A-1-3圓周運動

2023-08-29 15:21 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.3.1 圓周運動

轉動

轉動與平動是兩種不同的運動。平動用位移x來描述，轉動則用角度 $%5Ctheta$ 描述。 $%5Ctheta$ 的方向由右手定則確定：

四指沿著 $%5Ctheta$ 的轉動方向，大拇指即為 $%5Ctheta$ 的方向。

需要注意的是，角度不是矢量：比如在右手系中，xy軸轉到y(tǒng)軸，可以用 $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20k$ 表示，再從y軸轉到z軸，可以用 $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20i$ 表示，整個過程相當于x軸直接轉到z軸，用 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20j$ 表示。

明顯

$-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20j%5Cne%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20i%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Chat%20k$

即角度的運算不滿足平行四邊形法則。但是如果我們將角度取了微分：

在下圖空間直角坐標系中，AB為單位長度，將AB轉到AC的位置，對應 $d%5Ctheta_1$ 大小等于BC，方向垂直于BC，用圖中的 $%5Coverrightarrow%7BEF%7D$ 表示。

再將AC轉到AD的位置，對應 $d%5Ctheta_2$ 用 $%5Coverrightarrow%7BFG%7D$ 表示。

而當AB直接轉到AD，容易證明其矢量可以直接用 $%5Coverrightarrow%7BFE%7D$ 表示。

故

$d%5Cvec%5Ctheta_1%2Bd%5Cvec%5Ctheta_2%3Dd%5Cvec%5Ctheta_3$

這說明角度的微分為矢量。

勻速圓周

類比勻速直線運動，勻速圓周運動也是最簡單的一種曲線運動。類比

$%5Cvec%20v%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x%7D%7Bdt%7D$

我們定義角速度

$%5Cvec%20%5Comega%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%5Ctheta%7D%7Bdt%7D$

勻速圓周運動中，轉過的角度

$%5Ctheta%3D%5Comega%20t$

另外，在圓周運動中

$%E5%BC%A7%E9%95%BFl%3D%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92%5Ctheta%C3%97%E5%8D%8A%E5%BE%84R%EF%BC%88%E5%BC%A7%E5%BA%A6%E5%88%B6%EF%BC%89$

對兩邊同時求導得：

$%5Cdfrac%7Bdl%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%20R$

由此定義圓周運動的線速度：

$v%3D%5Comega%20R$

對應矢量式：

$%5Cvec%20v%3D%5Cvec%20%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20R$

其中 $%5Cvec%20R$ 從圓心指向物體。

勻變速圓周

類比 $%5Cvec%20a%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D$ ，我們定義角加速度

$%5Cvec%5Cbeta%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%5Comega%7D%7Bdt%7D$

當角加速度的大小一定時，物體做勻變速圓周運動，運動方程與勻變速直線運動類似：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Comega%3D%5Comega_0%2B%5Cbeta%20t%5C%5C%20%5Ctheta%3D%5Comega%20t%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbeta%20t%5E2%5C%5C%20%5Cdfrac%7B%5Comega_0%2B%5Comega%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7Bt%7D%3D%5Comega_%7Bt%2F2%7D%5C%5C%20%5Comega%5E2-%5Comega_0%5E2%3D2%5Cbeta%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$

同理有線加速度

$a%3D%5Cbeta%20R%2C%5Cvec%20a%3D%5Cvec%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20R$

自然坐標系

在圓周運動中，將運動沿切向和法向分解更為方便。

法向指法線方向，在圓周運動中由圓心指向物體，一般用 $%5Chat%20n$ 表示，切向沿著運動軌跡在該點的切線方向，一般用 $%5Chat%5Ctau$ 表示。

我們將這種跟著物體一起運動，由法向、切向構成的坐標系，稱為自然坐標系。

在A-0-6中我們已經推導過圓周運動加速度的矢量式

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v%2B%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cdfrac%7B%5Cvec%20v%7D%7Bv%7D$

將加速度按自然坐標系分解，得：

$%5Cvec%20a%3D-%5Comega%20v%5Chat%20n%2B%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Chat%5Ctau$

第一項為向心加速度，沿著法向反方向，也可以表示為 $%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%EF%BC%8C%5Comega%5E2R$ 。第二項為切向加速度，即線加速度。

一輛汽車沿一圓周軌道以 $v_0%3D7.0m%2Fs$ 的初速作勻減速行駛。經過 $t_1%3D5s$ 后，汽車的加速度與速度之間的夾角 $%5Ctheta_1%3D135%C2%B0$ .又經過 $t_2%3D3s$ ,其加速度與速度之間的夾角 $%5Ctheta_2%3D150%C2%B0$ 。求:

1)圓軌道半徑R；

2)切向加速度的大小 $a_%5Ctau$ ;

3)這兩時刻( $t_1$ 和 $t_1%2Bt_2$ 時刻)的法向加速度 $a_%7Bn1%7D%E5%92%8Ca_%7Bn2%7D$ .

代入勻變速轉動公式：

t=5s時，

$v_1%3D7-5a_1%EF%BC%8Ca_%7Bn1%7D%3D%5Cdfrac%7B(7-5a_1)%5E2%7D%7BR%7D$

t=8s時，

$v_2%3D7-8a_1%EF%BC%8Ca_%7Bn2%7D%3D%5Cdfrac%7B(7-8a_1)%5E2%7D%7BR%7D$

由上圖矢量關系：

$%5Cdfrac%7Ba_%7Bn1%7D%7D%7Ba_1%7D%3D%5Ctan(%5Cpi-%5Ctheta_1)%2C%5Cdfrac%7Ba_%7Bn2%7D%7D%7Ba_1%7D%3D%5Ctan(%5Cpi-%5Ctheta_2)$

解得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%5Ctau%3D0.40m%2Fs%5C%5C%20R%3D6.25m%5C%5C%20a_%7Bn1%7D%3D0.40m%2Fs%5E2%5C%5C%20a_%7Bn1%7D%3D0.23m%2Fs%5E2.%20%5Cend%7Bcases%7D$

1.3.2 剛體轉動

剛體，指不發(fā)生形變的物體，和質點一樣，是一種理想模型。剛體上任兩點之間的距離始終保持不變。

自由度

自由度指確定一個剛體位形所需最少的參量個數，這里的參量可以是長度，也可以是角度。

1.點

描述一個質點在空間的位置，需要3個坐標。一個點的自由度就是3.

2.桿

對桿而言（不計粗細），先確定一個端點，自由度為3，再確定另一個端點，只需讓桿從初始位置沿x，y平面旋轉一個角度，再沿垂直平面方向旋轉另一個角度，就可以確定桿后來的位置了。桿的自由度是5.

3.板

對一個三角板而言（不計厚度），先確定一條邊的位置，自由度為5，再確定板相對于這條邊旋轉的角度即可，所以一個三角板的自由度是6.

4.其他剛體

對于其他剛體，只需要確定上面3個不共線的點，這個物體的位置就被唯一確定了（比如立方體的3個頂角）。其他剛體自由度都是6.

平面平行運動

不同類型的剛體運動，具有不同的自由度。我們主要研究剛體的平面平行運動，即剛體上每點都在一個平面內運動。與平面垂直的同一垂線上，所有點的運動形式都相同，我們只需要研究剛體與平面的截面。此時剛體的運動具有3個自由度。

如上圖：剛體從1到2的運動，可以看成C點先運動到C'點，然后剛體繞C'點轉到2。還可以看成B點先運動到B''點，然后剛體繞B''點轉到2，易知兩次轉動角度相同。

我們分別將上面的B點和C點稱為參考點，剛體上任一點的運動都可以分解為參考點的平動加上繞參考點的轉動，且轉動與參考點的選取無關，選不同的參考點，剛體的角位移，角速度和角加速度都相同。

瞬時轉動中心

在上圖中，如果把參考點選在O點，剛體直接從1轉動到2。當轉動角度無限小時，O點就是此時的瞬時轉動中心（速度瞬心）。

速度瞬心的位置可以這么確定：

如下圖，已知剛體上A,B兩點速度，由于A點繞瞬心做圓周運動，速度 $%5Comega$ 一定與OA垂直，反而言之，O點一定在過A點的 $v_1$ 的垂線上，同理，O點也在過B點的 $v_2$ 的垂線上，兩垂線交點即為瞬心的位置。

特殊的，當兩垂線重合時，由于A、B繞O轉動的角速度相等，有

$%5Cdfrac%7BOA%7D%7BOB%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7Bv_2%7D$

由此可確定瞬心位置。

如下圖所示，輪子在水平面上以角速度 $%5Comega$ 做純滾動，已知輪子的質心速度為 $v_C$ ，試求輪邊緣上A點的速度和切向加速度，A點的位置用 $%5Ctheta$ 表示。

純滾動是指，輪上與地面接觸點與地面無相對滑動，地面速度為0，故D點速度也為0.D點速度可以分解為C的速度和相對C的轉動速度：

$v_D%3Dv_C-%5Comega%20R$

代入 $v_D%3D0$ ，得

$v_C%3D%5Comega%20R$

故C點做勻速直線運動，加速度為0.

同理，A點的運動也可以看成C的運動和A相對C運動的合成。

$v_A%3Dv_C%2Bv_%7BAC%7D$

由于 $v_%7BAC%7D%3D%5Comega%20R%3Dv_C$ ，有

$v_A%3D2v_C%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)%3D2v_C%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

A的加速度也可以類似分解：

$a_A%3Da_C%2Ba_%7BAC%7D$

其中 $a_C%3D0%EF%BC%8Ca_%7BAC%7D%3D%5Comega%20v_C$ ，方向沿AC.

需要注意的是，切向指的是A的實際速度方向，而不是在A點圓的切線。故

$a_%7BA%5Ctau%7D%3Da_A%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)%3D%5Comega%20v_C%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

這道題A點的速度也可以用速度瞬心求解：由于D點速度為0，D為剛體的瞬時轉動中心，

$v_A%3D%5Comega%5Ccdot%20DA%3D%5Comega%5Ccdot2R%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

一半徑為R的圓盤A以角速度 $%5Comega_1$ 繞其固定的軸 $O_1$ 勻角速轉動，另一半徑為r的圓盤B沿A的盤邊作無滑動滾動，它繞自己的軸 $O_2$ 以角速度 $%5Comega_2$ 勻速轉動.試求B繞A運動一周所需的時間.

B繞A運動一周的時間，指的是 $O_2$ 繞 $O_1$ 運動一周的時間，所以我們要算出 $O_2$ 的線速度。

假設B上與A接觸點為C，因為B與A之間為純滾動，故

$v_C%3D%5Comega_1%20R$

C的運動又可以看成 $O_2$ 的平動加上相對 $O_2$ 的轉動，故有

$v_C%3Dv_%7BO_2%7D-%5Comega_2%20r$

聯立兩方程，得

$v_%7BO_2%7D%3D%5Comega_1R%2B%5Comega_2%20r$

故B繞A運動一周的時間

$t%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20O_1O_2%7D%7Bv_%7BO_2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%20(R%2Br)%7D%7B%5Comega_1R%2B%5Comega_2%20r%7D$

加速度瞬心

剛體轉動加速度 $%5Comega$ ，角加速度 $%5Cbeta$ .已知剛體上點A加速度為 $a_A$ ，P為加速度瞬心，則

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_A%5Csin%5Ctheta%3D%5Cbeta%20%5Ccdot%20PA%5C%5C%20a_A%5Ccos%5Ctheta%3D%5Comega%5E2%5Ccdot%20PA%20%5Cend%7Bcases%7D$

解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B%5Cbeta%7D%7B%5Comega%5E2%7D%5C%5C%20PA%3D%5Cdfrac%7Ba_A%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cbeta%5E2%2B%5Comega%5E4%7D%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$