1900年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)問題，這些問題幾乎成為引領(lǐng)20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的綱領(lǐng)。百年過去，這23問中有一些已經(jīng)得到解決，有些取得長足的進(jìn)步，還有一部分完全沒有解決。今年3月，兩位印度數(shù)學(xué)家發(fā)表了他們關(guān)于希爾伯特第12問的最新研究，即關(guān)于數(shù)域上阿貝爾域擴(kuò)張的構(gòu)造問題，為這一問題的解決帶來了曙光。實(shí)際上，關(guān)于數(shù)域擴(kuò)張的研究已有近200年。本文將延續(xù)著這一路旅程，見證數(shù)學(xué)史上的偉大人物是如何一次又一次接過接力棒，邁向希爾伯特第12問。

撰文 | 張和持

數(shù)論，之所以被稱為數(shù)學(xué)頭頂最璀璨的王冠，是因?yàn)閹缀跛袛?shù)學(xué)的分支都可以用來處理數(shù)論問題。而其中最為主流的代數(shù)數(shù)論，便是從抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的視點(diǎn)來分析數(shù)域的代數(shù)性質(zhì)。代數(shù)學(xué)起源于對多項(xiàng)式方程的研究，解方程則對應(yīng)著數(shù)域的擴(kuò)張。這就使得數(shù)學(xué)家關(guān)注的重心從方程本身，轉(zhuǎn)移到對域擴(kuò)張的研究。其中最重要的一類擴(kuò)張，稱為阿貝爾擴(kuò)張；這個(gè)概念在著名的希爾伯特23問中占有一席，第12問即是關(guān)于有理數(shù)域上阿貝爾擴(kuò)張的構(gòu)造方法是否可以拓展到其他數(shù)域。數(shù)學(xué)家在最近這一百年已經(jīng)對阿貝爾擴(kuò)張的性質(zhì)有了非常深入的認(rèn)識(shí)。如果能找到阿貝爾擴(kuò)張的構(gòu)造方法，就能拆解開數(shù)域神秘的外殼，理解其中運(yùn)行的機(jī)制。

青年克羅內(nèi)克的夢想

我們的故事開始于約兩百年前的普魯士王國。1823年，居住在李格尼茨（Liegnitz）的猶太人克羅內(nèi)克（Kronecker）一家誕生了一個(gè)聰明的男孩，男孩名叫利奧波德（Leopold）。他所生長的這個(gè)城市歷史悠久，從希臘時(shí)代起，便有人在此定居，此后數(shù)千年，它見證了宗教的興起，騎士的衰落。數(shù)十年前，腓特烈大帝正是在此以少勝多，大敗奧地利與俄國的聯(lián)軍。到了十九世紀(jì)，硝煙逐漸被沖淡，留下歷史的厚重。

或許是來自環(huán)境的熏陶，年幼的利奧波德·克羅內(nèi)克對周圍的一切產(chǎn)生了好奇。他愛好科學(xué)、歷史與哲學(xué)，同時(shí)還是一名游泳健將。他的父母對教育極為重視，使他的這些愛好都得到了發(fā)揚(yáng)。到了中學(xué)時(shí)代，他遇到了他的恩師與一生的摯友恩斯特·庫默爾（Ernst Kummer）。作為一名年輕的數(shù)學(xué)家，庫默爾在代數(shù)與數(shù)論等領(lǐng)域已小有成就。他建議克羅內(nèi)克深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

不過克羅內(nèi)克此時(shí)還沒有下定決心專心于數(shù)學(xué)。此后的幾年中，他輾轉(zhuǎn)于柏林大學(xué)、波恩大學(xué)等學(xué)校，興趣使然地學(xué)習(xí)哲學(xué)、天文學(xué)與數(shù)學(xué)。畢業(yè)后，他返回家鄉(xiāng)管理家業(yè)，投資經(jīng)商；直到數(shù)年之后重返學(xué)術(shù)界，此時(shí)已經(jīng)擁有了相當(dāng)?shù)募耶a(chǎn)。

利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）

經(jīng)商期間，克羅內(nèi)克也沒有荒廢數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。不過對于他來說，數(shù)學(xué)屬于忙了一天之后的消遣。他和庫默爾的通訊也沒有中斷。雖然具體內(nèi)容大多不得而知，但在此期間他們應(yīng)該取得了一些成果。而當(dāng)克羅內(nèi)克重返江湖時(shí)，他很快就成為了當(dāng)時(shí)歐洲頂尖的數(shù)學(xué)家。

正是在克羅內(nèi)克輾轉(zhuǎn)求學(xué)這幾年，法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）偶然發(fā)掘出埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）關(guān)于代數(shù)方程組的遺稿，使得伽羅瓦關(guān)于域擴(kuò)張的工作為其他數(shù)學(xué)家所知。

即使是沒有受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，對群論知之甚少的讀者，也可以大概這樣理解：我們對于阿貝爾群基本上知根知底。那么要是能將阿貝爾群的知識(shí)運(yùn)用于相應(yīng)的域擴(kuò)張，即阿貝爾擴(kuò)張，那想必會(huì)帶來更多美妙的結(jié)果。年輕的克羅內(nèi)克也癡迷于伽羅瓦理論帶來的廣闊世界。他并不覺得五次方程可解性問題就是群論與域論的終點(diǎn)。相反，對于域擴(kuò)張的探索才剛剛開始。他很快就注意到了一些與阿貝爾擴(kuò)張有關(guān)的奇特現(xiàn)象。最簡單的高次多項(xiàng)式方程，自然就是這樣，它有個(gè)解，為，分布在復(fù)數(shù)平面的單位圓上。如下圖就是的所有解。

很長時(shí)間，克羅內(nèi)克都不能得到完整的思路。他在晚年與戴德金（Richard Dedekind）的通信中提到，解決這一問題是他“青年時(shí)代最為熱切的夢想”（liebster Jugendtraum）。

1853年，克羅內(nèi)克發(fā)表了他對這一結(jié)論的證明。遺憾的是，他的方法并不是對所有阿貝爾擴(kuò)張都適用。這一錯(cuò)誤很快就被指出，但是克羅內(nèi)克本人也并沒有想出別的辦法。一直到1886年，海因里?！ゑR丁·韋伯（Heinrich Martin Weber）才給出了新的證明，并被大多數(shù)人接受。1891年，克羅內(nèi)克與世長辭，或許他已經(jīng)滿足于這個(gè)結(jié)果。一直到100年后的1981年，才有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，韋伯的證明包含了一些錯(cuò)誤，所以也不能成立。

當(dāng)然，它最終還是被證明了。我們今天稱之為克羅內(nèi)克-韋伯定理的結(jié)論，其實(shí)是由希爾伯特證明的。

希爾伯特與世紀(jì)之交的代數(shù)數(shù)論

正如同克羅內(nèi)克的故鄉(xiāng)，如今已經(jīng)被劃為波蘭的領(lǐng)土；希爾伯特出生的城市柯尼斯堡，也在二戰(zhàn)之后成為蘇聯(lián)的一部分，改名叫加里寧格勒。在希爾伯特成長的年代，柯尼斯堡仍是一座傳統(tǒng)的德國城市，人們以康德為榮，崇尚思考的藝術(shù)。而希爾伯特也很早發(fā)現(xiàn)了自己對于數(shù)學(xué)的熱衷，走上了數(shù)學(xué)了道路。他四處游歷，吸收新思想，成為歐洲數(shù)學(xué)的新星。

大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）

19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)發(fā)生了翻天覆地的變化，其研究方法的嚴(yán)格性，抽象性都經(jīng)歷了質(zhì)的飛躍。希爾伯特當(dāng)然也拜訪了當(dāng)時(shí)德高望重的克羅內(nèi)克。不過他驚訝地發(fā)現(xiàn)，克羅內(nèi)克對于新的數(shù)學(xué)并沒有太大興趣：他反對康托爾的集合論，也對非構(gòu)造的代數(shù)證明法持保留意見。幾年之后，克羅內(nèi)克與世長辭，在他死后的1896年，希爾伯特給出了他對于克羅內(nèi)克-韋伯定理的證明。此時(shí)數(shù)學(xué)家們還沒有發(fā)現(xiàn)韋伯證明中的錯(cuò)誤，而希爾伯特本人也認(rèn)為，自己只是給出了一個(gè)較為簡單的證法而以。不過現(xiàn)在看來，是希爾伯特首先證明了這個(gè)定理。

但是希爾伯特并沒有止步于此?？肆_內(nèi)克思考的問題僅僅是有理數(shù)域的擴(kuò)張，那對于別的數(shù)域呢？這一問題即是希爾伯特23個(gè)問題中第12個(gè)問題的原型。

希爾伯特在1900年的巴黎會(huì)議上發(fā)表了他著名的23個(gè)問題。由于時(shí)間關(guān)系，他只在現(xiàn)場敘述了其中的10個(gè)，關(guān)于數(shù)域的阿貝爾擴(kuò)張的問題并沒有包含在這10個(gè)當(dāng)中。我們今天讀到的希爾伯特第12問，是會(huì)議之后發(fā)表的。這個(gè)問題描述相當(dāng)模糊，而且會(huì)產(chǎn)生不少誤導(dǎo)——后來數(shù)學(xué)家們證明，虛二次域的阿貝爾擴(kuò)張與橢圓模函數(shù)其實(shí)并沒有多大關(guān)系。即便如此，希爾伯特的思考仍然產(chǎn)生了重要的影響。希爾伯特的思考并不是孤立的。他同時(shí)也在研究阿貝爾擴(kuò)張的性質(zhì)。由歐拉、高斯等先賢開創(chuàng)的對二次互反律的研究，在希爾伯特這里有了更加現(xiàn)代的形式。他發(fā)現(xiàn)，這些性質(zhì)本質(zhì)上都與阿貝爾擴(kuò)張有關(guān)，并提出了一系列猜想。此時(shí)希爾伯特任教的哥廷根大學(xué)正如日中天，匯聚了來自世界各地的青年才俊。其中有一個(gè)人沿著希爾伯特的猜想走了下去，他就是日本現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)——高木貞治。

高木貞治（Teiji Takagi，1875-1960）

十九世紀(jì)末的日本正受到西方文明的強(qiáng)烈沖擊。江戶時(shí)代的本土數(shù)學(xué)流派“和算”曾大放異彩，但到了明治維新之前，已然衰落了。在全面學(xué)習(xí)西方的浪潮下，日本建立了一系列“帝國大學(xué)”，熱愛數(shù)學(xué)的高木貞治便進(jìn)入了其中最富盛名的東京帝國大學(xué)。這所大學(xué)在此后的一百年會(huì)源源不斷地培養(yǎng)頂尖數(shù)學(xué)家，不過在高木貞治的學(xué)生時(shí)代，還并沒有領(lǐng)先世界的研究。他在畢業(yè)后，前往德國深造，曾在柏林接受過佛羅貝尼烏斯（Ferdinand Georg Frobenius）等人的教導(dǎo)，最終來到哥廷根，深感自己弗如希爾伯特遠(yuǎn)甚。最終他在希爾伯特門下獲得了博士學(xué)位，畢業(yè)后回到東京帝國大學(xué)任教。

在一戰(zhàn)的瘋狂歲月中，高木靜心研究希爾伯特的代數(shù)數(shù)論。他于1920年發(fā)表了著名的高木存在定理，將阿貝爾擴(kuò)張與基域的理想類群之間建立起了深刻聯(lián)系。這項(xiàng)工作被埃米爾·阿廷（Emil Artin）等數(shù)學(xué)家發(fā)揚(yáng)光大，從此一門被稱為類域論的研究誕生，這套理論已經(jīng)能相當(dāng)完善地處理阿貝爾擴(kuò)張。今天每一名想要學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論的研究生都需要學(xué)習(xí)高木的理論，所有這些工作都只對阿貝爾擴(kuò)張有效，可以想見阿貝爾擴(kuò)張的重要性。

但是對希爾伯特第12問本身而言，進(jìn)展仍然極為緩慢，還需要新的思想、新的工具。

函數(shù)與 -進(jìn)數(shù)帶來的新數(shù)學(xué)

納粹的種族政策讓歐洲數(shù)學(xué)家大批移民，,哥廷根學(xué)派也因此分崩離析。諾特（Emmy Noether），柯朗（Richard Courant），外爾（Hermann Weyl）等巨擘前往新大陸，這也使美國在二戰(zhàn)后成為了世界數(shù)學(xué)的中心。世界發(fā)生了翻天覆地的變化，新的數(shù)學(xué)也迎來了黎明。算術(shù)幾何，同調(diào)代數(shù)等新興學(xué)科為代數(shù)數(shù)論注入了新鮮的血液，而希爾伯特第12問也產(chǎn)生了不同的分支方向。

既然希爾伯特對虛二次域的討論走向了死路，數(shù)學(xué)家們就只好重新搜索思路。希爾伯特的最終目標(biāo)，是要構(gòu)造任意域的阿貝爾擴(kuò)張。但一次性給出普適的結(jié)果實(shí)在是不太現(xiàn)實(shí)，所以希爾伯特本人也只能從虛二次域入手。這樣，對希爾伯特第12問的研究，就只能從特定方法與特定的域入手。比如志村五郎和谷山豐的工作引向了對CM域的研究；而朗蘭茲（Robert Langlands）則在他那著名的綱領(lǐng)中提議，應(yīng)該著手于某種函數(shù)。不過我們今天要講的是另外一條線。

這似乎相比希爾伯特最早的問題而言，具體了許多，也能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。不過對于證明邏輯而言卻沒有提供多少思路。到此為止，數(shù)學(xué)家們都試圖在復(fù)數(shù)域C中解決這個(gè)問題，他們思考的數(shù)域，也都是復(fù)數(shù)的子域。不過這并不是唯一的數(shù)域。

庫爾特·亨澤爾（Kurt Hensel，1861-1941）

Samit Dasgupta

Mahesh Kakde今天的數(shù)學(xué)已經(jīng)超越了希爾伯特的希冀，但又沒有完全達(dá)到他的期望。不過這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在：我們永遠(yuǎn)無法預(yù)測下一個(gè)突破將在何處出現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] Houston-Edwards, Kelsey (2021-05-25). "Mathematicians Find Long-Sought Building Blocks for Special Polynomials". Quanta Magazine.

[2] Schappacher, Norbert (1998). "On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. 3. Paris: Société Mathématique de France. pp. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530.