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? ? 勾股數(shù)指的是滿足不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)。我們常見(jiàn)的有：

【3,4,5】【6,8,10】【5,12,13】【7,24,25】……

拋開(kāi)【6,8,10】，因?yàn)檫@可以從【3,4,5】產(chǎn)生，我們來(lái)觀察其余三組勾股數(shù)。發(fā)現(xiàn)它們有一下特點(diǎn)：

1.最小的數(shù)是一個(gè)奇數(shù)

2.其余兩個(gè)數(shù)是連續(xù)的

3.一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)

于是我們想到，是否存在其他的勾股數(shù)滿足以上三個(gè)規(guī)律。

嘗試一下，比如設(shè)一組勾股數(shù)中最小的數(shù)是9，另兩個(gè)數(shù)為x和x+1，那么根據(jù)以上規(guī)律，得到方程

92+x2=(x+1)2，解得x=40.

于是【9,40,41】成為滿足上面三條規(guī)矩的第四組勾股數(shù)。

那么，這些勾股數(shù)有沒(méi)有什么一般規(guī)律呢？

既然最小的數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，不妨設(shè)這個(gè)數(shù)是

(2n+1)，其中n∈N

那么，我們又得到方程

(2n+1)2+X2=(X+1)2，其中X為我們要尋找的多項(xiàng)式。

容易解得X=2n(n+1).

也就是說(shuō)，【2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1】是上面勾股數(shù)的一般形式。

當(dāng)n=0時(shí)，上面的公式計(jì)算出【1,0,1】這顯然是不滿足勾股數(shù)的定義的。因此在上面的公式中，n∈N+。

對(duì)于一組勾股數(shù)，它的正整數(shù)倍也依然是勾股數(shù)（比如【3,4,5】和【6,8,10】)，因此，上面的公式還可以擴(kuò)展為

【k(2n+1),k[2n(n+1)],k[2n(n+1)+1]】，其中

n,k∈N+。

對(duì)于其他形式的勾股數(shù)的研究涉及不定方程的相關(guān)知識(shí)，up水平有限，不能深入研究，希望有大神能夠補(bǔ)充。