f(f(x))=x^2-x+1的連續(xù)函數(shù)解

2023-01-12 22:50 作者:52857272542_bili 0人讀過 | 我要投稿

假定 $f(x)$ 定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cmathbb%20R" alt="%5Cmathbb%20R">且連續(xù)， $g(x)%3Df(f(x))%3Dx%5E2-x%2B1$ ，先簡(jiǎn)單討論一下 $f(x)$ 的性質(zhì).

$f(1)%3D1$ . $f(x)%5E2-f(x)%2B1%3Df(x%5E2-x%2B1)$ ， $f(1)%3D1$
$f$ 在 $x%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ 時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增.若 $f(a)%3Df(b)(a%20%5Cne%20b)$ ，則 $g(a)%3Dg(b)$ ， $a%2Bb%3D1$ ， $x%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ 時(shí)， $f$ 是單射， $f$ 嚴(yán)格單調(diào)，若 $f$ 遞減， $%5Cexists%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3Ca_0%3C1$ ， $f(a_0)%3E1$ ，令 $a_%7Bn%2B1%7D%3Dg(a_n)$ ，則 $%5Clim_%7Bn%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%20a_n%3D%201$ ， $f(1)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%20f(a_n)%3D%20%2B%5Cinfty$ ，矛盾， $f$ 遞增
$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3Cf(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%3C%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20$ .若 $f(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%5Cgeq%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20$ ， $f(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%5Cgeq%20g(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%5Cgeq%20f(%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20)%3Ef(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)$ ，矛盾，若 $f(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%5Cleq%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $%5Cexists%20x_0%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $f(x_0)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cleq%20%20g(x_0)%3Df(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ，矛盾
$f$ 關(guān)于 $x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ 對(duì)稱.由1， $f(1-x)%3Df(x)$ 或 $1-f(x)$ ，若 $%5Cexists%20a%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $f(1-a)%3D1-f(a)$ ，則 $f(1-a)%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3Cf(a)%20$ ，由介值定理， $%5Cexists%20x_0$ ， $f(x_0)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $f(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%3Dg(x_0)%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D$ ，但這是不成立的，故 $f(1-x)%3Df(x)(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%20R)$
$x%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cland%20%20x%5Cne%201$ 時(shí)， $x%3Cf(x)%3Cg(x)$ .若 $f(x)%3Cx$ ， $x%3Cg(x)%3Cf(x)%3Cx$ ，矛盾，故 $f(x)%3Ex$ ， $g(x)%3Ef(x)$

由以上性質(zhì)，只需討論 $f$ 在 $x%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ 時(shí)的取值，將其分為 $%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2C1)$ 和 $(1%2C%2B%5Cinfty)$ 兩部分分別構(gòu)造

$%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2C1)$ .令 $a_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ， $a_%7Bn%2B1%7D%3Dg(a_n)$ ， $n%5Cin%20%5Cmathbb%20N_%7B%5Cgeq%200%7D$ ，任取 $b_0%20%5Cin%20(a_0%2Ca_1)$ ， $b_%7Bn%2B1%7D%3Dg(b_n)$ ，構(gòu)造 $%5Chat%20f%3A%5Ba_0%2Cb_0%5D%5Crightarrow%20%5Bb_0%2Ca_1%5D$ ，令 $%5Chat%20f$ 嚴(yán)格遞增且滿射，令 $f%3Dg_n%20%5Chat%20f%20g_n%5E%7B-1%7D%2Cx%5Cin%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ； $f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%20%5Chat%20f%5E%7B-1%7D%20g_n%5E%7B-1%7D%2Cx%5Cin%5Bb_n%2Ca_%7Bn%2B1%7D%5D$ .顯然 $f$ 在 $%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2C1%5D$ 上連續(xù)， $f%5Ccirc%20f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%5Chat%20f%5E%7B-1%7Dg_n%5E%7B-1%7D%20g_n%20%5Chat%20f%20g_n%5E%7B-1%7D%3Dg$ ， $x%5Cin%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ； $f%5Ccirc%20f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%5Chat%20f%20g_%7Bn%2B1%7D%5E%7B-1%7Dg_%7Bn%2B1%7D%20%5Chat%20f%5E%7B-1%7D%20g_n%5E%7B-1%7D%3Dg$ ， $x%5Cin%5Bb_n%2Ca_%7Bn%2B1%7D%5D$
$(1%2C%2B%5Cinfty)$ .令 $a_0%3D2$ (隨便取的)， $a_%7Bn%2B1%7D%3Dg(a_n)$ ， $n%5Cin%20%5Cmathbb%20Z$ ，任取 $b_0%20%5Cin%20(a_0%2Ca_1)$ ， $b_%7Bn%2B1%7D%3Dg(b_n)$ ，構(gòu)造 $%5Chat%20f%3A%5Ba_0%2Cb_0%5D%5Crightarrow%20%5Bb_0%2Ca_1%5D$ ，令 $%5Chat%20f$ 嚴(yán)格遞增且滿射，令 $f%3Dg_n%20%5Chat%20f%20g_n%5E%7B-1%7D%2Cx%5Cin%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ； $f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%20%5Chat%20f%5E%7B-1%7D%20g_n%5E%7B-1%7D%2Cx%5Cin%5Bb_n%2Ca_%7Bn%2B1%7D%5D$ .顯然 $f$ 在 $%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2C1%5D$ 上連續(xù)， $f%5Ccirc%20f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%5Chat%20f%5E%7B-1%7Dg_n%5E%7B-1%7D%20g_n%20%5Chat%20f%20g_n%5E%7B-1%7D%3Dg$ ， $x%5Cin%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ； $f%5Ccirc%20f%3Dg_%7Bn%2B1%7D%5Chat%20f%20g_%7Bn%2B1%7D%5E%7B-1%7Dg_%7Bn%2B1%7D%20%5Chat%20f%5E%7B-1%7D%20g_n%5E%7B-1%7D%3Dg$ ， $x%5Cin%5Bb_n%2Ca_%7Bn%2B1%7D%5D$

綜上，構(gòu)造出的函數(shù) $f$ 是 $%5Cmathbb%20R$ 上f(f(x))=x^2-x+1的連續(xù)函數(shù)解，并且對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)解 $f$ ，在以上構(gòu)造中令 $%5Chat%20f$ 是 $f$ 在 $%5Ba_0%2Cb_0%5D$ 上的限制，構(gòu)造出的函數(shù)就是 $f$ 本身，所以上述構(gòu)造方法給出了f(f(x))=x^2-x+1所有連續(xù)函數(shù)解的構(gòu)造.