鋼琴結(jié)構(gòu)及其振動(dòng)發(fā)聲機(jī)理分析4-3琴弦的振動(dòng)

文/汪建新（內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院）

來(lái)源/ 內(nèi)蒙古科技大學(xué)學(xué)報(bào)?

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??3琴弦的振動(dòng)

琴弦振動(dòng)的意義在于給音板提供一個(gè)持續(xù)的外力激勵(lì)，使音板產(chǎn)生振動(dòng)而發(fā)聲。若把琴弦看做彈性柱體，則在受到脈沖（力或位移）激勵(lì)后，所有的振型都將被同時(shí)激發(fā)，振動(dòng)過(guò)程中不只存在橫向振動(dòng)，還存在縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，實(shí)際中，琴弦通常被簡(jiǎn)化成一維模型，且不考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

從振動(dòng)學(xué)角度來(lái)看，單根鋼琴弦在演奏時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)類型有兩種：強(qiáng)迫振動(dòng)和自由振動(dòng)。從弦槌接觸琴弦開(kāi)始到弦槌完全脫離琴弦，這一階段琴弦做強(qiáng)迫振動(dòng)，之后，琴弦進(jìn)人由初始條件引起的自由振動(dòng)狀態(tài)（初始條件即為弦槌脫離琴弦時(shí)琴弦的狀態(tài)，包括位移和速度），求解弦振動(dòng)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上已無(wú)障礙。

琴弦的振動(dòng)響應(yīng)，取決于其振動(dòng)的初始條件，在強(qiáng)迫振動(dòng)階段，弦槌對(duì)琴弦產(chǎn)生兩種激勵(lì)：橫向位移激勵(lì)和由于琴弦縱向伸長(zhǎng)而與弦槌產(chǎn)生的摩擦力激勵(lì)。前者在激勵(lì)橫向振動(dòng)時(shí)還激勵(lì)縱向振動(dòng)，而后者主要激勵(lì)弦的縱向振動(dòng)，實(shí)際演奏中，還存在琴弦之間的耦合振動(dòng)，由于影響較小，一般不予考慮。

?3．1擊弦過(guò)程中琴弦的受力分析

如圖4所示為擊弦過(guò)程中琴弦的力學(xué)模型。為簡(jiǎn)單而又說(shuō)明問(wèn)題，假設(shè)弦長(zhǎng)為2a，橫截面積為A，彈性模量為E，打擊點(diǎn)在弦的中點(diǎn)，琴弦張力為T(mén)，不是橫向位移h的函數(shù)，忽略弦的質(zhì)量。

根據(jù)材料力學(xué)，琴弦橫向位移方時(shí)，張力T為：T=EA（b-a）/a，而斜邊長(zhǎng)b符合：b2?+h2?，sinα：h/b；任意位置時(shí)，打擊力F、張力T構(gòu)成平衡力系，滿足：F = 2T sinα。將a，T，h代入后得：

設(shè)弦槌動(dòng)能為W，則

由此可求得打擊點(diǎn)處琴弦的最大位移H?。進(jìn)一步可得琴弦張力隨橫向位移h的變化規(guī)律為：

?實(shí)際中，琴弦的響應(yīng)不僅與h有關(guān)，還與h（到達(dá)H）所用的時(shí)間有關(guān)。要得到T（t），需解出H（t）。為此，可建立弦槌的振動(dòng)方程（有阻尼非線性擺動(dòng)振動(dòng)方程），解出打擊點(diǎn)處橫向位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，即H（t）。具體過(guò)程比較繁瑣，不在此詳述。為說(shuō)明問(wèn)題，本文假設(shè)H（t）為t的線性函數(shù)，由此可得T（t）隨時(shí)間的變化規(guī)律，如圖5所示，對(duì)琴弦來(lái)說(shuō)，T（t）可認(rèn)為是一個(gè)時(shí)間脈沖函數(shù)，其單邊頻譜如圖6所示，ω為頻率軸。作用時(shí)間越短，能量在頻率軸上分布得就越寬；作用時(shí)間越長(zhǎng)，能量分布得就越窄。

圖4? 擊弦過(guò)程琴弦的力學(xué)模型Fig. 4? The mechanical model of piano strings during striking process

圖5? 擊弦階段張力隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig. 5?? The curve of piano strung tension variation with time in hammer stage?

?圖6? 琴弦張力脈沖的頻譜Fig. 6?? Spectrum distribution of piano string tension pulse?

?3．2琴弦的橫向振動(dòng)

琴弦的橫向振動(dòng)，是振動(dòng)位移方向與弦的長(zhǎng)度方向相垂直的振動(dòng)。橫振動(dòng)是弦振動(dòng)類型中的主導(dǎo)類型，弦樂(lè)器的工作過(guò)程主要是借助這種振動(dòng)來(lái)完成，其基本聲學(xué)特征也都主要取決于弦在橫向振動(dòng)中所具有的特性，所以，這種振動(dòng)類型是所有弦樂(lè)器賴以工作的基礎(chǔ)，是希望存在并應(yīng)予以加強(qiáng)的一種振動(dòng)類型。如圖7所示為琴弦前四階橫向振動(dòng)的主振型，實(shí)際中以一階振動(dòng)為主。

圖7? 琴弦前四階橫向振動(dòng)主振型Fig. 7?? The previous four main transversal vibration modes Of piano strings??

3．3琴弦的縱向振動(dòng)

琴弦的縱向振動(dòng)，是琴弦橫截面在軸線方向上的位移振動(dòng)。該振動(dòng)會(huì)在琴弦內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力縱波，產(chǎn)生的力將通過(guò)碼橋傳到音板上，對(duì)音板振動(dòng)產(chǎn)生影響?？v向振動(dòng)是不希望的，是因激發(fā)手段所造成的、而又無(wú)法避免的附帶結(jié)果。

（1）伸縮引起的縱振動(dòng)。琴弦可認(rèn)為是1根彈簧，工作時(shí)已施加較大預(yù)緊力。在橫向振動(dòng)中由于自身的慣性力和彈性力作用會(huì)伸長(zhǎng)和縮短，每1截面都在其平衡位置附近做縱向振動(dòng)。在橫振動(dòng)的1個(gè)周期內(nèi)這種振動(dòng)完成了2次，所以，這種縱振動(dòng)的頻率等于琴弦橫振動(dòng)基頻的2倍。這種縱振動(dòng)是一種誘發(fā)性的振動(dòng)，它因橫振動(dòng)的產(chǎn)生而產(chǎn)生，也因橫振動(dòng)的存在而存在，直至發(fā)音終了。由于這種縱振動(dòng)的頻率能與琴弦的基頻嚴(yán)格地保持諧頻關(guān)系，它的存在將有助于鋼琴音色的改善，所以，它是一種受歡迎的振動(dòng)。

（2）摩擦引起的縱振動(dòng)。弦槌擊弦時(shí)要與琴弦發(fā)生摩擦。當(dāng)弦槌在擊弦點(diǎn)使琴弦產(chǎn)生橫向位移時(shí)，琴弦會(huì)伸長(zhǎng)，在弦槌與琴弦的接觸區(qū)域，二者會(huì)出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)，于是琴弦受到干摩擦力的激勵(lì)，方向與琴弦軸線平行。該摩擦力同樣可以使弦的質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生縱向位移，產(chǎn)生縱振動(dòng)。但摩擦造成弦縱振動(dòng)的機(jī)理及所形成的縱振動(dòng)與伸縮引起的縱振動(dòng)有所不同，伸縮使琴弦質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生縱向位移是由于牽引，在此情況下振動(dòng)的頻率和質(zhì)點(diǎn)位移的大小都取決于橫振動(dòng)的特性，振動(dòng)是完全從屬的；而摩擦使琴弦質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生位移所憑借的是“粘著”。當(dāng)弦槌觸弦后，二者之間即出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，保持相對(duì)靜止，此時(shí)摩擦角隨橫向位移的增加不斷增大，當(dāng)摩擦角超過(guò)最大摩擦角時(shí)，突然滑脫，直到在新的位置上重新保持相對(duì)靜止，然后進(jìn)人下一個(gè)“粘著——滑脫”的運(yùn)動(dòng)周期[ 3 ]?。由此產(chǎn)生的摩擦力隨時(shí)間的變化規(guī)律呈鋸齒形，“粘著”階段較緩，滑脫階段較陡[ 4 ]?。當(dāng)弦槌離開(kāi)琴弦后，琴弦便進(jìn)人自由振動(dòng)狀態(tài)，作阻尼衰減周期振動(dòng)。因摩擦所造成的縱振動(dòng)是獨(dú)立于橫振動(dòng)之外的振動(dòng)，其振動(dòng)的頻率和質(zhì)點(diǎn)位移的大小都與琴弦橫振動(dòng)的特性無(wú)關(guān)，而只取決于弦與槌之間的摩擦特性。由于這種縱振動(dòng)的振動(dòng)狀態(tài)和頻率具有很大的隨機(jī)性，因此，其頻率與琴弦基頻能構(gòu)成諧和關(guān)系的幾率甚微。換言之，在多數(shù)情況下都是基音的不諧和音，所以，這是一種不受歡迎的振動(dòng)。??

參考文獻(xiàn)：

[ 3 ]田澤林,鋼琴的聲學(xué)原理[ J ].演藝設(shè)備與科技，2006,6：56-60.

[ 4 ]賈 ?雄，小提琴弦振動(dòng)與琴體控諧振研究[ D ]. 廣州：華南理工大學(xué)碩主論文,2013.??

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