*** 圖文無關(guān) ***? ? ? ? ? ? ?才發(fā)現(xiàn)標(biāo)題名字打錯(cuò)了

我是真的不知道拿什么當(dāng)封面了.............

在第二篇補(bǔ)充中, 我提到了

我們記? ??|a+bj| = sqrt(a^2+b^2),?即上圖線段的長度? ? ? ?arg(a+bj)為上圖線段與實(shí)數(shù)軸的夾角 那么觀察容易得出:? ? An=2*|cn|,? ? φn=|arg(cn)|

cn是一個(gè)與頻率nw0相關(guān)的一個(gè)系數(shù), 且?|cn|與頻率強(qiáng)度An相關(guān), 而|arg(cn)|與相位φn相關(guān),?于是我們稱|cn|為振幅或震動(dòng)強(qiáng)度,?arg(cn)為相位

以第一章的函數(shù)為例子

我們可以畫出? 頻率nw0 - 振幅|cn|? 的圖像:

這個(gè)圖像就叫做 頻圖??或?頻幅圖,? 同理, 頻率和相位arg(cn)可以畫出相似的圖形, 稱為?相位圖

傅里葉級(jí)數(shù)有一個(gè)缺陷, 就是它只能處理周期函數(shù), 為了使它可以處理非周期函數(shù), 我們先來觀察一下傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算式子:

這里使用fT(t)是為了強(qiáng)調(diào)它是一個(gè)周期為T的函數(shù)

非周期函數(shù)就是指沒有重復(fù)周期的函數(shù), 那么我們可以把它理解為?周期為+∞的周期函數(shù)

有了這個(gè)想法之后, 我們就可以著手把傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行改進(jìn)? (運(yùn)用定積分的定義 [期待一下不存在的附章吧])

在改進(jìn)后, fT(t)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)f(t),? cn中的頻率 nw0 (即n/T), 由離散的nw0變?yōu)檫B續(xù)的頻率ω, 則我們可以記改進(jìn)后的cn為一個(gè)新函數(shù)?f?(ω) 或 f_hat(ω)?(才發(fā)現(xiàn)我一直把頻率ω打成w)

注: 這里可能和其他數(shù)學(xué)書上看到的不一樣, 一般在物理中t<0的部分是沒有意義的, 所以f?(ω)的積分范圍為0到+∞

這兩條式子告訴我們, 只要知道了一個(gè)隨時(shí)間變化的東西 (比如聲音, 無線電波, 電子模擬信號(hào)), 我們就可以使用下面的式子把不同頻率的組成部分完全分離出來, 分離了有什么用呢? 我們得到了頻率, 就可以對(duì)頻率進(jìn)行分析或者修改, 修改完成后, 再使用第一條式子把頻率轉(zhuǎn)換成原本的東西,? ? ? ?實(shí)際應(yīng)用就有變聲器和無線電波監(jiān)聽器等等了

我們稱第二條式子為傅里葉變換(Fourier transform, 簡稱FT), 而第一條式子為傅里葉逆向變換(iFT), 同理, |f?(ω)| 為 頻圖, arg(f?(ω)) 為 相位圖,? 特殊地有:?|f?(ω)|^2 為 能量分布圖

這里我略過了很多細(xì)節(jié), 而且不夠生動(dòng)形象,? 不過大家了解了傅里葉變換是提取信號(hào)f(t)的頻率就可以了

比較生動(dòng)形象地看到傅里葉變換:

(至今3b1b微分方程的第四章還沒烤完? ? = = )

傳統(tǒng)傅里葉變換就這樣講完了,? 接下來分開了兩條路線:? 離散傅里葉變換(DFT) 和 窗口傅里葉變換(WFT),? ?這兩個(gè)都要講到的

DFT的話就開始講算法(python), 而WFT就繼續(xù)講數(shù)學(xué),? ?大家想要看哪個(gè)呢, 沒有沒人發(fā)表意見的話就DFT的了

*** 在開始講DFT之前可能要專門做一篇專欄教大家怎么用python進(jìn)行編程, emmmmmm ***