這周的題有點(diǎn)多，就不嘮嗑了，直接開始。

第一題又雙叒叕的是上交第一熱愛的舉例子，積累就行，不過多贅述了。

第二題有意思的點(diǎn)在于在定積分里面考察了有限覆蓋這種實(shí)數(shù)系的定理，需要轉(zhuǎn)一個彎，當(dāng)然這個題的命題也可以直接作用于證明黎曼函數(shù)可積。

第三題又涉及到了多項式函數(shù)，不得不說多項式函數(shù)確實(shí)有很多好的性質(zhì)可以信手捏來的使用。而這里的證明方法還用到的針對非負(fù)函數(shù)可積上的一個性質(zhì)，即若一個非負(fù)函數(shù)在閉區(qū)間上的黎曼積分大于零，則存在一個小區(qū)間與一個正數(shù)，使得函數(shù)f在小區(qū)間上恒大于這個正數(shù)，當(dāng)然這個定理考試中使用可能需要先證明，證明的方法也不難，簡單反正即可。

第四題當(dāng)然可以反證，然后構(gòu)造一個比較詭異的g來滿足條件即可（一般構(gòu)造為一個梯形函數(shù)即可），這里給出了更為巧妙的一個證明方法，即用到了一個函數(shù)本身可以拆分為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，然后從正面解決了問題，不過說到這我就插一嘴別的，就是如果把函數(shù)空間看做是數(shù)域R上的線性空間的話，那么奇函數(shù)和偶函數(shù)分別構(gòu)成了兩個子空間，并且這兩個子空間的直和就是整個空間，也就是這里拆分的底層邏輯。

第五題的收錄主要在于兩個點(diǎn)，一在于這個引理，事實(shí)上這個引理的離散版本在數(shù)列的部分應(yīng)該已經(jīng)復(fù)習(xí)過，這里這是拓展到了積分版本，需要熟悉。第二個就是針對這種走來一頭霧水的題目，需要先動手嘗試，然后看和自己熟悉的什么結(jié)論比較靠近，在拓展拓展思路。

第六題主要是先展示一個逆天的錯誤做法，錯誤之處在于用第一積分中值定理的時候取的這個?是和h相關(guān)的，因此在取極限時??并不是收斂到0的。而在正確的證明過程中這個關(guān)鍵的根號h也是通過后續(xù)證明的需要來反向推導(dǎo)的。即我們需要使拆開的第一項的積分上限可以收斂到0，同時又能夠使第一項的積分為pi/2。

第七題主要要意識到這里其實(shí)是個數(shù)列的極限題目，因此才進(jìn)一步的想到stolz公式的使用。后續(xù)則反而是積分的正常步驟。

第八題當(dāng)然可以反證，這里只是展示一種更為天馬行空的做法。

第九題的突破口在于g本身的形式，可以看做是一個函數(shù)與本身導(dǎo)數(shù)的乘積，因此才會聯(lián)想到F的構(gòu)造方式。

第十題是一個非常經(jīng)典的計算題，走來的換元同時兼顧了多個形式的對稱性，可以說是少有的非常優(yōu)美的計算。

十一題依舊是一個計算題，主要是提一嘴這種對變限積分函數(shù)的積分的計算，這個時候直接把里面的變限積分函數(shù)看做一個f然后在作變換即可，就沒有了形式上對直覺的干擾。