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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于ARMA-GARCH的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本文將分析工業(yè)指數(shù)（DJIA）。工業(yè)指數(shù)（DIJA）是一個(gè)股市指數(shù)，表明30家大型上市公司的價(jià)值。工業(yè)指數(shù)（DIJA）的價(jià)值基于每個(gè)組成公司的每股股票價(jià)格之和

時(shí)間序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票價(jià)格數(shù)據(jù)

本文將分析工業(yè)指數(shù)（DJIA）。工業(yè)指數(shù)（DIJA）是一個(gè)股市指數(shù)，表明30家大型上市公司的價(jià)值。工業(yè)指數(shù)（DIJA）的價(jià)值基于每個(gè)組成公司的每股股票價(jià)格之和。

本文將嘗試回答的主要問題是：

• 這些年來收益率和交易量如何變化？

• 這些年來，收益率和交易量的波動(dòng)如何變化？

• 我們?nèi)绾谓Ｊ找媛什▌?dòng)？

• 我們?nèi)绾文M交易量的波動(dòng)？

為此，本文按以下內(nèi)容劃分：

第1部分：?獲取每日和每周對(duì)數(shù)收益的?數(shù)據(jù)，摘要和圖
第2部分：?獲取每日交易量及其對(duì)數(shù)比率的數(shù)據(jù)，摘要和圖
第3部分：?每日對(duì)數(shù)收益率分析和GARCH模型定義
第4部分：?每日交易量分析和GARCH模型定義

獲取數(shù)據(jù)

利用quantmod軟件包中提供的getSymbols（）函數(shù)，我們可以獲得2007年至2018年底的工業(yè)平均指數(shù)。

getSymbols("^DJI", from = "2007-01-01", to = "2019-01-01")dim(DJI) ## [1] 3020 ? ?6class(DJI) ## [1] "xts" "zoo"

讓我們看一下DJI xts對(duì)象，它提供了六個(gè)時(shí)間序列，我們可以看到。

head(DJI)## ? ? ? ? ? ?DJI.Open DJI.High ?DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## 2007-01-03 12459.54 12580.35 12404.82 ?12474.52 ?327200000 ? ? 12474.52## 2007-01-04 12473.16 12510.41 12403.86 ?12480.69 ?259060000 ? ? 12480.69## 2007-01-05 12480.05 12480.13 12365.41 ?12398.01 ?235220000 ? ? 12398.01## 2007-01-08 12392.01 12445.92 12337.37 ?12423.49 ?223500000 ? ? 12423.49## 2007-01-09 12424.77 12466.43 12369.17 ?12416.60 ?225190000 ? ? 12416.60## 2007-01-10 12417.00 12451.61 12355.63 ?12442.16 ?226570000 ? ? 12442.16tail(DJI)## ? ? ? ? ? ?DJI.Open DJI.High ?DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted## 2018-12-21 22871.74 23254.59 22396.34 ?22445.37 ?900510000 ? ? 22445.37## 2018-12-24 22317.28 22339.87 21792.20 ?21792.20 ?308420000 ? ? 21792.20## 2018-12-26 21857.73 22878.92 21712.53 ?22878.45 ?433080000 ? ? 22878.45## 2018-12-27 22629.06 23138.89 22267.42 ?23138.82 ?407940000 ? ? 23138.82## 2018-12-28 23213.61 23381.88 22981.33 ?23062.40 ?336510000 ? ? 23062.40## 2018-12-31 23153.94 23333.18 23118.30 ?23327.46 ?288830000 ? ? 23327.46

更準(zhǔn)確地說，我們有可用的OHLC（開盤，高，低，收盤）指數(shù)值，調(diào)整后的收盤價(jià)和交易量。在這里，我們可以看到生成的相應(yīng)圖表。

我們?cè)诖朔治稣{(diào)整后的收盤價(jià)。

DJI[,"DJI.Adjusted"]

簡單對(duì)數(shù)收益率

簡單的收益定義為：

對(duì)數(shù)收益率定義為：

我們計(jì)算對(duì)數(shù)收益率。

CalculateReturns(dj_close,?method?=?"log")

讓我們看看。

head(dj_ret)##?????????????DJI.Adjusted##?2007-01-04??0.0004945580##?2007-01-05?-0.0066467273##?2007-01-08??0.0020530973##?2007-01-09?-0.0005547987##?2007-01-10??0.0020564627##?2007-01-11??0.0058356461tail(dj_ret)##????????????DJI.Adjusted##?2018-12-21?-0.018286825##?2018-12-24?-0.029532247##?2018-12-26??0.048643314##?2018-12-27??0.011316355##?2018-12-28?-0.003308137##?2018-12-31??0.011427645

給出了下面的圖。

可以看到波動(dòng)率的急劇上升和下降。第3部分將對(duì)此進(jìn)行深入驗(yàn)證。

輔助函數(shù)

我們需要一些輔助函數(shù)來簡化一些基本的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，摘要和繪圖。

1.從xts轉(zhuǎn)換為帶有year and value列的數(shù)據(jù)框。這樣就可以進(jìn)行年度總結(jié)和繪制。

??df_t?<-?data.frame(year?=?factor(year(index(data_xts))),?value?=?coredata(data_xts)) ??colnames(df_t)?<-?c(?"year",?"value")

2.摘要統(tǒng)計(jì)信息，用于存儲(chǔ)為數(shù)據(jù)框列的數(shù)據(jù)。

?rownames(basicStats(rnorm(10,0,1)))?#?基本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)輸出行名稱with(dataset,?tapply(value,?year,?basicStats))

3.返回關(guān)聯(lián)的列名。

??colnames(basicstats[r,?which(basicstats[r,]?>?threshold),?drop?=?FALSE])

4.基于年的面板箱線圖。

??p?<-?ggplot(data?=?data,?aes(x?=?year,?y?=?value))?+?theme_bw()?+?theme(legend.position?=?"none")?+?geom_boxplot(fill?=?"blue")

5.密度圖，以年份為基準(zhǔn)。

??p?<-?ggplot(data?=?data,?aes(x?=?value))?+?geom_density(fill?=?"lightblue")? ??p?<-?p?+?facet_wrap(.?~?year)

6.基于年份的QQ圖。

??p?<-?ggplot(data?=?dataset,?aes(sample?=?value))?+?stat_qq(colour?=?"blue")?+?stat_qq_line()? ??p?<-?p?+?facet_wrap(.?~?year)

1. Shapiro檢驗(yàn)

pvalue?<-?function?(v)?{ ??shapiro.test(v)$p.value }

每日對(duì)數(shù)收益率探索性分析

我們將原始的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為具有年和值列的數(shù)據(jù)框。這樣可以按年簡化繪圖和摘要。

head(ret_df)##???year?????????value##?1?2007??0.0004945580##?2?2007?-0.0066467273##?3?2007??0.0020530973##?4?2007?-0.0005547987##?5?2007??0.0020564627##?6?2007??0.0058356461tail(ret_df)##??????year????????value##?3014?2018?-0.018286825##?3015?2018?-0.029532247##?3016?2018??0.048643314##?3017?2018??0.011316355##?3018?2018?-0.003308137##?3019?2018??0.011427645

基本統(tǒng)計(jì)摘要

給出了基本統(tǒng)計(jì)摘要。

##???????????????????2007???????2008???????2009???????2010???????2011##?nobs????????250.000000?253.000000?252.000000?252.000000?252.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000##?Minimum??????-0.033488??-0.082005??-0.047286??-0.036700??-0.057061##?Maximum???????0.025223???0.105083???0.066116???0.038247???0.041533##?1.?Quartile??-0.003802??-0.012993??-0.006897??-0.003853??-0.006193##?3.?Quartile???0.005230???0.007843???0.008248???0.004457???0.006531##?Mean??????????0.000246??-0.001633???0.000684???0.000415???0.000214##?Median????????0.001098??-0.000890???0.001082???0.000681???0.000941##?Sum???????????0.061427??-0.413050???0.172434???0.104565???0.053810##?SE?Mean???????0.000582???0.001497???0.000960???0.000641???0.000837##?LCL?Mean?????-0.000900??-0.004580??-0.001207??-0.000848??-0.001434##?UCL?Mean??????0.001391???0.001315???0.002575???0.001678???0.001861##?Variance??????0.000085???0.000567???0.000232???0.000104???0.000176##?Stdev?????????0.009197???0.023808???0.015242???0.010182???0.013283##?Skewness?????-0.613828???0.224042???0.070840??-0.174816??-0.526083##?Kurtosis??????1.525069???3.670796???2.074240???2.055407???2.453822##???????????????????2012???????2013???????2014???????2015???????2016##?nobs????????250.000000?252.000000?252.000000?252.000000?252.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000##?Minimum??????-0.023910??-0.023695??-0.020988??-0.036402??-0.034473##?Maximum???????0.023376???0.023263???0.023982???0.038755???0.024384##?1.?Quartile??-0.003896??-0.002812??-0.002621??-0.005283??-0.002845##?3.?Quartile???0.004924???0.004750???0.004230???0.005801???0.004311##?Mean??????????0.000280???0.000933???0.000288??-0.000090???0.000500##?Median???????-0.000122???0.001158???0.000728??-0.000211???0.000738##?Sum???????????0.070054???0.235068???0.072498??-0.022586???0.125884##?SE?Mean???????0.000470???0.000403???0.000432???0.000613???0.000501##?LCL?Mean?????-0.000645???0.000139??-0.000564??-0.001298??-0.000487##?UCL?Mean??????0.001206???0.001727???0.001139???0.001118???0.001486##?Variance??????0.000055???0.000041???0.000047???0.000095???0.000063##?Stdev?????????0.007429???0.006399???0.006861???0.009738???0.007951##?Skewness??????0.027235??-0.199407??-0.332766??-0.127788??-0.449311##?Kurtosis??????0.842890???1.275821???1.073234???1.394268???2.079671##???????????????????2017???????2018##?nobs????????251.000000?251.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000##?Minimum??????-0.017930??-0.047143##?Maximum???????0.014468???0.048643##?1.?Quartile??-0.001404??-0.005017##?3.?Quartile???0.003054???0.005895##?Mean??????????0.000892??-0.000231##?Median????????0.000655???0.000695##?Sum???????????0.223790??-0.057950##?SE?Mean???????0.000263???0.000714##?LCL?Mean??????0.000373??-0.001637##?UCL?Mean??????0.001410???0.001175##?Variance??????0.000017???0.000128##?Stdev?????????0.004172???0.011313##?Skewness?????-0.189808??-0.522618##?Kurtosis??????2.244076???2.802996

在下文中，我們對(duì)上述一些相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行了具體評(píng)論。

平均值

每日對(duì)數(shù)收益率具有正平均值的年份是：

filter_stats(stats,?"Mean",?0) ##?[1]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"

按升序排列。

##???????????2008??????2018???2015?????2011?????2007????2012?????2014##?Mean?-0.001633?-0.000231?-9e-05?0.000214?0.000246?0.00028?0.000288##??????????2010??2016?????2009?????2017?????2013##?Mean?0.000415?5e-04?0.000684?0.000892?0.000933

中位數(shù)

正中位數(shù)是：

filter_stats(dj_stats,?"Median",?0) ##?[1]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"?"2018"

以升序排列。

##????????????2008??????2015??????2012?????2017?????2010?????2018?????2014##?Median?-0.00089?-0.000211?-0.000122?0.000655?0.000681?0.000695?0.000728##????????????2016?????2011?????2009?????2007?????2013##?Median?0.000738?0.000941?0.001082?0.001098?0.001158

偏度

偏度（Skewness）可以用來度量隨機(jī)變量概率分布的不對(duì)稱性。

公式：

其中?

?是均值，?

?是標(biāo)準(zhǔn)差。

幾何意義：

偏度的取值范圍為(-∞,+∞)

當(dāng)偏度<0時(shí)，概率分布圖左偏（也叫負(fù)偏分布，其偏度<0）。

當(dāng)偏度=0時(shí)，表示數(shù)據(jù)相對(duì)均勻的分布在平均值兩側(cè)，不一定是絕對(duì)的對(duì)稱分布。

當(dāng)偏度>0時(shí)，概率分布圖右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。

例如上圖中，左圖形狀左偏，右圖形狀右偏。

每日對(duì)數(shù)收益出現(xiàn)正偏的年份是：

##?[1]?"2008"?"2009"?"2012"

按升序返回對(duì)數(shù)偏度。

stats["Skewness",order(stats["Skewness",##???????????????2007??????2011??????2018??????2016??????2014??????2013##?Skewness?-0.613828?-0.526083?-0.522618?-0.449311?-0.332766?-0.199407##???????????????2017??????2010??????2015?????2012????2009?????2008##?Skewness?-0.189808?-0.174816?-0.127788?0.027235?0.07084?0.224042

峰度

峰度（Kurtosis）可以用來度量隨機(jī)變量概率分布的陡峭程度。

公式：

其中?

?是均值，?

?是標(biāo)準(zhǔn)差。

幾何意義：

峰度的取值范圍為[1,+∞)，完全服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)的峰度值為 3，峰度值越大，概率分布圖越高尖，峰度值越小，越矮胖。

例如上圖中，左圖是標(biāo)準(zhǔn)正太分布，峰度=3，右圖的峰度=4，可以看到右圖比左圖更高尖。

通常我們將峰度值減去3，也被稱為超值峰度（Excess Kurtosis），這樣正態(tài)分布的峰度值等于0，當(dāng)峰度值>0，則表示該數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為高尖，當(dāng)峰度值<0，則表示該數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布相比較為矮胖。

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

R語言風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值：ARIMA，GARCH，Delta-normal法滾動(dòng)估計(jì)VaR（Value at Risk）和回測(cè)分析股票數(shù)據(jù)

左右滑動(dòng)查看更多

01

02

03

04

每日對(duì)數(shù)收益出現(xiàn)超值峰度的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

按升序返回超值峰度。

##?????????????2012?????2014?????2013?????2015?????2007?????2010????2009##?Kurtosis?0.84289?1.073234?1.275821?1.394268?1.525069?2.055407?2.07424##??????????????2016?????2017?????2011?????2018?????2008##?Kurtosis?2.079671?2.244076?2.453822?2.802996?3.670796

2018年的峰度最接近2008年。

箱形圖

我們可以看到2008年出現(xiàn)了最極端的值。從2009年開始，除了2011年和2015年以外，其他所有值的范圍都變窄了。但是，與2017年和2018年相比，產(chǎn)生極端值的趨勢(shì)明顯改善。

密度圖

densityplot(ret_df)

2007年具有顯著的負(fù)偏。2008年的特點(diǎn)是平坦。2017年的峰值與2018年的平坦度和左偏一致。

shapiro檢驗(yàn)

shapirot(ret_df)##????????????result##?2007?5.989576e-07##?2008?5.782666e-09##?2009?1.827967e-05##?2010?3.897345e-07##?2011?5.494349e-07##?2012?1.790685e-02##?2013?8.102500e-03##?2014?1.750036e-04##?2015?5.531137e-03##?2016?1.511435e-06##?2017?3.304529e-05##?2018?1.216327e-07

正常的零假設(shè)在2007-2018年的所有年份均被拒絕。

每周對(duì)數(shù)收益率探索性分析

可以從每日對(duì)數(shù)收益率開始計(jì)算每周對(duì)數(shù)收益率。讓我們假設(shè)分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盤價(jià)。我們將每周的對(duì)數(shù)收益率定義為：

可以寫為：

因此，每周對(duì)數(shù)收益率是應(yīng)用于交易周窗口的每日對(duì)數(shù)收益率之和。

我們來看看每周的對(duì)數(shù)收益率。

該圖顯示波動(dòng)率急劇上升和下降。我們將原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)框。

head(weekly_ret_df)##???year?????????value##?1?2007?-0.0061521694##?2?2007??0.0126690596##?3?2007??0.0007523559##?4?2007?-0.0062677053##?5?2007??0.0132434177##?6?2007?-0.0057588519tail(weekly_ret_df)##?????year???????value##?622?2018??0.05028763##?623?2018?-0.04605546##?624?2018?-0.01189714##?625?2018?-0.07114867##?626?2018??0.02711928##?627?2018??0.01142764

基本統(tǒng)計(jì)摘要

dataframe_basicstats(weekly_ret_df)##??????????????????2007??????2008??????2009??????2010??????2011??????2012##?nobs????????52.000000?52.000000?53.000000?52.000000?52.000000?52.000000##?NAs??????????0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000##?Minimum?????-0.043199?-0.200298?-0.063736?-0.058755?-0.066235?-0.035829##?Maximum??????0.030143??0.106977??0.086263??0.051463??0.067788??0.035316##?1.?Quartile?-0.009638?-0.031765?-0.015911?-0.007761?-0.015485?-0.010096##?3.?Quartile??0.014808??0.012682??0.022115??0.016971??0.014309??0.011887##?Mean?????????0.001327?-0.008669??0.003823??0.002011??0.001035??0.001102##?Median???????0.004244?-0.006811??0.004633??0.004529??0.001757??0.001166##?Sum??????????0.069016?-0.450811??0.202605??0.104565??0.053810??0.057303##?SE?Mean??????0.002613??0.006164??0.004454??0.003031??0.003836??0.002133##?LCL?Mean????-0.003919?-0.021043?-0.005115?-0.004074?-0.006666?-0.003181##?UCL?Mean?????0.006573??0.003704??0.012760??0.008096??0.008736??0.005384##?Variance?????0.000355??0.001975??0.001051??0.000478??0.000765??0.000237##?Stdev????????0.018843??0.044446??0.032424??0.021856??0.027662??0.015382##?Skewness????-0.680573?-0.985740??0.121331?-0.601407?-0.076579?-0.027302##?Kurtosis????-0.085887??5.446623?-0.033398??0.357708??0.052429?-0.461228##??????????????????2013??????2014??????2015??????2016??????2017??????2018##?nobs????????52.000000?52.000000?53.000000?52.000000?52.000000?53.000000##?NAs??????????0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000??0.000000##?Minimum?????-0.022556?-0.038482?-0.059991?-0.063897?-0.015317?-0.071149##?Maximum??????0.037702??0.034224??0.037693??0.052243??0.028192??0.050288##?1.?Quartile?-0.001738?-0.006378?-0.012141?-0.007746?-0.002251?-0.011897##?3.?Quartile??0.011432??0.010244??0.009620??0.012791??0.009891??0.019857##?Mean?????????0.004651??0.001756?-0.000669??0.002421??0.004304?-0.001093##?Median???????0.006360??0.003961??0.000954??0.001947??0.004080??0.001546##?Sum??????????0.241874??0.091300?-0.035444??0.125884??0.223790?-0.057950##?SE?Mean??????0.001828??0.002151??0.002609??0.002436??0.001232??0.003592##?LCL?Mean?????0.000981?-0.002563?-0.005904?-0.002470??0.001830?-0.008302##?UCL?Mean?????0.008322??0.006075??0.004567??0.007312??0.006778??0.006115##?Variance?????0.000174??0.000241??0.000361??0.000309??0.000079??0.000684##?Stdev????????0.013185??0.015514??0.018995??0.017568??0.008886??0.026154##?Skewness????-0.035175?-0.534403?-0.494963?-0.467158??0.266281?-0.658951##?Kurtosis????-0.200282??0.282354??0.665460??2.908942?-0.124341?-0.000870

在下文中，我們對(duì)上述一些相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行了具體評(píng)論。

平均值

每周對(duì)數(shù)收益呈正平均值的年份是：

##?[1]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2016"?"2017"

所有平均值按升序排列。

##???????????2008??????2018??????2015?????2011?????2012?????2007?????2014##?Mean?-0.008669?-0.001093?-0.000669?0.001035?0.001102?0.001327?0.001756##??????????2010?????2016?????2009?????2017?????2013##?Mean?0.002011?0.002421?0.003823?0.004304?0.004651

中位數(shù)

中位數(shù)是：

##??[1]?"2007"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"?"2017"##?[11]?"2018"

所有中值按升序排列。

##?????????????2008?????2015?????2012?????2018?????2011?????2016?????2014##?Median?-0.006811?0.000954?0.001166?0.001546?0.001757?0.001947?0.003961##???????????2017?????2007?????2010?????2009????2013##?Median?0.00408?0.004244?0.004529?0.004633?0.00636

偏度

出現(xiàn)正偏的年份是：

stats(stats,?"Skewness",?0) ##?[1]?"2009"?"2017"

所有偏度按升序排列。

stats["Skewness",order(stats["Skewness",,])]##??????????????2008??????2007??????2018??????2010??????2014??????2015##?Skewness?-0.98574?-0.680573?-0.658951?-0.601407?-0.534403?-0.494963##???????????????2016??????2011??????2013??????2012?????2009?????2017##?Skewness?-0.467158?-0.076579?-0.035175?-0.027302?0.121331?0.266281

峰度

出現(xiàn)正峰度的年份是：

filter_stats(stats,?"Kurtosis",?0) ##?[1]?"2008"?"2010"?"2011"?"2014"?"2015"?"2016"

峰度值都按升序排列。

##???????????????2012??????2013??????2017??????2007??????2009?????2018##?Kurtosis?-0.461228?-0.200282?-0.124341?-0.085887?-0.033398?-0.00087##??????????????2011?????2014?????2010????2015?????2016?????2008##?Kurtosis?0.052429?0.282354?0.357708?0.66546?2.908942?5.446623

2008年也是每周峰度最高的年份。但是，在這種情況下，2017年的峰度為負(fù)，而2016年的峰度為第二。

箱形圖

密度圖

shapiro檢驗(yàn)

shapirot(weekly_df)##????????????result##?2007?0.0140590311##?2008?0.0001397267##?2009?0.8701335006##?2010?0.0927104389##?2011?0.8650874270##?2012?0.9934600084##?2013?0.4849043121##?2014?0.1123139646##?2015?0.3141519756##?2016?0.0115380989##?2017?0.9465281164##?2018?0.0475141869

零假設(shè)在2007、2008、2016年被拒絕。

QQ圖

在2008年尤其明顯地違背正態(tài)分布的情況。

交易量探索性分析

在這一部分中，本文將分析道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)（DJIA）的交易量。

獲取數(shù)據(jù)

每日量探索性分析

我們繪制每日交易量。

vol?<-?DJI[,"DJI.Volume"]plot(vol)

值得注意的是，2017年初的水平躍升，我們將在第4部分中進(jìn)行研究。我們將時(shí)間序列數(shù)據(jù)和時(shí)間軸索引轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)框。

head(dj_vol_df)##???year?????value##?1?2007?327200000##?2?2007?259060000##?3?2007?235220000##?4?2007?223500000##?5?2007?225190000##?6?2007?226570000tail(dj_vol_df)##??????year?????value##?3015?2018?900510000##?3016?2018?308420000##?3017?2018?433080000##?3018?2018?407940000##?3019?2018?336510000##?3020?2018?288830000

基本統(tǒng)計(jì)摘要

##?????????????????????2007?????????2008?????????2009?????????2010##?nobs????????2.510000e+02?2.530000e+02?2.520000e+02?2.520000e+02##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00##?Minimum?????8.640000e+07?6.693000e+07?5.267000e+07?6.840000e+07##?Maximum?????4.571500e+08?6.749200e+08?6.729500e+08?4.598900e+08##?1.?Quartile?2.063000e+08?2.132100e+08?1.961850e+08?1.633400e+08##?3.?Quartile?2.727400e+08?3.210100e+08?3.353625e+08?2.219025e+08##?Mean????????2.449575e+08?2.767164e+08?2.800537e+08?2.017934e+08##?Median??????2.350900e+08?2.569700e+08?2.443200e+08?1.905050e+08##?Sum?????????6.148432e+10?7.000924e+10?7.057354e+10?5.085193e+10##?SE?Mean?????3.842261e+06?5.965786e+06?7.289666e+06?3.950031e+06##?LCL?Mean????2.373901e+08?2.649672e+08?2.656970e+08?1.940139e+08##?UCL?Mean????2.525248e+08?2.884655e+08?2.944104e+08?2.095728e+08##?Variance????3.705505e+15?9.004422e+15?1.339109e+16?3.931891e+15##?Stdev???????6.087286e+07?9.489163e+07?1.157199e+08?6.270480e+07##?Skewness????9.422400e-01?1.203283e+00?1.037015e+00?1.452082e+00##?Kurtosis????1.482540e+00?2.064821e+00?6.584810e-01?3.214065e+00##?????????????????????2011?????????2012?????????2013?????????2014##?nobs????????2.520000e+02?2.500000e+02?2.520000e+02?2.520000e+02##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00##?Minimum?????8.410000e+06?4.771000e+07?3.364000e+07?4.287000e+07##?Maximum?????4.799800e+08?4.296100e+08?4.200800e+08?6.554500e+08##?1.?Quartile?1.458775e+08?1.107150e+08?9.488000e+07?7.283000e+07##?3.?Quartile?1.932400e+08?1.421775e+08?1.297575e+08?9.928000e+07##?Mean????????1.804133e+08?1.312606e+08?1.184434e+08?9.288516e+07##?Median??????1.671250e+08?1.251950e+08?1.109250e+08?8.144500e+07##?Sum?????????4.546415e+10?3.281515e+10?2.984773e+10?2.340706e+10##?SE?Mean?????3.897738e+06?2.796503e+06?2.809128e+06?3.282643e+06##?LCL?Mean????1.727369e+08?1.257528e+08?1.129109e+08?8.642012e+07##?UCL?Mean????1.880897e+08?1.367684e+08?1.239758e+08?9.935019e+07##?Variance????3.828475e+15?1.955108e+15?1.988583e+15?2.715488e+15##?Stdev???????6.187468e+07?4.421660e+07?4.459353e+07?5.211034e+07##?Skewness????1.878239e+00?3.454971e+00?3.551752e+00?6.619268e+00##?Kurtosis????5.631080e+00?1.852581e+01?1.900989e+01?5.856136e+01##?????????????????????2015?????????2016?????????2017?????????2018##?nobs????????2.520000e+02?2.520000e+02?2.510000e+02?2.510000e+02##?NAs?????????0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00?0.000000e+00##?Minimum?????4.035000e+07?4.589000e+07?1.186100e+08?1.559400e+08##?Maximum?????3.445600e+08?5.734700e+08?6.357400e+08?9.005100e+08##?1.?Quartile?8.775250e+07?8.224250e+07?2.695850e+08?2.819550e+08##?3.?Quartile?1.192150e+08?1.203550e+08?3.389950e+08?4.179200e+08##?Mean????????1.093957e+08?1.172089e+08?3.112396e+08?3.593710e+08##?Median??????1.021000e+08?9.410500e+07?2.996700e+08?3.414700e+08##?Sum?????????2.756772e+10?2.953664e+10?7.812114e+10?9.020213e+10##?SE?Mean?????2.433611e+06?4.331290e+06?4.376432e+06?6.984484e+06##?LCL?Mean????1.046028e+08?1.086786e+08?3.026202e+08?3.456151e+08##?UCL?Mean????1.141886e+08?1.257392e+08?3.198590e+08?3.731270e+08##?Variance????1.492461e+15?4.727538e+15?4.807442e+15?1.224454e+16##?Stdev???????3.863238e+07?6.875709e+07?6.933572e+07?1.106550e+08##?Skewness????3.420032e+00?3.046742e+00?1.478708e+00?1.363823e+00##?Kurtosis????1.612326e+01?1.122161e+01?3.848619e+00?3.277164e+00

在下文中，我們對(duì)上面顯示的一些相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行了評(píng)論。

平均值

每日交易量具有正平均值的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

所有每日交易量均值按升序排列。

##??????????2014??????2015??????2016??????2013??????2012??????2011??????2010##?Mean?92885159?109395714?117208889?118443373?131260600?180413294?201793373##???????????2007??????2008??????2009??????2017??????2018##?Mean?244957450?276716364?280053730?311239602?359371036

中位數(shù)

每日交易量中位數(shù)為正的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

所有每日成交量中值均按升序排列。

##????????????2014?????2016??????2015??????2013??????2012??????2011??????2010##?Median?81445000?94105000?102100000?110925000?125195000?167125000?190505000##?????????????2007??????2009??????2008??????2017??????2018##?Median?235090000?244320000?256970000?299670000?341470000

偏度

每日交易量出現(xiàn)正偏的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

每日交易量偏度值均按升序排列。

##?????????????2007?????2009?????2008?????2018?????2010?????2017?????2011##?Skewness?0.94224?1.037015?1.203283?1.363823?1.452082?1.478708?1.878239##??????????????2016?????2015?????2012?????2013?????2014##?Skewness?3.046742?3.420032?3.454971?3.551752?6.619268

峰度

有正峰度的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

按升序排列。

##??????????????2009????2007?????2008?????2010?????2018?????2017????2011##?Kurtosis?0.658481?1.48254?2.064821?3.214065?3.277164?3.848619?5.63108##??????????????2016?????2015?????2012?????2013?????2014##?Kurtosis?11.22161?16.12326?18.52581?19.00989?58.56136

箱形圖

從2010年開始交易量開始下降，2017年出現(xiàn)了顯著增長。2018年的交易量甚至超過了2017年和其他年份。

密度圖

shapiro檢驗(yàn)

##????????????result##?2007?6.608332e-09##?2008?3.555102e-10##?2009?1.023147e-10##?2010?9.890576e-13##?2011?2.681476e-16##?2012?1.866544e-20##?2013?6.906596e-21##?2014?5.304227e-27##?2015?2.739912e-21##?2016?6.640215e-23##?2017?4.543843e-12##?2018?9.288371e-11

正態(tài)分布的零假設(shè)被拒絕。

QQ圖

QQplots直觀地確認(rèn)了每日交易量分布的非正態(tài)情況。

每日交易量對(duì)數(shù)比率探索性分析

與對(duì)數(shù)收益類似，我們可以將交易量對(duì)數(shù)比率定義為

vt：= ln(Vt/Vt?1)
我們可以通過PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns對(duì)其進(jìn)行計(jì)算并將其繪制出來。

plot(vol_log_ratio)

將交易量對(duì)數(shù)比率時(shí)間序列數(shù)據(jù)和時(shí)間軸索引映射到數(shù)據(jù)框。

head(dvol_df)##???year????????value##?1?2007?-0.233511910##?2?2007?-0.096538449##?3?2007?-0.051109832##?4?2007??0.007533076##?5?2007??0.006109458##?6?2007??0.144221282tail(vol_df)##??????year???????value##?3014?2018??0.44563907##?3015?2018?-1.07149878##?3016?2018??0.33945998##?3017?2018?-0.05980236##?3018?2018?-0.19249224##?3019?2018?-0.15278959

基本統(tǒng)計(jì)摘要

##???????????????????2007???????2008???????2009???????2010???????2011##?nobs????????250.000000?253.000000?252.000000?252.000000?252.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000##?Minimum??????-1.606192??-1.122526??-1.071225??-1.050181??-2.301514##?Maximum???????0.775961???0.724762???0.881352???1.041216???2.441882##?1.?Quartile??-0.123124??-0.128815??-0.162191??-0.170486??-0.157758##?3.?Quartile???0.130056???0.145512???0.169233???0.179903???0.137108##?Mean?????????-0.002685???0.001203??-0.001973??-0.001550???0.000140##?Median???????-0.010972???0.002222??-0.031748??-0.004217??-0.012839##?Sum??????????-0.671142???0.304462??-0.497073??-0.390677???0.035162##?SE?Mean???????0.016984???0.016196???0.017618???0.019318???0.026038##?LCL?Mean?????-0.036135??-0.030693??-0.036670??-0.039596??-0.051141##?UCL?Mean??????0.030766???0.033100???0.032725???0.036495???0.051420##?Variance??????0.072112???0.066364???0.078219???0.094041???0.170850##?Stdev?????????0.268536???0.257612???0.279677???0.306661???0.413341##?Skewness?????-0.802037??-0.632586???0.066535??-0.150523???0.407226##?Kurtosis??????5.345212???2.616615???1.500979???1.353797??14.554642##???????????????????2012???????2013???????2014???????2015???????2016##?nobs????????250.000000?252.000000?252.000000?252.000000?252.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000???0.000000???0.000000???0.000000##?Minimum??????-2.158960??-1.386215??-2.110572??-1.326016??-1.336471##?Maximum???????1.292956???1.245202???2.008667???1.130289???1.319713##?1.?Quartile??-0.152899??-0.145444??-0.144280??-0.143969??-0.134011##?3.?Quartile???0.144257???0.149787???0.134198???0.150003???0.141287##?Mean??????????0.001642??-0.002442???0.000200???0.000488???0.004228##?Median???????-0.000010??-0.004922???0.013460???0.004112??-0.002044##?Sum???????????0.410521??-0.615419???0.050506???0.123080???1.065480##?SE?Mean???????0.021293???0.019799???0.023514???0.019010???0.019089##?LCL?Mean?????-0.040295??-0.041435??-0.046110??-0.036952??-0.033367##?UCL?Mean??????0.043579???0.036551???0.046510???0.037929???0.041823##?Variance??????0.113345???0.098784???0.139334???0.091071???0.091826##?Stdev?????????0.336667???0.314299???0.373274???0.301780???0.303028##?Skewness?????-0.878227??-0.297951??-0.209417??-0.285918???0.083826##?Kurtosis??????8.115847???4.681120???9.850061???4.754926???4.647785##???????????????????2017???????2018##?nobs????????251.000000?251.000000##?NAs???????????0.000000???0.000000##?Minimum??????-0.817978??-1.071499##?Maximum???????0.915599???0.926101##?1.?Quartile??-0.112190??-0.119086##?3.?Quartile???0.110989???0.112424##?Mean?????????-0.000017???0.000257##?Median???????-0.006322???0.003987##?Sum??????????-0.004238???0.064605##?SE?Mean???????0.013446???0.014180##?LCL?Mean?????-0.026500??-0.027671##?UCL?Mean??????0.026466???0.028185##?Variance??????0.045383???0.050471##?Stdev?????????0.213032???0.224658##?Skewness??????0.088511??-0.281007##?Kurtosis??????3.411036???4.335748

在下文中，我們對(duì)一些相關(guān)的上述指標(biāo)進(jìn)行了具體評(píng)論。

平均值

每日交易量對(duì)數(shù)比率具有正平均值的年份是：

##?[1]?"2008"?"2011"?"2012"?"2014"?"2015"?"2016"?"2018"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

##???????????2007??????2013??????2009?????2010?????2017????2011??2014##?Mean?-0.002685?-0.002442?-0.001973?-0.00155?-1.7e-05?0.00014?2e-04##??????????2018?????2015?????2008?????2012?????2016##?Mean?0.000257?0.000488?0.001203?0.001642?0.004228

中位數(shù)

每日交易量對(duì)數(shù)比率具有正中位數(shù)的年份是：

##?[1]?"2008"?"2014"?"2015"?"2018"

道瓊斯所有每日成交量比率的中位數(shù)均按升序排列。

##?????????????2009??????2011??????2007??????2017??????2013??????2010##?Median?-0.031748?-0.012839?-0.010972?-0.006322?-0.004922?-0.004217##?????????????2016???2012?????2008?????2018?????2015????2014##?Median?-0.002044?-1e-05?0.002222?0.003987?0.004112?0.01346

偏度

每日成交量比率具有正偏的年份是：

##?[1]?"2009"?"2011"?"2016"?"2017"

所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。

##???????????????2012??????2007??????2008??????2013??????2015??????2018##?Skewness?-0.878227?-0.802037?-0.632586?-0.297951?-0.285918?-0.281007##???????????????2014??????2010?????2009?????2016?????2017?????2011##?Skewness?-0.209417?-0.150523?0.066535?0.083826?0.088511?0.407226

峰度

有正峰度的年份是：

##??[1]?"2007"?"2008"?"2009"?"2010"?"2011"?"2012"?"2013"?"2014"?"2015"?"2016"##?[11]?"2017"?"2018"

均按升序排列。

##??????????????2010?????2009?????2008?????2017?????2018?????2016????2013##?Kurtosis?1.353797?1.500979?2.616615?3.411036?4.335748?4.647785?4.68112##??????????????2015?????2007?????2012?????2014?????2011##?Kurtosis?4.754926?5.345212?8.115847?9.850061?14.55464

箱形圖

可以在2011、2014和2016年發(fā)現(xiàn)正的極端值。在2007、2011、2012、2014年可以發(fā)現(xiàn)負(fù)的極端值。

密度圖

shapiro檢驗(yàn)

##????????????result##?2007?3.695053e-09##?2008?6.160136e-07##?2009?2.083475e-04##?2010?1.500060e-03##?2011?3.434415e-18##?2012?8.417627e-12##?2013?1.165184e-10##?2014?1.954662e-16##?2015?5.261037e-11##?2016?7.144940e-11##?2017?1.551041e-08##?2018?3.069196e-09

基于報(bào)告的p值，我們可以拒絕所有正態(tài)分布的零假設(shè)。

QQ圖

在所有報(bào)告的年份都可以發(fā)現(xiàn)偏離正態(tài)狀態(tài)。

對(duì)數(shù)收益率GARCH模型

我將為工業(yè)平均指數(shù)（DJIA）的每日對(duì)數(shù)收益率建立一個(gè)ARMA-GARCH模型。

這是工業(yè)平均指數(shù)每日對(duì)數(shù)收益的圖。

plot(ret)

離群值檢測(cè)

Performance Analytics程序包中的Return.clean函數(shù)能夠清除異常值。在下面，我們將原始時(shí)間序列與調(diào)整離群值后的進(jìn)行比較。

clean(ret,?"boudt")

作為對(duì)波動(dòng)率評(píng)估的更為保守的方法，本文將以原始時(shí)間序列進(jìn)行分析。

相關(guān)圖

以下是自相關(guān)和偏相關(guān)圖。

acf(ret)

pacf(dj_ret)

上面的相關(guān)圖表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。將在本分析的該范圍內(nèi)對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。

單位根檢驗(yàn)

我們運(yùn)行Augmented Dickey-Fuller檢驗(yàn)。

##?##?###############################################?##?#?Augmented?Dickey-Fuller?Test?Unit?Root?Test?#?##?###############################################?##?##?Test?regression?none?##?##?##?Call:##?lm(formula?=?z.diff?~?z.lag.1?-?1?+?z.diff.lag)##?##?Residuals:##???????Min????????1Q????Median????????3Q???????Max?##?-0.081477?-0.004141??0.000762??0.005426??0.098777?##?##?Coefficients:##????????????Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)????##?z.lag.1????-1.16233????0.02699?-43.058??<?2e-16?***##?z.diff.lag??0.06325????0.01826???3.464?0.000539?***##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1##?##?Residual?standard?error:?0.01157?on?2988?degrees?of?freedom##?Multiple?R-squared:??0.5484,?Adjusted?R-squared:??0.5481?##?F-statistic:??1814?on?2?and?2988?DF,??p-value:?<?2.2e-16##?##?##?Value?of?test-statistic?is:?-43.0578?##?##?Critical?values?for?test?statistics:?##???????1pct??5pct?10pct##?tau1?-2.58?-1.95?-1.62

基于報(bào)告的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與臨界值的比較，我們拒絕單位根存在的零假設(shè)。

ARMA模型

現(xiàn)在，我們確定時(shí)間序列的ARMA結(jié)構(gòu)，以便對(duì)結(jié)果殘差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)。ACF和PACF系數(shù)拖尾表明存在ARMA（2,2）。我們利用auto.arima（）函數(shù)開始構(gòu)建。

##?Series:?ret?##?ARIMA(2,0,4)?with?zero?mean?##?##?Coefficients:##??????????ar1??????ar2??????ma1?????ma2??????ma3??????ma4##???????0.4250??-0.8784??-0.5202??0.8705??-0.0335??-0.0769##?s.e.??0.0376???0.0628???0.0412??0.0672???0.0246???0.0203##?##?sigma^2?estimated?as?0.0001322:??log?likelihood=9201.19##?AIC=-18388.38???AICc=-18388.34???BIC=-18346.29##?##?Training?set?error?measures:##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE##?Training?set?0.0002416895?0.01148496?0.007505056?NaN??Inf?0.6687536##??????????????????????ACF1##?Training?set?-0.002537238

建議使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上并不顯著，進(jìn)一步通過以下方法驗(yàn)證：

##?z?test?of?coefficients:##?##??????Estimate?Std.?Error??z?value??Pr(>|z|)????##?ar1??0.425015???0.037610??11.3007?<?2.2e-16?***##?ar2?-0.878356???0.062839?-13.9779?<?2.2e-16?***##?ma1?-0.520173???0.041217?-12.6204?<?2.2e-16?***##?ma2??0.870457???0.067211??12.9511?<?2.2e-16?***##?ma3?-0.033527???0.024641??-1.3606?0.1736335????##?ma4?-0.076882???0.020273??-3.7923?0.0001492?***##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

因此，我們將MA階q <= 2作為約束。

##?Series:?dj_ret?##?ARIMA(2,0,2)?with?zero?mean?##?##?Coefficients:##???????????ar1??????ar2?????ma1?????ma2##???????-0.5143??-0.4364??0.4212??0.3441##?s.e.???0.1461???0.1439??0.1512??0.1532##?##?sigma^2?estimated?as?0.0001325:??log?likelihood=9196.33##?AIC=-18382.66???AICc=-18382.64???BIC=-18352.6##?##?Training?set?error?measures:##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE##?Training?set?0.0002287171?0.01150361?0.007501925?Inf??Inf?0.6684746##??????????????????????ACF1##?Training?set?-0.002414944

現(xiàn)在，所有系數(shù)都具有統(tǒng)計(jì)意義。

##?z?test?of?coefficients:##?##?????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????##?ar1?-0.51428????0.14613?-3.5192?0.0004328?***##?ar2?-0.43640????0.14392?-3.0322?0.0024276?**?##?ma1??0.42116????0.15121??2.7853?0.0053485?**?##?ma2??0.34414????0.15323??2.2458?0.0247139?*??##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）進(jìn)行的進(jìn)一步驗(yàn)證得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。這是結(jié)果。

##?Series:?dj_ret?##?ARIMA(2,0,1)?with?zero?mean?##?##?Coefficients:##???????????ar1??????ar2?????ma1##???????-0.4619??-0.1020??0.3646##?s.e.???0.1439???0.0204??0.1438##?##?sigma^2?estimated?as?0.0001327:??log?likelihood=9194.1##?AIC=-18380.2???AICc=-18380.19???BIC=-18356.15##?##?Training?set?error?measures:##????????????????????????ME???????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE##?Training?set?0.0002370597?0.01151213?0.007522059?Inf??Inf?0.6702687##??????????????????????ACF1##?Training?set?0.0009366271coeftest(auto_model3)##?##?z?test?of?coefficients:##?##??????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????##?ar1?-0.461916???0.143880?-3.2104??0.001325?**?##?ar2?-0.102012???0.020377?-5.0062?5.552e-07?***##?ma1??0.364628???0.143818??2.5353??0.011234?*??##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

##?ARIMA(1,0,2)?with?zero?mean?##?##?Coefficients:##???????????ar1?????ma1??????ma2##???????-0.4207??0.3259??-0.0954##?s.e.???0.1488??0.1481???0.0198##?##?sigma^2?estimated?as?0.0001328:??log?likelihood=9193.01##?AIC=-18378.02???AICc=-18378???BIC=-18353.96##?##?Training?set?error?measures:##????????????????????????ME??????RMSE?????????MAE?MPE?MAPE??????MASE##?Training?set?0.0002387398?0.0115163?0.007522913?Inf??Inf?0.6703448##??????????????????????ACF1##?Training?set?-0.001958194coeftest(auto_model4)##?##?z?test?of?coefficients:##?##??????Estimate?Std.?Error?z?value??Pr(>|z|)????##?ar1?-0.420678???0.148818?-2.8268??0.004702?**?##?ma1??0.325918???0.148115??2.2004??0.027776?*??##?ma2?-0.095407???0.019848?-4.8070?1.532e-06?***##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。此外，我們使用TSA軟件包報(bào)告中的eacf（）函數(shù)。

##?AR/MA##???0?1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?13##?0?x?x?x?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??x?##?1?x?x?o?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?##?2?x?o?o?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?##?3?x?o?x?o?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?##?4?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o?##?5?x?x?x?x?x?o?o?x?o?o?o??o??o??o?##?6?x?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o??o??o??o?##?7?x?x?x?x?x?o?o?o?o?o?o??o??o??o

以“ O”為頂點(diǎn)的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}內(nèi)，它表示一組潛在候選對(duì)象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已經(jīng)過驗(yàn)證。ARMA（2,2）已經(jīng)是候選模型。讓我們驗(yàn)證ARMA（1,3）。

##?Call:##?##?Coefficients:##???????????ar1?????ma1??????ma2?????ma3##???????-0.2057??0.1106??-0.0681??0.0338##?s.e.???0.2012??0.2005???0.0263??0.0215##?##?sigma^2?estimated?as?0.0001325:??log?likelihood?=?9193.97,??aic?=?-18379.94coeftest(arima_model5)##?##?z?test?of?coefficients:##?##??????Estimate?Std.?Error?z?value?Pr(>|z|)???##?ar1?-0.205742???0.201180?-1.0227?0.306461???##?ma1??0.110599???0.200475??0.5517?0.581167???##?ma2?-0.068124???0.026321?-2.5882?0.009647?**##?ma3??0.033832???0.021495??1.5739?0.115501???##?---##?Signif.?codes:??0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1

只有一個(gè)系數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。

結(jié)論是，我們選擇ARMA（2,2）作為均值模型。現(xiàn)在，我們可以繼續(xù)進(jìn)行ARCH效果檢驗(yàn)。

ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

現(xiàn)在，我們可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜌埐钌鲜欠翊嬖贏RCH效應(yīng)。如果ARCH效應(yīng)對(duì)于我們的時(shí)間序列的殘差在統(tǒng)計(jì)上顯著，則需要GARCH模型。

##??ARCH?LM-test;?Null?hypothesis:?no?ARCH?effects##?##?data:??model_residuals?-?mean(model_residuals)##?Chi-squared?=?986.82,?df?=?12,?p-value?<?2.2e-16

基于報(bào)告的p值，我們拒絕沒有ARCH效應(yīng)的原假設(shè)。

讓我們看一下殘差相關(guān)圖。

條件波動(dòng)率

條件均值和方差定義為：

μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]

條件波動(dòng)率可以計(jì)算為條件方差的平方根。

eGARCH模型

將sGARCH作為方差模型的嘗試未獲得具有統(tǒng)計(jì)顯著性系數(shù)的結(jié)果。而指數(shù)GARCH（eGARCH）方差模型能夠捕獲波動(dòng)率內(nèi)的不對(duì)稱性。要檢查DJIA對(duì)數(shù)收益率內(nèi)的不對(duì)稱性，顯示匯總統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和密度圖。

##?????????????DAdjusted##?nobs?????????3019.000000##?NAs?????????????0.000000##?Minimum????????-0.082005##?Maximum?????????0.105083##?1.?Quartile????-0.003991##?3.?Quartile?????0.005232##?Mean????????????0.000207##?Median??????????0.000551##?Sum?????????????0.625943##?SE?Mean?????????0.000211##?LCL?Mean???????-0.000206##?UCL?Mean????????0.000621##?Variance????????0.000134##?Stdev???????????0.011593##?Skewness???????-0.141370##?Kurtosis???????10.200492

負(fù)偏度值確認(rèn)分布內(nèi)不對(duì)稱性的存在。

這給出了密度圖。

我們繼續(xù)提出eGARCH模型作為方差模型（針對(duì)條件方差）。更準(zhǔn)確地說，我們將使用ARMA（2,2）作為均值模型，指數(shù)GARCH（1,1）作為方差模型對(duì)ARMA-GARCH進(jìn)行建模。

在此之前，我們進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)ARMA（0,0）在這種情況下不令人滿意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）

##?##?*---------------------------------*##?*??????????GARCH?Model?Fit????????*##?*---------------------------------*##?##?Conditional?Variance?Dynamics????##?-----------------------------------##?GARCH?Model??:?eGARCH(1,1)##?Mean?Model???:?ARFIMA(0,0,0)##?Distribution?:?sstd?##?##?Optimal?Parameters##?------------------------------------##?????????Estimate??Std.?Error??t?value?Pr(>|t|)##?mu??????0.000303????0.000117???2.5933?0.009506##?omega??-0.291302????0.016580?-17.5699?0.000000##?alpha1?-0.174456????0.013913?-12.5387?0.000000##?beta1???0.969255????0.001770?547.6539?0.000000##?gamma1??0.188918????0.021771???8.6773?0.000000##?skew????0.870191????0.021763??39.9848?0.000000##?shape???6.118380????0.750114???8.1566?0.000000##?##?Robust?Standard?Errors:##?????????Estimate??Std.?Error??t?value?Pr(>|t|)##?mu??????0.000303????0.000130???2.3253?0.020055##?omega??-0.291302????0.014819?-19.6569?0.000000##?alpha1?-0.174456????0.016852?-10.3524?0.000000##?beta1???0.969255????0.001629?595.0143?0.000000##?gamma1??0.188918????0.031453???6.0063?0.000000##?skew????0.870191????0.022733??38.2783?0.000000##?shape???6.118380????0.834724???7.3298?0.000000##?##?LogLikelihood?:?10138.63?##?##?Information?Criteria##?------------------------------------##?????????????????????##?Akaike???????-6.7119##?Bayes????????-6.6980##?Shibata??????-6.7119##?Hannan-Quinn?-6.7069##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Residuals##?------------------------------------##?????????????????????????statistic?p-value##?Lag[1]??????????????????????5.475?0.01929##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]?????6.011?0.02185##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]?????7.712?0.03472##?d.o.f=0##?H0?:?No?serial?correlation##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Squared?Residuals##?------------------------------------##?????????????????????????statistic?p-value##?Lag[1]??????????????????????1.342??0.2467##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]?????2.325??0.5438##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]?????2.971??0.7638##?d.o.f=2##?##?Weighted?ARCH?LM?Tests##?------------------------------------##?????????????Statistic?Shape?Scale?P-Value##?ARCH?Lag[3]????0.3229?0.500?2.000??0.5699##?ARCH?Lag[5]????1.4809?1.440?1.667??0.5973##?ARCH?Lag[7]????1.6994?2.315?1.543??0.7806##?##?Nyblom?stability?test##?------------------------------------##?Joint?Statistic:??4.0468##?Individual?Statistics:?????????????##?mu?????0.2156##?omega??1.0830##?alpha1?0.5748##?beta1??0.8663##?gamma1?0.3994##?skew???0.1044##?shape??0.4940##?##?Asymptotic?Critical?Values?(10%?5%?1%)##?Joint?Statistic:??????????1.69?1.9?2.35##?Individual?Statistic:?????0.35?0.47?0.75##?##?Sign?Bias?Test##?------------------------------------##????????????????????t-value????prob?sig##?Sign?Bias????????????1.183?0.23680????##?Negative?Sign?Bias???2.180?0.02932??**##?Positive?Sign?Bias???1.554?0.12022????##?Joint?Effect?????????8.498?0.03677??**##?##?##?Adjusted?Pearson?Goodness-of-Fit?Test:##?------------------------------------##???group?statistic?p-value(g-1)##?1????20?????37.24??????0.00741##?2????30?????42.92??????0.04633##?3????40?????52.86??????0.06831##?4????50?????65.55??????0.05714##?##?##?Elapsed?time?:?0.6527421

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。但是，根據(jù)以上報(bào)告的p值的標(biāo)準(zhǔn)化殘差加權(quán)Ljung-Box檢驗(yàn)，我們確認(rèn)該模型無法捕獲所有ARCH效果（我們拒絕了殘差內(nèi)無相關(guān)性的零假設(shè)） ）。

作為結(jié)論，我們通過在下面所示的GARCH擬合中指定ARMA（2,2）作為均值模型來繼續(xù)進(jìn)行。

ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）

##?##?*---------------------------------*##?*??????????GARCH?Model?Fit????????*##?*---------------------------------*##?##?Conditional?Variance?Dynamics????##?-----------------------------------##?GARCH?Model??:?eGARCH(1,1)##?Mean?Model???:?ARFIMA(2,0,2)##?Distribution?:?sstd?##?##?Optimal?Parameters##?------------------------------------##?????????Estimate??Std.?Error????t?value?Pr(>|t|)##?ar1?????-0.47642????0.026115???-18.2433????????0##?ar2?????-0.57465????0.052469???-10.9523????????0##?ma1??????0.42945????0.025846????16.6157????????0##?ma2??????0.56258????0.054060????10.4066????????0##?omega???-0.31340????0.003497???-89.6286????????0##?alpha1??-0.17372????0.011642???-14.9222????????0##?beta1????0.96598????0.000027?35240.1590????????0##?gamma1???0.18937????0.011893????15.9222????????0##?skew?????0.84959????0.020063????42.3469????????0##?shape????5.99161????0.701313?????8.5434????????0##?##?Robust?Standard?Errors:##?????????Estimate??Std.?Error????t?value?Pr(>|t|)##?ar1?????-0.47642????0.007708???-61.8064????????0##?ar2?????-0.57465????0.018561???-30.9608????????0##?ma1??????0.42945????0.007927????54.1760????????0##?ma2??????0.56258????0.017799????31.6074????????0##?omega???-0.31340????0.003263???-96.0543????????0##?alpha1??-0.17372????0.012630???-13.7547????????0##?beta1????0.96598????0.000036?26838.0412????????0##?gamma1???0.18937????0.013003????14.5631????????0##?skew?????0.84959????0.020089????42.2911????????0##?shape????5.99161????0.707324?????8.4708????????0##?##?LogLikelihood?:?10140.27?##?##?Information?Criteria##?------------------------------------##?????????????????????##?Akaike???????-6.7110##?Bayes????????-6.6911##?Shibata??????-6.7110##?Hannan-Quinn?-6.7039##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Residuals##?------------------------------------##??????????????????????????statistic?p-value##?Lag[1]?????????????????????0.03028??0.8619##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][11]???5.69916??0.6822##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][19]??12.14955??0.1782##?d.o.f=4##?H0?:?No?serial?correlation##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Squared?Residuals##?------------------------------------##?????????????????????????statistic?p-value##?Lag[1]??????????????????????1.666??0.1967##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]?????2.815??0.4418##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]?????3.457??0.6818##?d.o.f=2##?##?Weighted?ARCH?LM?Tests##?------------------------------------##?????????????Statistic?Shape?Scale?P-Value##?ARCH?Lag[3]????0.1796?0.500?2.000??0.6717##?ARCH?Lag[5]????1.5392?1.440?1.667??0.5821##?ARCH?Lag[7]????1.6381?2.315?1.543??0.7933##?##?Nyblom?stability?test##?------------------------------------##?Joint?Statistic:??4.4743##?Individual?Statistics:??????????????##?ar1????0.07045##?ar2????0.37070##?ma1????0.07702##?ma2????0.39283##?omega??1.00123##?alpha1?0.49520##?beta1??0.79702##?gamma1?0.51601##?skew???0.07163##?shape??0.55625##?##?Asymptotic?Critical?Values?(10%?5%?1%)##?Joint?Statistic:??????????2.29?2.54?3.05##?Individual?Statistic:?????0.35?0.47?0.75##?##?Sign?Bias?Test##?------------------------------------##????????????????????t-value????prob?sig##?Sign?Bias???????????0.4723?0.63677????##?Negative?Sign?Bias??1.7969?0.07246???*##?Positive?Sign?Bias??2.0114?0.04438??**##?Joint?Effect????????7.7269?0.05201???*##?##?##?Adjusted?Pearson?Goodness-of-Fit?Test:##?------------------------------------##???group?statistic?p-value(g-1)##?1????20?????46.18????0.0004673##?2????30?????47.73????0.0156837##?3????40?????67.07????0.0034331##?4????50?????65.51????0.0574582##?##?##?Elapsed?time?:?0.93679

所有系數(shù)均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。在標(biāo)準(zhǔn)化殘差或標(biāo)準(zhǔn)化平方殘差內(nèi)未發(fā)現(xiàn)相關(guān)性。模型正確捕獲所有ARCH效果。然而：

*對(duì)于某些模型參數(shù)，Nyblom穩(wěn)定性檢驗(yàn)無效假設(shè)認(rèn)為模型參數(shù)隨時(shí)間是恒定的

*正偏差為零的假設(shè)在5％的顯著性水平上被拒絕；這種檢驗(yàn)著重于正面沖擊的影響

*拒絕了標(biāo)準(zhǔn)化殘差的經(jīng)驗(yàn)和理論分布相同的Pearson擬合優(yōu)度檢驗(yàn)原假設(shè)

注意：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）擬合還提供統(tǒng)計(jì)上顯著的系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)化殘差內(nèi)沒有相關(guān)性，標(biāo)準(zhǔn)化平方殘差內(nèi)沒有相關(guān)性，并且正確捕獲了所有ARCH效應(yīng)。但是，偏差檢驗(yàn)在5％時(shí)不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人滿意。

進(jìn)一步顯示診斷圖。

我們用平均模型擬合（紅線）和條件波動(dòng)率（藍(lán)線）顯示了原始的對(duì)數(shù)收益時(shí)間序列。

p?<-?addSeries(mean_model_fit,?col?=?'red',?on?=?1) p?<-?addSeries(cond_volatility,?col?=?'blue',?on?=?1) p

模型方程式

結(jié)合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我們可以：

yt ? ?1yt?1 ? ?2yt?2 = ?0 + ut + θ1ut?1 +θ2ut-2ut= σt?t，?t = N（0,1）ln?（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αj?t?j2 +γ （?t?j–E | ?t?j |））+ ∑i =1pβiln（σt?12）

使用模型結(jié)果系數(shù)，結(jié)果如下。

yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σt?t，?t = N（0,1）ln?（σt2）= -0.313 -0.174?t-12 +0.189（ ?t?1–E | ?t?1 |））+ 0.966 ln（σt?12）

波動(dòng)率分析

這是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的條件波動(dòng)圖。

plot(cond_volatility)

顯示了年條件波動(dòng)率的線線圖。

pl?<-?lapply(2007:2018,?function(x)?{?plot(cond_volatility[as.character(x)]) pl

顯示了按年列出的條件波動(dòng)率箱圖。

2008年之后，日波動(dòng)率基本趨于下降。在2017年，波動(dòng)率低于其他任何年。不同的是，與2017年相比，我們?cè)?018年的波動(dòng)性顯著增加。

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本文選自《R語言股票市場(chǎng)指數(shù)：ARMA-GARCH模型和對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)探索性分析》。

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R語言股票市場(chǎng)指數(shù)：ARMA-GARCH模型和對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)探索性分析
R語言多元Copula GARCH 模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)
R語言使用多元AR-GARCH模型衡量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)
R語言中的時(shí)間序列分析模型：ARIMA-ARCH / GARCH模型分析股票價(jià)格
R語言用Garch模型和回歸模型對(duì)股票價(jià)格分析
GARCH（1,1），MA以及歷史模擬法的VaR比較
matlab估計(jì)arma garch 條件均值和方差模型