網(wǎng)易慕課東南大學(xué)信號與系統(tǒng)非常優(yōu)秀，看了兩章，做點筆記在這里

如果我們知道系統(tǒng)響應(yīng)的高階線性微分方程。我們?nèi)绾吻蠼膺@個響應(yīng)呢？根據(jù)以前學(xué)過的高等數(shù)學(xué)，我們知道一階的線性微分方程是很好解的，套上公式即可。二階線性微分方程在標(biāo)星號的一節(jié)里也給了通解，但是感覺就十分復(fù)雜。更高階的就無法想象了。

在信號與系統(tǒng)這門課中，講了一種十分巧妙的方法來求高階的線性微分方程。

首先，可以用特征根法得到這個方程對應(yīng)的齊次方程的解，這沒啥好說的。接下來就是討論的重點了，如何求特解呢？

因為這個方程是線性的，有疊加性等等性質(zhì)。我們可以把右端的函數(shù)分解成很多個子函數(shù)，然后分別把這些子函數(shù)的微分方程求解出來，然后加到一起就可以得到整個函數(shù)的線性微分方程的解了。

那么，我們就該思考這樣幾個問題：

• 如何分解成子函數(shù)

• 如何求解子函數(shù)

• 如何把子函數(shù)加到一起

如何分解涉及到?jīng)_擊函數(shù)這個神奇的函數(shù)。如何疊加會講到卷積積分。至于如何求解子函數(shù)我還不知道。。。。據(jù)說學(xué)了后面就有很棒的方法可以算了

分解成子函數(shù)。。。子函數(shù)應(yīng)該選什么呢？很直接的，我們可以想到，用像這樣函數(shù)

然后，把e(x)這樣分成一個個的小矩形。

我們只需要把u(t)左右平移到需要的位置。再乘以一個正確的高度，就能得到一個我們需要的矩形了。

這樣，每一個子函數(shù)就都等于u(t)和一個常數(shù)的乘積了（對于每個子函數(shù)f(t)，k、△t、f(k△t)這幾個量當(dāng)然都是常數(shù)）

之后要做的自然是加起來，令△t趨近于0取極限啦

本來，u(t)是一個寬度為△t，高度為1的矩形?！鱰趨近于0之后，就變成了一個寬度為dt，高度為1的矩形。再除以dt，就變成了高度為1/dt，寬度為dt的矩形了，這個函數(shù)我們把它定義為δ

這個函數(shù)是個偶函數(shù)，高度無限高，寬度無限窄，面積等于1。

∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ=f(t) 是δ數(shù)學(xué)上的定義，這個函數(shù)δ被稱為沖擊函數(shù)。我們也把這個叫做δ的取樣特性，但是事實上，這是δ的定義而非特性。

然后，我們?nèi)绻芮蟪靓膶?yīng)的微分方程的解h，那么，我們就可以知道f(ζ)δ(t-ζ)對應(yīng)的解就是f(ζ)h(t-ζ)。因為方程是線性的，線性函數(shù)自變量擴大常數(shù)倍，因變量也會擴大常數(shù)倍。

還是因為它是線性的，我們知道線性函數(shù)有這樣的性質(zhì)：如果f(an)=bn，那么就有f(a1+a2+a3....)=b1+b2+b3.....既然能加，自然也能加起來取極限，也就是積分了。所以f(t)=∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ?對應(yīng)的微分方程的解就是?∫f(ζ)h(t-ζ)dζ 。這就是我們要的了

到此，我們就把方程的特解求出來了

之后只需要把齊次方程的解加上去，就得到通解了。。講道理就是這樣

像這種積分

我們叫它做卷積積分。這個式子的意義是不斷移動函數(shù)g(x)，每次移動了再與f(x)乘起來。再把得到的結(jié)果累積起來。

卷積積分怎么算呢，不難想到，只要將x當(dāng)作常數(shù)把ζ積分就可以了，就和我們平時做重積分是一個道理。這個卷積積分可以記為f*g。這樣記不光是因為方便，也因為這種運算有類似于乘法的性質(zhì)：交換律，結(jié)合律，與分配律都是適用的，既 f*g=g*f; f*g*h=f*(g*h); (f+g)*h=f*h+g*h這些定律據(jù)說用定義都可以證明出來（我毫不猶豫的信了，并沒有試著證一證）。

卷積運算還有一些特殊的運算定律?

• (f*g)'=f'*g=g'*f? ?是的只用其中一個取導(dǎo)就可以了

• ??∫(g*f)=g*∫f=f*∫g

• g的n階導(dǎo)*f的n階導(dǎo)=(f*g)的n階導(dǎo)

• u(t-t1)*v(t-t2)=f(t-t1-t2)

講完了。

看完的舉個手。。?？吹竭@里的是跟自己有仇嗎。是漫畫不好看還是薯條不好吃呀