D%7B2%5Cpi%7D%20x$

就能將周期轉(zhuǎn)換為2π，從而，我們只需要討論周期為2π的周期函數(shù)的展開即可。一般，我們都考慮區(qū)間 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上的函數(shù)。

在目前的討論當(dāng)中，我們暫不考慮收斂性，或者假定右側(cè)級(jí)數(shù)已經(jīng)一致收斂。此時(shí)，這一三角級(jí)數(shù)就有了良好的分析性質(zhì)。我們可以借助這些性質(zhì)來(lái)求解三角函數(shù)項(xiàng)前的系數(shù)。

由于系數(shù)本身是只關(guān)于n的數(shù)，因此我們想辦法通過一些手段將其與函數(shù)項(xiàng)分離開來(lái)，或者直接消除函數(shù)項(xiàng)。考慮到我們過往所學(xué)到的各種基本內(nèi)容，不難想到求和或者求積分可以做到這一點(diǎn)。于是，我們考慮：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df(x)%5Ccos%20mx%5Ctext%20dx%26%3D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cbigg(%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20a_n%5Ccos%20nx%5Ccos%20%20mx%2Bb_n%5Csin%20nx%5Ccos%20mx%5Cbigg)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D(a_n%5Ccos%20nx%5Ccos%20mx%2Bb_n%5Csin%20nx%5Ccos%20mx)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%20a_n%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos%20nx%5Ccos%20mx%5Ctext%20dx%2Bb_n%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Csin%20nx%5Ccos%20mx%5Ctext%20dx%5Cbigg)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

現(xiàn)在的問題就是計(jì)算等號(hào)右側(cè)最后的各項(xiàng)積分。不難證明：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Ccos%20nx%5Ccos%20mx%5Ctext%20dx%3D%5Cpi%20%5Cdelta%20_%7Bmn%7D%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A0%2C%26m%E2%89%A0n%5C%5C%0A%5Cpi%2C%26m%3Dn%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

類似地，還有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Csin%20nx%5Csin%20mx%5Ctext%20dx%3D%5Cpi%20%5Cdelta%20_%7Bmn%7D%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0A0%2C%26m%E2%89%A0n%5C%5C%0A%5Cpi%2C%26m%3Dn%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

以及：

$%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Ccos%20nx%5Csin%20mx%5Ctext%20dx%3D0$

其中， $%5Cdelta%20_%7Bmn%7D$ 是Kronecker符號(hào)。我們將這樣的性質(zhì)稱為正交性。這一性質(zhì)的名稱正是類比于向量當(dāng)中的正交性，積分相當(dāng)于是求函數(shù)間的內(nèi)積。有了這樣的一個(gè)性質(zhì)，我們就說(shuō)，三角函數(shù)系是一個(gè)正交函數(shù)系。

利用正交性結(jié)果，我們就不難得到：

$a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)%5Ccos%20nx%20%5Ctext%20dx%5Cquad(n%3D1%2C2%2C%5Ccdots)$

$b_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)%5Csin%20nx%20%5Ctext%20dx%5Cquad(n%3D1%2C2%2C%5Ccdots)$

另外：

$a_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%EF%BC%8Cb_0%3D0$

記：

$f(x)%5Csim%20%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%20%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx)$

我們將右側(cè)的級(jí)數(shù)稱為周期函數(shù) $f(x)$ 的Fourier級(jí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)系數(shù)為Fourier系數(shù)。

我們上述的結(jié)果是建立在我們假定Fourier級(jí)數(shù)一致收斂的前提條件下的，但是實(shí)際上是否真的滿足這一條件，一般而言是未必的。為了能夠應(yīng)用我們的結(jié)果，我們先要來(lái)考慮，什么時(shí)候Fourier級(jí)數(shù)有希望一致收斂。

由我們?cè)诤瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分的內(nèi)容，我們知道，若要函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂，那么首先要滿足：

$%7Ca_n%5Ccos%20nx%7C%5Crightrightarrows0%EF%BC%8C%7Cb_n%5Csin%20nx%7C%5Crightrightarrows0%5Cquad%20(n%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E)$

（ $%5Crightrightarrows$ 表示一致收斂）

而由于三角函數(shù)本身并不一致收斂到任意函數(shù)，甚至是任意不收斂的，所以我們很大程度上寄希望于Fourier系數(shù)能夠滿足這一條件。Riemann-Lebesgue引理表明，F(xiàn)ourier系數(shù)確實(shí)滿足這一條件：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可積， $g(x)$ 是周期為T的非負(fù)可積函數(shù)，則：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(nx)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cint_0%5ET%20g(x)%5Ctext%20dx%20%20$

更一般的條件如下：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可積， $g(x)$ 是周期為T的非負(fù)可積函數(shù)，則：

$%5Clim_%7B%5Clambda%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(%5Clambda%20x)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cint_0%5ET%20g(x)%5Ctext%20dx%20%20$

我們討論過反常積分后，知道可積的概念可以推廣，那么對(duì)于反常積分而言，這一引理也對(duì)應(yīng)成立，即：

設(shè)函數(shù) $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上反常絕對(duì)可積（簡(jiǎn)稱絕對(duì)可積）， $g(x)$ 是周期為T的非負(fù)可積函數(shù)，則：

$%5Clim_%7B%5Clambda%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(%5Clambda%20x)%5Ctext%20dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cint_0%5ET%20g(x)%5Ctext%20dx%20%20$

這三個(gè)定理統(tǒng)稱為Riemann-Lebesgue引理，可以看到，第一條實(shí)際上是第二條的特殊形式，而第三條則更為廣泛。

考慮到Fourier系數(shù)的形式，顯然能夠從引理當(dāng)中得到它們是收斂于0的，因此由Weierstrass控制判別法，我們就知道通項(xiàng)是一致收斂到0的。

最后，我們指出，我們目前所做的，都只是關(guān)于函數(shù)在某一周期區(qū)間內(nèi)展開成Fourier級(jí)數(shù)的討論。事實(shí)上，這樣的展開在任何一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)都成立，而在不同的周期區(qū)間內(nèi)的展開表達(dá)式未必一樣，但總是可以統(tǒng)一的。

而當(dāng)我們求出一個(gè)選定周期區(qū)間內(nèi)的Fourier級(jí)數(shù)，我們就可以將其平移到各個(gè)對(duì)應(yīng)周期區(qū)間內(nèi)而不加任何變動(dòng)。

思考：

證明三角函數(shù)系滿足正交性；
證明Riemann-Lebesgue引理的第二條，并嘗試了解并理解第三條的證明；
證明：n次三角多項(xiàng)式：

$T_n(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20(%5Calpha_n%5Ccos%20kx%2B%5Cbeta_n%5Csin%20kx)$

的Fourier級(jí)數(shù)就它本身；
求下列函數(shù)在指定周期區(qū)間內(nèi)的Fourier級(jí)數(shù)：

（1）

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0Af(x)%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0Ax%2C%26-%5Cpi%5Cle%20x%EF%BC%9C%5Cpi%5C%5C%0A-%5Cpi%2C%26x%3D%5Cpi%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

（2）

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0Af(x)%3D%0A%5Cbegin%20%7Bcases%7D%0Ax%2C%260%EF%BC%9C%20x%5Cle%202%5Cpi%5C%5C%0A2%5Cpi%2C%26x%3D0%0A%5Cend%20%7Bcases%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$