? ? ? ??阿基米德在論證了拋物型截面旋轉(zhuǎn)體和雙曲型截面旋轉(zhuǎn)體體積后，這些幾何體都是截圓錐體而生成并演變來(lái)的。如果用平面截圓柱體又會(huì)得到怎樣的幾何體？它們的體積又如何進(jìn)行計(jì)算？這些截得的幾何體是不是也可以通過(guò)杠桿原理來(lái)推算它們的體積呢？下面我們就先選擇其中的一種試著論證一下。我們首先要論證的是最經(jīng)典的劈錐曲面體，請(qǐng)看圖形：

? ? ???這里的劈錐曲面體指的是用一個(gè)過(guò)圓柱體一個(gè)底面圓的圓心且與另一個(gè)底面相切的平面截圓柱所得的截取部分。它的形狀像一個(gè)楔子，只不過(guò)它有一側(cè)的側(cè)面是圓柱的曲面部分，陜師大版的把它的名稱翻譯為劈錐曲面體，我們姑且沿用。為了借助杠桿原理來(lái)進(jìn)行體積的論證，我們要么借助它的內(nèi)接規(guī)則幾何體的體積，要么借助它的外接規(guī)則幾何體的體積來(lái)論證。這里我們借助它的外接半圓柱體，也即是正好包含這個(gè)劈錐曲面體的半圓柱，通過(guò)在這兩個(gè)幾何體之間建立比例關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為杠桿的平衡關(guān)系，再用窮竭法來(lái)疊加完成。

? ? ? ??當(dāng)然，想借助窮竭法論證，必須對(duì)立體圖形進(jìn)行切片，在切片之前，還要對(duì)立體圖形進(jìn)行平面化處理，唯有如此才能把內(nèi)部相切的結(jié)構(gòu)線條清晰的展示出來(lái)。阿基米德就從縱橫兩個(gè)方向切割立體圖形，得到兩個(gè)關(guān)鍵的截面信息。

? ? ??? 借助這兩個(gè)截面展開(kāi)切面論證，先從平行于軸線的平面同時(shí)截半圓柱體和劈錐曲面體生成的兩個(gè)平行四邊形截面說(shuō)起，得到一組比例關(guān)系，然后把其中的劈錐曲面體截面及其重心移到直徑為杠桿的一端，半圓柱中的截面則放在杠桿的另一端的原位置不變。通過(guò)比例論的論證，wo'men 發(fā)現(xiàn)二者將保持平衡狀態(tài)，再變換切面位置，我們可以得到任意位置的兩截面之間都存在這種平衡關(guān)系，進(jìn)而可以把它們疊加起來(lái)構(gòu)成各自對(duì)應(yīng)的立體圖形，也會(huì)在這個(gè)杠桿兩端保持相同的平衡關(guān)系。從而達(dá)成命題的證明。還是讓我們來(lái)看看正文吧！

? ? ? ??翻譯正文：