//上一章還有一點點內(nèi)容需要收尾。

//這一篇基本上是關(guān)于分離變數(shù)法這一章的內(nèi)容。

//前面有一次專欄做到最后他提示我圖片超過一百張投不了，我這才了解到那些公式都是以特殊圖片形式插入的。因此這一次為了盡量避免這一問題有一些簡短公式就不專門用公式格式打了，略有不規(guī)范請諒解...

我們考慮以下問題，并以此為例介紹一些微分方程解法。

考慮長度為的弦上的波動方程

有兩端固定邊界條件

和初始條件.

I 達(dá)朗貝爾公式

我們在上一章中對于相關(guān)方程的分析提示我們，可以考慮變量代換：

并且我們也證明了微分方程有通解

這里我們直接代入初始條件得到：

后一式積分，結(jié)合前式即可證明：

上式被稱為達(dá)朗貝爾公式。

II 分離變數(shù)法

事實上，我們知道固定端點會引起波的反射，這讓我們聯(lián)想到駐波。猜駐波解：

代入微分方程得

一邊關(guān)于時間，一邊關(guān)于空間，總是相等，因此必為常數(shù).

又有邊界條件：

因為任何指數(shù)發(fā)散的解都是無意義的，這里只能，得三角函數(shù)解：

而，這種特定取值稱為本征值，以上對X的求解為本征值問題。

同理不難解得

以上就是所有可能的駐波，每一個k值均對應(yīng)一個一種駐波，或稱本征振動。k=1稱為基波，而其他為k次諧波。

考慮到微分方程是線性的，各個本征值對應(yīng)的解可以疊加起來：

這個形式讓我們想到傅里葉級數(shù)。事實上，將初值條件：

代入，即發(fā)現(xiàn)它們分別展開為傅里葉正弦級數(shù)，即可求得.

III 極坐標(biāo)系的處理

勻強(qiáng)電場中，放置垂直導(dǎo)體圓柱。自由空間的靜電場滿足拉普拉斯方程：

邊界條件：（假設(shè)勻強(qiáng)電場沿x軸）

我們?nèi)匀环诸愖兞?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cphi%3DR(r)%5CPhi(%5Ctheta%20%20)" alt="%5Cphi%3DR(r)%5CPhi(%5Ctheta%20%20)">

極坐標(biāo)中的拉普拉斯方程為

我們注意到電勢必然是單值函數(shù)，這意味著存在自然邊界條件：

以上構(gòu)成了本征值問題，從而

把本征值m2代入關(guān)于R的常微方程

這是歐拉型常微方程，令可得到

對結(jié)果進(jìn)行整理，我們得到極坐標(biāo)下的靜電場通解：

非齊次方程的處理

例如，初始條件不變，范定方程改為

而邊界條件改為?(即將u改為對x的偏導(dǎo))

我們考慮將解展開成傅里葉級數(shù)，在當(dāng)前邊界條件下應(yīng)考慮余弦級數(shù)：

代入范定方程，會得到

而等式右邊恰好也是x的傅里葉余弦級數(shù)。比較系數(shù)得

可以看到，非齊次項僅影響了T1.

我們再將初始條件也展開為傅里葉級數(shù)，就可以解得最終解了。

...先更這么多吧...最近太忙了...