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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

今年的收益是否真的與典型年份的預(yù)期不同？差異實(shí)際上與典型年份的預(yù)期不同嗎？這些都是容易回答的問題。我們可以使用均值相等或方差相等的測試。
但是下面這個(gè)問題呢。?

今年的收益概況與一般年份的預(yù)期情況是否不同？

這是一個(gè)更加普遍和重要的問題，因?yàn)樗ㄋ械臅r(shí)刻和尾部行為。而且它的答案也不那么簡單。

我在想一定有一種方法可以檢驗(yàn)收益密度之間的差異，而不僅僅是量化、可視化和用眼睛看。確實(shí)有這樣的方法。這篇文章的目的是展示如何正式檢驗(yàn)密度之間的平等。

事實(shí)上，至少有兩種方法可以檢驗(yàn)兩個(gè)密度或兩個(gè)分布之間的平等。第一種是比較經(jīng)典的。這種檢驗(yàn)被稱為Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)。另一種是比較現(xiàn)代的，使用Permutation Test置換檢驗(yàn)（需要模擬）。我們展示這兩種方法。讓我們先拉出一些價(jià)格數(shù)據(jù)。

1. 


2. end<- format(Sy.D, "%Y-%m-%d")

3. l = lenh

4. da0 <- lay

5. Time <- index

6. ret <- as.numeric/as.numeric -1

7. tail(rt)

8. # 得到直到2018年的指數(shù)。

9. # 我們隨后將2018年與其他年份進(jìn)行比較

10. tid<- which(index)

11. 


> SD(100*retd[1:tid])

1. > # 2008年（到目前為止）每日回報(bào)的平均值和SD值

2. 


3. > mean(100*rtd[-c(1:tpd)])

> SD(100*red[-c(1:mid)])

我們可以看到，2018 年每日收益的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與其余的均值和標(biāo)準(zhǔn)差略有不同。這是估計(jì)密度的樣子：

Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)

?我們可以做的是計(jì)算每個(gè)密度的累積分布函數(shù)

。2018年的那個(gè)和不包括2018年的那個(gè)。說

分布是針對(duì)2018年的，

分布是針對(duì)其他的。我們計(jì)算每個(gè)X的差異

。我們知道這些（絕對(duì)）差異的最大值是如何分布的，所以我們可以用這個(gè)最大值作為測試統(tǒng)計(jì)量，如果它在尾部的分布太遠(yuǎn)，我們就認(rèn)為這兩個(gè)分布是不同的。從形式上看。

??

?

?介于 0 和 1 之間（通過構(gòu)造，因?yàn)槲覀儨p去兩個(gè)概率并取絕對(duì)值）。?

?是一個(gè)?Brownian bridge. （最大）差異具有已知分布。這是一個(gè)極限分布，所以我們需要大量的觀測值 n 才能對(duì)這個(gè)檢驗(yàn)有信心。

Kolmogorov-Smirnov 測試 - R 代碼

讓我們將 2018 年的每日收益與其余收益進(jìn)行比較，看看基于 Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)的分布是否相同：

1. # Kolmogorov-Smirnov測試 ####

2. ks.test

3. 


我們看到，最大值是0.067，根據(jù)極限分布，P值是0.3891。所以沒有證據(jù)表明2018年的分布與其他的分布有任何不同。

讓我們來看看置換檢驗(yàn)。主要原因是，鑒于Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)是基于極限分布的，為了使其有效，我們需要大量的觀察結(jié)果。但是現(xiàn)在我們不必像過去那樣依賴漸進(jìn)法，因?yàn)槲覀兛梢允褂糜?jì)算機(jī)。

兩個(gè)密度相等的置換檢驗(yàn)Permutation Test

直觀地說，如果密度完全相同，我們可以把它們放在一起，從 "捆綁數(shù)據(jù) "中取樣。在我們的例子中，因?yàn)槲覀儼咽找媛示奂谝粋€(gè)向量中，對(duì)向量進(jìn)行排列意味著2018年的每日收益率現(xiàn)在分散在向量中，所以像上面的方程那樣取一個(gè)差值，就像從一個(gè)無效假設(shè)中進(jìn)行模擬：2018年每日收益率的分布與其他的完全相同?，F(xiàn)在，對(duì)于每個(gè)x，我們將有一個(gè)在原假設(shè)下的差異。我們也有每個(gè)x的實(shí)際差異，來自我們的觀察數(shù)據(jù)。我們現(xiàn)在可以將密度之間的實(shí)際差異（每個(gè)x）平方（或取絕對(duì)值），并將其與我們從 "數(shù)據(jù) "生成的模擬結(jié)果進(jìn)行比較。通過觀察實(shí)際差異落在模擬差異的哪個(gè)四分位數(shù)，可以估計(jì)出p值。如果實(shí)際數(shù)據(jù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原假設(shè)下的分布范圍，那么我們將拒絕分布相同的假設(shè)。

密度比較置換檢驗(yàn) - R 代碼

我們來執(zhí)行剛剛描述的操作。兩個(gè)參數(shù)?boot?和grid?是您想要的模擬數(shù)量以及您在計(jì)算 x 時(shí)想要使用的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)?

. 因此?ngrid=100?。

1. 


2. # 我們需要兩組的索引，2018年和其他的。

3. id <- substr

4. tmnd <- i1 == 2018

5. sme

我們可以看到 p 值與我們使用 Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)得到的值差別不大。這是它的樣子：

等密度檢驗(yàn)：p 值 = 0.326

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