之前我們聊過一個(gè)數(shù)字：葛立恒數(shù)，之前說這是一個(gè)有意義的自然數(shù)。這個(gè)數(shù)大到哪怕是全宇宙的物質(zhì)都是墨水，這些墨水都寫不完這個(gè)數(shù)字的位數(shù)，因此我們只能用高德納箭頭來表示。 ps：這里需要強(qiáng)調(diào)的是：形容一個(gè)數(shù)字大，必須要建立在有意義的基礎(chǔ)上，是對(duì)一個(gè)客觀事實(shí)或者概念的描述。如果沒有這個(gè)前提，就沒有最大的數(shù)，否則你任意說一個(gè)數(shù)，我就能+1，甚至平方，直到無窮大。

這樣看來，它真的很大，但是數(shù)學(xué)家們卻不罷休，它們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更大的數(shù)：TREE(3)。在TREE(3)面前，葛立恒數(shù)幾乎可以忽略不計(jì)。那TREE(3)這個(gè)數(shù)究竟是什么意思，又是怎么來的呢？ TREE其實(shí)是一個(gè)函數(shù)，TREE(3)則表示當(dāng)這個(gè)函數(shù)的自變量取值為3的時(shí)候，函數(shù)的值。Tree這個(gè)單詞用得很形象，就是樹木的意思，TREE(3)這個(gè)數(shù)字就來源于一個(gè)“畫樹”游戲。對(duì)于“樹”這個(gè)概念，學(xué)計(jì)算機(jī)的朋友們尤其熟悉。除此以外，平常我們使用“思維導(dǎo)圖”畫出的組織架構(gòu)圖，家譜結(jié)構(gòu)圖，這些本質(zhì)都是“樹”結(jié)構(gòu)。 ? 了解了“樹”的概念，接下來，我們就用“畫樹”游戲來導(dǎo)出TREE(3)。 這個(gè)樹狀結(jié)構(gòu)里，我們將小圓點(diǎn)比做樹葉，線段比做枝干，一棵樹不能有閉環(huán)，只能從葉到葉，不能從葉到根。從一個(gè)葉后面可能引出來若干的葉，這個(gè)葉就是成了后面那些葉的根。根和所有的葉組成節(jié)點(diǎn)。如此，一棵樹上的節(jié)點(diǎn)數(shù)之和就應(yīng)該比枝干數(shù)之和大1。

另外，小圓點(diǎn)的顏色需要遵循一些規(guī)則，而樹枝的顏色則隨意，我們不需要關(guān)心。TREE(3)里的3就代表我們用三種顏色來畫這棵樹（三種顏色的小圓點(diǎn)）。 畫這棵樹需要遵循以下兩個(gè)規(guī)則： 1、第一棵樹只能有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第二棵樹不能超過兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，第三棵樹不能超過三個(gè)節(jié)點(diǎn)……第n棵樹最多只能有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。 2、前面的樹不能是后面的樹的子樹；后面的樹里，不能“包含”前面的樹結(jié)構(gòu)。 需要注意的是，第二條規(guī)則里的“包含”是指，后面的樹在去掉若干樹葉后，依舊不能和前面的樹相同（前面的樹不能是后面的樹的子樹，換種方法理解就是，一棵樹砍掉任意節(jié)點(diǎn)后，不能和前面的樹相同。） 除此以外，這種情況也不被允許：當(dāng)前的樹如果取若干節(jié)點(diǎn)，這若干節(jié)點(diǎn)組成的樹結(jié)構(gòu)不能和之前的樹的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。而且，兩棵樹中任意對(duì)應(yīng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近共同祖先不能是同一顏色。 如下圖：對(duì)一個(gè)子樹而言，中間的樹去掉最上面的藍(lán)色就一樣了，所以不滿足；第三棵樹結(jié)構(gòu)，下面的藍(lán)色和綠色擁有共同的祖先——紅色，這與第一個(gè)子樹一樣，因此也不滿足。

? 特別強(qiáng)調(diào)：當(dāng)兩個(gè)葉子一起朝根節(jié)點(diǎn)回溯時(shí)，它們一定會(huì)在某個(gè)葉子上匯合，這個(gè)匯合的節(jié)點(diǎn)就是他們的最近共同祖先。如果我們將這棵樹看成一個(gè)家譜，就好理解了。一個(gè)家族里，其他人和你所擁有的最近的一個(gè)共同祖先，比如你和你親兄弟姊妹的最近共同祖先就是父親，你和你的堂兄妹的最近共同祖先就是你們的爺爺。 理解了上面的規(guī)則后，現(xiàn)在畫樹游戲的要求是：如果兩棵樹之間，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的共同祖先是同一個(gè)顏色，那游戲直接結(jié)束。我們要遵守規(guī)則，保證游戲一直玩下去。

? 這種包含關(guān)系在數(shù)學(xué)上的術(shù)語(yǔ)叫作：下確界-可嵌入（INF-embeddable），搞硬件嵌入式系統(tǒng)的朋友們應(yīng)該相當(dāng)熟悉這個(gè)詞。這里INF是Infimum and supremum的簡(jiǎn)稱，是下確界或者說是最大下界的拉丁文縮寫。

? 為什么這里要用這個(gè)詞，因?yàn)楹线m：當(dāng)我們把一棵樹某個(gè)枝條上的節(jié)點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)大小進(jìn)行排序，且根節(jié)點(diǎn)最小時(shí)，那么兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近共同祖先其實(shí)就是最大的，且比這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都小的節(jié)點(diǎn)。（很繞，但真的就是這樣的） 現(xiàn)在我們開始正式畫樹游戲，我們要畫出樹盡可能多的森林，也就是“樹列”。 從TREE(1)開始，只用一只顏色畫樹：假設(shè)你用的是紅色，那么你只能畫出一棵樹，不然就違反規(guī)則了，因此TREE(1)=1，如下圖。

? 接下來是TREE(2)， 我們用紅色和藍(lán)色畫樹，我們發(fā)現(xiàn)，最多只能畫出三棵樹結(jié)構(gòu)，不然就違反規(guī)則了，因此TREE(2)=3，如下圖。

? 然后是TREE(3)，我們用紅、藍(lán)、綠三種顏色，這下神奇的事情發(fā)生了，按照這種規(guī)則我們好像可以無窮無盡地畫下去。

? 那究竟可不可以畫完呢？TREE(3)究竟是不是無窮大呢？這就是數(shù)學(xué)家哈維·弗雷德曼研究的數(shù)學(xué)問題。結(jié)論是：TREE(3)并不是無窮大，而是一個(gè)有限的數(shù)字，只是比葛立恒數(shù)還要大得多。 那TREE(3)不是無窮大這個(gè)結(jié)論是如何證明出來的呢？如果TREE(3)是無限大，那TREE(3)就沒有任何討論的意義了。就像我們都知道自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，討論最大的自然數(shù)沒有意義。 TREE(3)這個(gè)數(shù)是有限的這個(gè)結(jié)論是經(jīng)過了嚴(yán)密的證明的，證明人就是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域大名鼎鼎的克魯斯卡爾。他的證明過程我們可以用一句話總結(jié)：如果TREE(3)是無限的，那就一定存在違反規(guī)則的情況（一定會(huì)存在后面包含前面的情況）。

? 這種證明方式很巧妙，外行甚至?xí)X得這是耍小聰明。但是懂行地知道，這是非常厲害且巧妙的一種方法。 那我們?nèi)绾卫斫釺REE(3)的大小呢？前面我們理解葛立恒數(shù)用的是高德納箭頭，但是這種方法在TREE(3)面前根本不管用。面對(duì)TREE(3)，我們需要用到“超運(yùn)算表示法”。 我們可以舉個(gè)例子來理解超運(yùn)算： a+b表示a加上b個(gè)1的和，用a[1]b表示。 a*b表示b個(gè)a相加之和，用a[2]b表示。 a^b表示b個(gè)a相乘，用a[3]b表示。 迭代冪次b個(gè)a重冪表示a^a^a^···^a^a（一共b個(gè)a），用a[4]b表示，從右往左運(yùn)算。

? 舉個(gè)例子，超4運(yùn)算：2[4]4=2^2^2^2=2^2^4=2^16。 了解了超運(yùn)算之后，這里我們引入a[n]b，超n運(yùn)算，這里a是底數(shù)，b是超指數(shù)，n則是階數(shù)。舉個(gè)例子2[5]4=2^2^2^···^2^2，一共65536個(gè)2。這已經(jīng)不是指數(shù)爆炸了，這是一個(gè)天文數(shù)字了，比宇宙中所有原子的數(shù)量還要多得多。 利用超運(yùn)算，數(shù)學(xué)家引入了一個(gè)阿克曼函數(shù)，太復(fù)雜，這里就不展開了： 總之記得這個(gè)阿克曼函數(shù)：A(x)=2[x+1]x。 通過嵌套，數(shù)學(xué)家們計(jì)算出葛立恒數(shù)約為：A^64(4)，而TREE(3)用超運(yùn)算法，通過阿克曼函數(shù)表示就是： TREE(3)=A^A(187196)(1) ?

所以我們說葛立恒數(shù)在TREE(3)面前小的不能再小了。我們的大腦根本無法想象這個(gè)數(shù)到底有多大，我們舉個(gè)例子幫助大家理解：你在1后面寫0，假設(shè)物質(zhì)和空間均是無限的，你一個(gè)普朗克時(shí)間寫一個(gè)0，那么從宇宙誕生直到宇宙毀滅，你都寫不完這個(gè)數(shù)。

? 在數(shù)學(xué)上，我們想要構(gòu)造出一個(gè)巨大無比的數(shù)字是非常簡(jiǎn)單的，但是我們永遠(yuǎn)也無法理解這個(gè)數(shù)字究竟有多大，這才是我們的無奈。我們明明無法理解這些大數(shù)字，但是我們卻知道這些大數(shù)字都是有限的，且有數(shù)學(xué)意義的。 ? 不僅如此，TREE(3)是有限的，TREE(TREE(3))也是有限的，但是我們無法理解。這就是數(shù)學(xué)的有趣之處。

Oh Shit