老黃已經(jīng)推導了很多不定積分公式了，可以寫成一篇長篇論文了。這次要推導的是“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘余弦冪的不定積分”遞推公式。它的公式最終形態(tài)，老黃已經(jīng)推出來，并在前幾篇作品中分享了。之所以反過來推導它的遞推公式，目的是推向正割余割相關(guān)的公式，結(jié)果令人感到遺憾。

前面老黃已經(jīng)推導了“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦冪的不定積分”遞推公式，因此推導余弦相關(guān)的遞推公式是非常簡單的。兩者的方法步驟以及結(jié)果都極其相似。

探究：Jn(a,b)=∫e^(ax)*(cosbx)^ndx的遞推公式.

最后還得到了當a=b=1時，遞推公式的特殊形式。本來用這個公式，可以遞推出最終的公式形式。不過老黃已經(jīng)直接由正弦相關(guān)的公式推出了余弦相關(guān)的公式。所以老黃想用它推導的是關(guān)于正割的公式。

先比較一下正弦相關(guān)和余弦相關(guān)的公式，可以發(fā)現(xiàn)，兩者的形式極其相似。

這兩組公式也是很有用的，比如可以用它們來解下面的這個不定積分。

例：求∫e^x*((sinx)^4+(cosx)^4)dx.

至少有三種解法?？梢苑謩e運用正弦相關(guān)和余弦相關(guān)的公式的最終形式。也可以分別應(yīng)用遞推公式。還可以將被積函數(shù)變形，再運用不定積分公式。老黃選擇后兩種方法。

其中有一些要注意的，包括：I2+J2=e^x+C；和(sinx)^4+(cosx)^4=1-1/2* (sin2x)^2.

想要推廣到正割或余割相關(guān)的公式，就要推出升冪的遞推公式。因為正割余割的正整數(shù)冪，其實就是余弦正弦的負整數(shù)冪。

但是得到的公式中，分母有因式(n+1)(n+2)，這說明指數(shù)n=-2,n=-1都無法繼續(xù)遞推。從而無法將正割或余割相關(guān)的不定積分轉(zhuǎn)化成余弦或正弦相關(guān)的不定積分，此路不通！

不過有遞推公式的存在，仍可以把指數(shù)的絕對值遞推降到n=-2,n=-1的情形。但e^x*secx或e^x*cscx，以及e^x*(secx)^2或e^x*(cscx)^2的不定積分，均無法用一般的方法直接求出來。

類似的，∫e^x*tandx和∫e^x*cotxdx也都無法用老黃目前已經(jīng)分享的知識求出來。因此老黃只好把這些不定積分的公式押后。等到分享到相關(guān)知識之后，再與大家分享。至于它們的遞推公式，倒是可以推導出來的。

不知道你能不能解決這幾個不定積分呢？