【高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)全集】或許是高中最值得收藏的合集！奧數(shù)保送生主講|2020新教材（
聽聞少年二字，應(yīng)與平庸相斥！
筆記較多打開時間可能稍長，請耐心一點(diǎn)哦。
長期更新都是干貨，本人保送一中創(chuàng)新班，品質(zhì)有保障。目前本合集全部更新完成（不過我還是會長期更新，包括一哥其他視頻的筆記，如果偏基礎(chǔ)我也會在這里寫）。
【一化】下也有我的筆記可以看看QwQ~
可能含有的一些符號：
- \sqrt{x} 根號x
- \frac{a} b分之a(chǎn)，a/b
- \Sigma{a} 求和，把所有的 ai 相加
- a^b 上標(biāo)（a的b次方）
- a_b 下標(biāo)（例如log_a^b，底數(shù)a，真數(shù)b）
- && 并且，和
- ！= 不等于
以下正式筆記（可能后面更好看，前面沒經(jīng)驗(yàn)可能比較丑嚶嚶嚶）：
解題技巧&常用方法 可以看《高考數(shù)學(xué)通法逆襲全集|長期更新|競賽國一保送生主講|高考復(fù)習(xí)有這個就夠了！》（https://www.bilibili.com/video/BV1w7411w7kQ）
中我的筆記
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基本不等式：
平方平均數(shù)>=算數(shù)平均數(shù)>=幾何平均數(shù)>=調(diào)和平均數(shù)
\sqrt{ (m^2+n^2) / 2} >= (m+n)/2 >= \sqrt{m*n} >= \ frac {2} {1/m + 1/n}
當(dāng) a=b 時取等。
對于多元的情況也適用（當(dāng)然此時就是開 n 次根、n分之一等）。
擴(kuò)展：柯西不等式：(a^2+b^2) (c^2+d^2) >= (ac + bd)^2
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二次函數(shù)：
求 |x1-x2| 先平方再開根便于計(jì)算
具體的，|x1-x2|=\sqrt{delta} / |a| 其中 delta 為判別式（三角形那個）。把x1-x2平方換成 (x1+x2)^2 - 4x1x2 后用韋達(dá)定理。
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指數(shù)與對數(shù)：
- 指數(shù)函數(shù)：a^x (a>0 && a != 1)
- 對數(shù)函數(shù)：log_a^x 類似(a>0 && a != 1 && b>0)。
換底公式：log_a^b=\frac{log_c^b}{log_c^a}
變式：
- log_a^b=1 / log_b^a（常見）
- log_{a^c}^{b^d}=\fracs0sssss00s{c}*log_a^b（普適）
- log_a^b - log_a^c = log_a^{b/c}
指數(shù)、對數(shù) 都具有 ：結(jié)果相乘 = 指數(shù)、真數(shù)相加的性質(zhì)
計(jì)算&應(yīng)用 E.G.
總結(jié)：
比較大小時，注意1、0等特殊值的選取。 考慮作商作差法（差商通用）。
甚至畫圖：
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函數(shù)零點(diǎn)題，可以轉(zhuǎn)換成交點(diǎn)題做（但不一定）。
- 不轉(zhuǎn)換：?函數(shù)綜合【考點(diǎn)】4分段函數(shù)與零... P56 - 23:22?
- 轉(zhuǎn)換：?函數(shù)綜合【考點(diǎn)】4分段函數(shù)與零... P56 - 05:44?
有時不一定要算出全部交點(diǎn)，確定部分交點(diǎn)的數(shù)目、位置足夠判斷即可。
證明奇偶性+抽象函數(shù)，善用賦值法。
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角度制&弧度制：180°=pi (rad)，rad是單位但一般不寫（記 π 為 pi ）。
三角函數(shù)：cos^2 {a}+ sin^2 {a} = 1
sin、tan 都是奇函數(shù)，cos 是偶函數(shù)；
以此，可推得誘導(dǎo)公式（重點(diǎn)?。?/strong>（可作圖輔助）：
奇變偶不變，符號看象限。
對于sin/cos/tan (a+ k * pi/2) =... (a+k*90°)：
- 奇變偶不變：
- k為奇數(shù) sin<==>cos，tan<==>cot
- k為偶數(shù) 不變
- 符號看象限：
令 a 為第一象限角，“一全正；二正弦；三正切；四余弦。”表示現(xiàn)在為對應(yīng)象限角時，提到的不變號（化簡時對應(yīng)的是原函數(shù)），其它三角函數(shù)加負(fù)號。（單位圓輔助理解）
如果 a 前面有負(fù)號，則在單位圓中關(guān)于x軸對稱。同樣可以運(yùn)用奇偶函數(shù)知識對括號內(nèi)取反等。
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三角函數(shù)變化萬能公式：a* sin/cos/tan (bx+c)+d；
a 影響上下界（振幅）（放縮）； b 影響周期, c 左右平移, d 上下平移（左加右減，上加下減）。五點(diǎn)作圖法輔助。復(fù)雜三角函數(shù)善用換元法轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)，用復(fù)雜值域求出簡單函數(shù)的值域。
三角恒等變換（運(yùn)算）：
- sin(a+-b)=sina cosb +- cosa sinb
- cos(a+-b)=cosa cosb -+ sina sinb
- tan(a+-b)=\frac{tana +- tanb}{1 -+ tana tanb}
- 倍半角公式：令a=b即可。注意sin^2{a}+cos^2{a}=1
- 遇到平方項(xiàng)一遍先降次（二倍角公式）
- 常用衍生：
- cos^2 a = (1+ cos 2a)/2
- sin^2 a = (1 - cos 2a)/2
輔助角公式：對于函數(shù)y=m sina+n cosa
y=\sqrt{m^2+n^2} * sin{a+b}
其中b隨著m、n變化，可以證明一定存在b。y的最大值在a+b=90°時取得。
一些常用公式：
- sin a / cos a = tan a
- sin^2 a + cos^2 a =1
- 1 / cos^2 a = 1 + tan^2 a (由上式同除以 cos^2 a 得到)
解題順序：降冪——和差角——輔助角
三角形面積：S=0.5*sinA*b*c
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平面向量：類似于物理
- 平面向量定理：確定一對向量（不共線）成為基底，可以唯一分解任何其他向量。
- 向量的計(jì)算：如果要保持恒等，那么：不能連乘（三個），不能同除（但可以除以向量的模（其實(shí)就是除以一個數(shù)））
- a * b = |a| * |b| * cos θ （a b 為向量，|a| 為模）（常用?。?/strong>
- 同時，設(shè) a (x1,y1) , b (x2,y2) , a * b= x1*x2 + y1*y2 ，可以與上式聯(lián)立。
向量模的平方 = 向量的平方
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虛數(shù)：i^2=-1。每個復(fù)數(shù)都可以表示為a+bi
較，展開計(jì)算即可。
三角表示的乘/除直接加/減角度即可。
復(fù)數(shù)的 實(shí)部與虛部 的平方和 的算術(shù)平方根的值 稱為該復(fù)數(shù)的模，用絕對值的符號表示，如z=a+bi則 |z| = \sqrt{a^2 - b^2} 。
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幾何：由于我?guī)缀屋^弱，該部分筆記可能略少。
大概就是聽【詞典】練一下判定定理。
外接球先選定一個面定出中心（到面上各點(diǎn)距離相等），然后做垂線，在垂線上找到與剩下的點(diǎn)距離相同的位置，就是圓心 O 。（顯然垂線上的點(diǎn) 到原先的面上各點(diǎn) 距離都相同）。
截面畫法：三個點(diǎn)任意選兩個畫一條線，過另外一點(diǎn)做平行線。
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統(tǒng)計(jì)&概率：
抽樣方式：
- 簡單隨機(jī)抽樣（最簡單，完全隨機(jī)，有可能不符合原比例）
- 分層抽樣（保證樣本一定符合原先比例）
- 系統(tǒng)抽樣（又名等距抽樣）：
- 編號每個人，按照編號分組，每組人數(shù)相等，如果總數(shù) 除以 樣本數(shù)除不盡，則隨機(jī)的去掉一些人使除的盡。
- 最后隨機(jī)第一組中的一個個體，抽取每組中同樣位置的個體
- 最終抽取樣本的編號都是 a+bk，其中a是第一組被抽的人的編號，k是每組人數(shù)（也叫間隔、距離），b是非負(fù)整數(shù)（顯然編號要小于總?cè)藬?shù)）。
頻率分布直方圖：
- y 軸是 頻率 / 組距 ，不是初中的單純頻率
- 這樣每個長方形的面積=對應(yīng)頻率
- 總體密度曲線：x軸精度無限高時，每個長方形上邊中點(diǎn)連接得到的光滑曲線（微元思想）
莖葉圖：三部分。中間一列（莖）：一般表示十位，對于每一個十位，向左右（葉）寫出所有對應(yīng)的個位。
統(tǒng)計(jì)量（數(shù)字特征）：
- 平均數(shù)
- 眾數(shù)
- 中位數(shù)，如果是偶數(shù)個數(shù)取中間兩個數(shù)的平均值
- 極差：最大值與最小值的差
- 標(biāo)準(zhǔn)差 s=方差s^2開根
- 方差：記平均數(shù)為 _X_ （因?yàn)閷?shí)在打不出來） 方差 s^2= (1/n)*{（x1-_X_)^2 + (x2-_X_)^2 + ...... + (xn-_X_)^2 }
- 求和符號：以下記作 Sigma(i=1,n) {ai}，意味 i 從 1 到 n，結(jié)果是所有的 ai 的和。
- 百分位數(shù)：寫作 第 p 百分位數(shù) 或者 p% 分位數(shù)。按如下方法計(jì)算：
- 總共有 n 個數(shù)據(jù)，計(jì)算出排名 i=n*p%
- 如果 i 是整數(shù)，則為 i 與 i+1 兩個數(shù)據(jù)的平均值
- 如果 i 不是整數(shù)，則將 i 上取整（如 i=1.2 ，上取整后 i=2），答案就是上取整后的第 i 個數(shù)據(jù)
- 求第 p 百分位數(shù)，如果是表格只能確定區(qū)間 [l,r)，那么設(shè)上一個區(qū)間頻率為 a ，本區(qū)間頻率為 b （累加），則可以估算答案為：l + (r-l+1) * (p-a) / (b-a)。其實(shí)就是假設(shè)該區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)均勻分布。
樣本空間：樣本點(diǎn)的集合。樣本點(diǎn)是基本事件的結(jié)果。樣本空間的每一個真子集都是一個隨機(jī)事件。符號是大寫的Omega（電阻的單位）。
古典概型（請分清楚A、B，AB，前者是頓號，后者是積事件）：
- 和事件：兩個事件的并。記作A+B，表示發(fā)生了A、B至少一件事。
- 積事件：兩個事件的交。記作AB，表示A、B同時發(fā)生。
- 對立事件：A+B=Omega 且 AB=空集，則A、B互為對立事件。通俗的講，要么發(fā)生A，要么發(fā)生B，一定發(fā)生且只發(fā)生一個，則A、B互為對立事件。寫法是在事件上加一橫。
- 互斥事件：AB=空集。與對立事件不同的是，A、B可以都不發(fā)生。
- 概率的運(yùn)算性質(zhì)：
- 若AB=空，P(A+B)=P(A)+P(B)。多個互斥事件同理。
- 若A、B互為對立事件，P(A) = 1 - P(B)。
- P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，第一條是本條的特例
- 解題中，正難則反，問能達(dá)成的考慮不能達(dá)成是否更好算。
事件相互獨(dú)立：若P(AB) = P(A) * P(B)，則A、B相互獨(dú)立。當(dāng)然，A、B的對立事件等也相互獨(dú)立。
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正/余弦定理：
- 正弦定理：a/sin A=b/sin B=c/sin C
- 余弦定理：a^2=b^2+c^2 - 2bc cos A
- 推論S=1/2 bc sin A
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空間向量：
|a|（a的模）=\sqrt { x^2+y^2+z^2 }
加減都可以直接運(yùn)算 x y z，乘法乘對應(yīng)的 x y z。與平面向量幾乎一樣。
例題：
法向量：垂直于一個面的非零向量。
研究線面（面面）之間的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)換為線與法向量之間的關(guān)系。它的求法是：任意選取兩條面上的向量，設(shè)出法向量 (x,y,z)，因?yàn)榇怪保猿朔e=0。注意法向量有無數(shù)條，它的長度是可以隨意設(shè)的。
補(bǔ)充（BV1uT4y1o7sX）距離問題：
- 點(diǎn)與面的距離：設(shè)點(diǎn)為P，垂線交面于Q，面上一點(diǎn)A，法向量為 n ，則 PQ= \frac{ |AP · n| }{ |n| }
- 點(diǎn)線：設(shè)線AB，點(diǎn)P，垂足Q。
- 先求單位向量 u = AB / |AB|，記向量AP為向量a
- |PQ| = \sqrt{ a^2 - (a·u)^2 }
- 面面、面線距離：找一個點(diǎn)求點(diǎn)線/面距離
- 線線：作一個面過其中一線
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直線與圓：
- 點(diǎn)斜式：y = k(x - x0) + y0 ，其中x0 y0是線上任意一個點(diǎn)的坐標(biāo)， 因?yàn)椋▂-y0) / ( x-x0) = k
- 點(diǎn)到直線距離：設(shè)直線為 ax+by+c=0 ，點(diǎn)為 (x0,y0) 。則距離 d=|a*x0+b*y0+c| / \sqrt{a^2+b^2}
- 直線間距離（顯然是平行才有距離）：不妨設(shè)直線為 ax+by+c1=0 與 ax+by+c2=0 （同乘以一個數(shù)使a b相同（平行所以一定可以））。距離 d=|c1-c2| / \sqrt{a^2+b^2} 。
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圓錐曲線：
- 橢圓：
- 標(biāo)準(zhǔn)方程：建系，令焦點(diǎn)為 (-c,0) 與 (c,0)，點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為 2a（解題時幾乎都用）。則有 x^2/a^2 + y^2/b^2=1 （其中b^2=a^2-c^2）。如果焦點(diǎn)在 y 軸上，則將 a b 互換，得 y^2/a^2 + x^2/b^2 =1。
- 橢圓的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (-a,0) , (a,0) , (0,b) , (0,-b)。
- 離心率：e = c / a。離心率越小，橢圓越圓。e 屬于 [ 0 , 1 )
- S=pi * a * b
- 雙曲線：
- （第一 ）定義：到兩個焦點(diǎn)的距離差為定值 2a （焦點(diǎn)不在雙曲線上，雙曲線與 x 軸的交點(diǎn)是 (+-a ,0) ）
- 標(biāo)準(zhǔn)方程：與橢圓類似，當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸左右兩側(cè)時，x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 （b^2=c^2-a^2，剛好與橢圓相反。注意 c > a 嚴(yán)格大于）
- 如果焦點(diǎn)分在 x 軸上下兩側(cè)，則將 a b 互換。
- 離心率 e 屬于 ( 1 , 正無窮 )
- 漸近線：令標(biāo)準(zhǔn)方程右邊為 0 畫出的線， y=+- (b/a) * x
- 拋物線：
- 定義：到 一個點(diǎn)（焦點(diǎn)）與一條直線（準(zhǔn)線） 距離相等的點(diǎn)形成的曲線。一般令它的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。
- 標(biāo)準(zhǔn)方程：p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p 恒大于0。準(zhǔn)線與焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都是 p/2
- 如果拋物線向右，則y^2 = 2 p x
- 如果拋物線向左，則y^2 = - 2px
- 向上，x^2 = 2 p y
- 向下，x^2 = - 2py
- 由于拋物線的特殊性質(zhì)，考出來一般都要往準(zhǔn)線做垂利用距離相等解（不然太簡單）
- 中點(diǎn)弦問題：一條直線穿過橢圓交兩點(diǎn) (x1,y1),(x2,y2)。使用點(diǎn)差法：
- 帶入標(biāo)準(zhǔn)方程得到： x1^2/a^2 + y1^2/b^2 =1 ;x2^2/a^2 + y2^2/b^2 =1。
- 上下相減，得(x1-x2)(x1+x2)/a^2 = - (y1+y2)(y1-y2)/b^2 。
- 移項(xiàng)，得 - b^2/a^2 * (x1+x2)/(y1+y2) = (y1-y2) / (x1-x2) 其中右邊就是直線的斜率
- 然后利用中點(diǎn)得到 x1+x2 y1+y2等求解
- 與幾何結(jié)合：
- 中位線
- 正余弦定理
- 無論怎樣，寫出一切能寫出的方程，包括但不限于標(biāo)準(zhǔn)方程、第一定義（距離和差）......
- 弦長公式：?圓錐曲線【大題】14大題中的弦長... P170 - 04:20?
- AB為弦，則：|AB|= \sqrt{1+k^2} * |x1-x2| = \sqrt{1+ 1/k^2} |y1-y2| = \sqrt{1+k^2}* \sqrt{delta} / |a| 。
- 其中 k 為斜率（或者說是tan a，a 為直線與x軸夾角）。
- 之所以能換成最后的公式可以看我二次函數(shù)下求 |x1-x2| 的筆記
- 設(shè)反式法：當(dāng)設(shè) y=kx+b 需要討論是否垂直x軸時，可以設(shè) x=my+n 。其優(yōu)點(diǎn)為：
- 這樣只要討論平行x軸情況，如果顯然有這種情況不可能，就不用分類討論。
- 如果其它方程 y 的次數(shù)高 x 的次數(shù)低，反式可以簡化計(jì)算。
- 注意此時弦長公式中的 1/k^2 就是 m^2 （反式用正常式來寫就是 y=1/m * x + n/m，顯然 k=1 /m ）
- 此時 |y1-y2| 也可以用 |x1-x2| 的方式算了，就是\sqrt{delta} / |a| （因?yàn)榇藭r方程是關(guān)于 y 的）
- 垂直的處理方法：
- k1 * k2 = -1
- 向量乘 = 0（在條件難以求出斜率時使用）
- 對稱問題（垂直平分）：
- 用對稱換邊
- 點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）
- 定點(diǎn)問題：
- 線AB，若有一點(diǎn)M，使向量MA · MB = 定值，則AB過定點(diǎn)。
- 若kMA * kMB = 定值，AB過定點(diǎn)。
- MA與x軸的角（傾斜角）+MB與x軸的角=定值，則過定點(diǎn)。
- 三角函數(shù)與斜率（tan）
- （兩條直線）與坐標(biāo)軸夾角相等/關(guān)于直線對稱：
- 斜率為相反數(shù)
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數(shù)列：
- 等差數(shù)列：小學(xué)奧數(shù)。
- 求前 n 項(xiàng)和：倒過來加，例：1+3+5+7+... +(7+5+3+1)=8+8+8+8+.....。除以2得到前 n 項(xiàng)和。
- 實(shí)際上直接（首+末）*項(xiàng)數(shù)/2就行啦。
- Sn = n * a1 + n * (n-1) / 2 * d ，d 為公差
- 等比數(shù)列求前 n 項(xiàng)和：若 Sn=a1+q * a1+q^2 * a1 +......，則q * Sn - Sn =a1 * q^n - a1 ； 所以 Sn = \frac{ ( (q^n) - 1) * a1 } { q-1 }。這些其實(shí)就是錯位相減法。（?）數(shù)列【考點(diǎn)】12錯位相減法求數(shù)列... P187 - 02:44?
- 累加與累乘法：由遞推式求通項(xiàng)公式。例：已知a_n=q * a_{n-1} , a_{n-1}=q * a_{n-2}......則a_n=q^{n-1} * a_1 。 注意邊界。?數(shù)列【考點(diǎn)】8累乘法題型一網(wǎng)打... P183 - 15:57?
- 待定系數(shù)法：已知一個奇怪的數(shù)列A，設(shè)出一個數(shù)列B，使B對應(yīng)于A，但B為簡單的等比/等差數(shù)列。簡單但重要且常用。?數(shù)列【考點(diǎn)】9待定系數(shù)與換元法... P184 - 04:33?
- 換元法：換掉最惡心的一項(xiàng)，然后用它表示其它項(xiàng)?？梢該Q元完之后再用待定系數(shù)法。?數(shù)列【考點(diǎn)】9待定系數(shù)與換元法... P184 - 20:08?
- 相鄰若干項(xiàng)和（Sn的差）：等差/比數(shù)列的 Sn 的差形成的數(shù)列 也為等差/比數(shù)列。再次重申，注意邊界，有時n>=2，在n=1時不成立。
- an Sn 混搭：消元思想（寫出兩個式子（分別為n,n-1），然后相減）。
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導(dǎo)數(shù)：就是原函數(shù)的變化率函數(shù)，寫作 F'(x) / u ' (u 為表達(dá)式)... (就是符號 ' )。F'(x) 中 x 的每一個值都對應(yīng)原函數(shù) x 處的切線。
切線方程：使用點(diǎn)斜式 y=k(x-x0)+y0 ，k為其導(dǎo)函數(shù)x0點(diǎn)的值
常見求導(dǎo)：
- (x^a)'=a * x^(a-1)
- c'=0
- (sin x)' = cosx
- (cos x)' = - sinx
- (tan x)'=1/(cos^2 x)
- (a^x)'=a^x * Ln a
- (log_a^x)'= \frac{1}{x * Ln a}
- 說明：Ln a 就是 log_e^a，這里我寫的是通用式，一哥視頻提到了 a=e 的情況
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：
- (u +- v) ' = u ' +- v '
- (u * v) ' = u* v' + v * u'
- (u/v) ' =\frac{ u' * v - v' * u}{v^2}
- ( g( f(x) ) ) ' = g ' (f(x)) * f ' (x)
導(dǎo)數(shù)壓軸：
- 恒成立問題
- 參數(shù)分離法
- 參數(shù)分離，將帶有未知數(shù)的項(xiàng)歸到一邊（注意未知數(shù)不是 x 而是 a ）
- 然后用 x 表示答案 a ，求 a 的最值，現(xiàn)在我把它寫作 a = f (x)
- 求導(dǎo)，使 f ' (x)=0 ，找到 f (x) 的最值。此時用因式分解/試根法。這里經(jīng)常用多次求導(dǎo)去判斷增減性找到唯一的 x 。?導(dǎo)數(shù)【壓軸】1恒成立之參數(shù)分離... P200 - 10:57?
- 如果求不出具體的零點(diǎn)，不要驚慌。大致求 猜(bushi 出零點(diǎn) x0 的值域，用你掌握的一切關(guān)系把最后含有 x0 的項(xiàng)化為 x0 與常數(shù)?；氐?f (x) 本身，讓 f (x) 變成只與 x0 有關(guān)的式子，最后用 x0 的值域求出 f (x) 的值域?導(dǎo)數(shù)【壓軸】3未知極值點(diǎn)的處理... P202 - 04:10?
- 極值點(diǎn)偏移
- 求出原函數(shù)極值點(diǎn) x0 。發(fā)現(xiàn) f(x) 增大減小的速率不同。于是求 f(x0-x) f(x0+x)比較大小（此處可以變成 x0 * x）?導(dǎo)數(shù)【壓軸】5極值點(diǎn)偏移（拔高） P204 - 17:13?
- 注意定義域的端點(diǎn)，往往是
- 放縮
- e^x > x >Ln x （指數(shù) > 一次 > 對數(shù)）
- e^x >= x+1 ( x>=0，當(dāng) x=0 時取等)
- 上式同時取 Ln 得 x > Ln (x+1) 此時 x>0
- x >= Ln x + 1 (x>0，當(dāng) x=1 時取等)
- 如果與數(shù)列結(jié)合，使用裂項(xiàng)相消法?導(dǎo)數(shù)【壓軸】6常見三連放縮（中... P205 - 10:34?
- 總體上，先求導(dǎo)證明導(dǎo)函數(shù)單調(diào)即可進(jìn)行放縮
- 零點(diǎn)
- 把不等式移到一邊求零點(diǎn)
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計(jì)數(shù)原理：
- 加法原理：多方案（種類），計(jì)算例如A1+A2+A3
- 乘法原理：多階段（步驟），計(jì)算例如A*B*C
排列組合：
- 排列：符號A^m_n（上面m下面n），這里記作A (m,n) ，表示從 n 個數(shù)中選 m 個的排列數(shù)（順序不同排列不同）。
- A(m,n)= n * (n-1) * (n-2) *...* (n-m+1)其實(shí)就是n開始連續(xù)m個數(shù)乘起來
- 或者，A(m,n) = n! / (n-m)! ，這里 ! 表示階乘
- 組合：符號C^m_n，這里記作C(m,n)，表示 n 個數(shù)中選 m 個的組合數(shù)（與順序無關(guān)）。
- C(m,n) = A(m,n) / A(m,m)
- 實(shí)際上，C(m,n)=c(n-m,n)，選出不要的=選出要的
- 一種遞推式：C(k,n)=C(k-1,n-1)+C(k.n-1)，意思是第n個選不選。
- 再次重申，正難則反，如果限制條件復(fù)雜，不妨考慮 全部種數(shù) - 不滿足限制種數(shù)。
- 二項(xiàng)式定理：一個有關(guān)多次二項(xiàng)式展開的定理。就是楊輝三角。
- (a+b)^n 中，a^k * b^(n-k) 的二項(xiàng)式系數(shù)為C(k,n)。意思是在n個(a+b)中有k個選了a（剩下的選b）
- n為奇數(shù)時，C( (n-1)/2 , n) = C( (n+1)/2 , n) 最大，為偶數(shù)時，C(n/2,n)最大
- C(0,n)+C(1,n)+...+C(n,n)=2^n。因?yàn)槎?xiàng)式展開總共有2^n項(xiàng)（不合并同類項(xiàng)）
- 需要注意的是，二項(xiàng)式系數(shù)不等于系數(shù)，前者只是C(k,n)，后者與a、b有關(guān)。
- 賦值法，令x=-1、0、1、2等常見值，大大簡化計(jì)算。
- 計(jì)數(shù)問題：小學(xué)奧數(shù)啦很簡單的啦，寫出每一種都可以的啦~
- 總體而言，從有限制條件的優(yōu)先入手。
- 捆綁法：把相鄰的兩人看作一個人進(jìn)行排列
- 插空法：有不相鄰限制。讓沒有限制的先排，不相鄰的插到拍好的中間的空位（包括兩端）。
- 隔板法：多物品分幾個部分，在物品之間插板子，板子之間的是一個部分。如果可以有部分為空，一般把每個部分+1讓它強(qiáng)制大于0。
- 分組分配問題：先不考慮（組的）重復(fù)求出組合，最后除以（數(shù)量相同的）組的全排列。
- 染色問題：
- 跳格討論。確定一格之后，間隔一格討論相同或不同。
- 非常復(fù)雜時，有以下萬能方法：
- 化簡題面
- 樹狀圖分析，限制多先討論，逐步模擬過程分類討論（有些類似于染色問題時的做法）
- 加法原理與乘法原理計(jì)算答案
- 路徑問題，可以遞推
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條件概率：兩個事件之間有影響。與之相反的是獨(dú)立事件。
- P(B|A) 表示 A 發(fā)生時 B 的概率，其計(jì)算方式如下：
- P(B|A)=n(AB) / n(A)=P(AB) / P(A)，n表示發(fā)生某事件的情況總數(shù)，AB是積事件。
離散型隨機(jī)變量：結(jié)果有限的的隨機(jī)變量（其實(shí)就是事件）。
- 離散型隨機(jī)變量的分布列：寫出每個取值與對應(yīng)的概率，列表。（一般把變量記作X）
- 兩點(diǎn)分布：只有兩種情況，一般用1表示成功，0表示失敗。
- E(X)=\Sigma{ Xi*P(Xi) }，（帶權(quán)）平均數(shù)
- D(X)=\Sigma{ (Xi-E(X) )^2 * Pi}，方差
- 獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)：重復(fù)進(jìn)行相互獨(dú)立事件。
- 進(jìn)行 n 次實(shí)驗(yàn)，每次結(jié)果為 X 的概率為 P(X)，則其中有 k 次結(jié)果為 X 的概率為P(k)=C(k,n) * P(X)^k * (1-P(X))^(n-k)。
- 二項(xiàng)分布：要么成功，要么不成功。記為 X~B(n,p)，n為試驗(yàn)次數(shù)，p為每次概率。顯然這是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的一種，它的計(jì)算就是上面那個式子。
- 只在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，有：
- E(X)=np
- D(X)=np(1-p)
正態(tài)分布：
- X~N(miu,sigma^2)
- 一段曲線與x軸間的面積就是概率
- 曲線是對稱的，對稱軸是x=miu，此時函數(shù)值為1 / { \sqrt{2*pi} * sigma}
成對數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：
- x、y線性相關(guān)：每個(x,y)大致都在直線上。（分為正相關(guān)、負(fù)相關(guān)）
- 線性回歸方程：這里記a上面寫^號為^a 。方程為：^y=^b x + ^a。
- 記x的平均值為_x_，則^b=\frac {\Sigma{ (xi-_x_) (yi-_y_) }} { \Sigma (xi-_x_) ^2 }
- 進(jìn)一步的，^b=\frac{ \Sigma{ xi*yi }- n*_x_ * _y_ } { \Sigma{xi^2} - n* _x_^2}
- 該方程圖像一定過 (_x_ , _y_) ，所以 ^a 用該點(diǎn)帶入求
- 殘差 ^ei=yi - ^yi ，表示擬合的誤差
- 相關(guān)系數(shù)r，R^2 = \frac{ \Sigma{ei^2} }{ \Sigma{ (yi-_y_)^2} }
- 正相關(guān)時r>0，負(fù)相關(guān)時r<0。當(dāng) | r | >0.75 時可以認(rèn)為有擬合效果
- 獨(dú)立性檢驗(yàn)：假設(shè)有這樣一個表格：
| 結(jié)果不發(fā)生 | 結(jié)果發(fā)生
不進(jìn)行事件A| a | b
進(jìn)行事件A | c | d
- 則相關(guān)性K^2 =\frac{ n (ad-bc)^2 }{ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) }，這里n=a+b+c+d（樣本總數(shù)）。
- K^2越大相關(guān)性越強(qiáng)。
- 另一個名字是 觀測值 k，k=K^2。
- 這里表格的順序沒有關(guān)系
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積分：可以表示其面積（與坐標(biāo)軸夾）
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其它一些零散知識
- 角平分線定理： 三角形一個角的平分線 與其對邊所成的兩條線段 與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。（下圖源360百科）
- 設(shè)反式：見圓錐曲線——弦長公式下筆記
- 三角函數(shù)
- 正切恒等式：tan A * tan B * tan C = tan A+tan B+tan C（三角形內(nèi)角時）
- （學(xué)長的博客： https://freeze.org.cn/post/高中數(shù)學(xué)/函數(shù)/三角函數(shù)公式）
