先看看球坐標(biāo)：

擴(kuò)大到n維球體，因?yàn)榍蜃鴺?biāo)中只有一個(gè)r,其它都是角度，所以其體積元為：

這個(gè)多維球坐標(biāo)不必多想，就是圖1中這個(gè)意思就行了。

再考慮卡方分布：

其分布函數(shù)為：

注意，這里的x還是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因?yàn)椴](méi)有進(jìn)行什么變換。

再進(jìn)行n維球坐標(biāo)變換：

因?yàn)閞與其它參數(shù)無(wú)關(guān)，所以可以把r的積分與其它參數(shù)的積分分離開(kāi)來(lái)，其它參數(shù)積分的結(jié)果用大寫(xiě)的Ck表示，得到：

再假設(shè)h(r)與H(r)之間為原函數(shù)與求導(dǎo)的關(guān)系：

其中H(0)為0，得到

這里y的指數(shù)出現(xiàn)了k/2，這個(gè)k也就是卡方分布里面變量的個(gè)數(shù)，它對(duì)應(yīng)著球坐標(biāo)中的維數(shù)

因?yàn)楦怕拭芏戎蜑?，所以

因此Ck可以倍求出來(lái)

最后將Ck代入圖1，就得到了卡方分布的概率密度。

這種方法和前面那些方法對(duì)比，似乎更簡(jiǎn)潔一些。

這種方法似乎也可以解釋一點(diǎn)卡方分布和伽馬函數(shù)（階乘）的關(guān)系，因?yàn)殡S著卡方函數(shù)中變量的增加，圖a的積分號(hào)中出現(xiàn)了r的k次方，而這是一種連乘的關(guān)系，和階乘有著某種相似之處。不知道這種解釋能不能說(shuō)得通？