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最近我們被客戶要求撰寫關于copula的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

你可能會問，為什么是copulas？我們指的是數學上的概念。簡單地說，copulas是具有均勻邊緣分布的聯合分布函數 。

最重要的是，它們允許你將依賴關系與邊緣分布分開研究。有時你對邊緣分布的信息比對數據集的聯合函數的信息更多，而copulas允許你建立關于依賴關系的 "假設 "情景。copulas可以通過將一個聯合分布擬合到均勻分布的邊緣分布上而得到，這個邊緣分布是通過對你感興趣的變量的cdf進行量化轉換而得到的。?

這篇文章是關于Python的（有numpy、scipy、scikit-learn、StatsModels和其他你能在Anaconda找到的好東西），但是R對于統(tǒng)計學來說是非常棒的。我重復一遍，R對統(tǒng)計學來說是非常棒的。如果你是認真從事統(tǒng)計工作的，不管你是否喜歡R，你至少應該看看它，看看有哪些包可以幫助你。很有可能，有人已經建立了你所需要的東西。?而且你可以從python中使用R（需要一些設置）。

說了這么多關于R的好處，我們還是要發(fā)一篇關于如何在python中使用一個特定的數學工具的文章。因為雖然R很牛，但python確實有令人難以置信的靈活性，可以用來處理其他事務。

這篇文章中即將出現的大部分內容都會用Jupyter Notebooks來構建。

軟件

我很驚訝，scikit-learn或scipy中沒有明確的copula包的實現。

2D數據的Frank、Clayton和Gumbel copula

測試

第一個樣本（x）是從一個β分布中產生的，（y）是從一個對數正態(tài)中產生的。β分布的支持度是有限的，而對數正態(tài)的右側支持度是無窮大的。對數的一個有趣的屬性。兩個邊緣分布都被轉換到了單位范圍。

我們對樣本x和y擬合了三個族（Frank, Clayton, Gumbel）的copulas，然后從擬合的copulas中提取了一些樣本，并將采樣輸出與原始樣本繪制在一起，以觀察它們之間的比較。

????#等同于ppf，但直接從數據中構建?????sortedvar=np.sort(var)???? ????#繪制????for?index,family?in?enumerate(['Frank',?'clayton',?'gumbel']): ????????????#獲得偽觀測值????????????u,v?=?copula_f.generate_uv(howmany) ????????#畫出偽觀測值????????axs[index][0].scatter(u,v,marker='o',alpha=0.7) ?????? ????plt.show()#總樣本與偽觀測值的對比sz=300loc=0.0?#對大多數分布來說是需要的sc=0.5y=lognorm.rvs(sc,loc=loc,?size=sz)

獨立（不相關）數據

我們將從β分布中抽取（x）的樣本，從對數正態(tài)中抽?。▂）的樣本。這些樣本是偽獨立的（我們知道，如果你用計算機來抽取樣本，就不會有真正的獨立，但好在是合理的獨立）。

#不相關的數據：一個β值（x）和一個對數正態(tài)（y）。a=?0.45#2.?#alphab=0.25#5.?#beta#畫出不相關的x和y?plt.plot(t,?beta.pdf(t,a,b),?lw=5,?alpha=0.6,?label='x:beta')#繪制由不相關的x和y建立的共線性圖title='來自不相關數據的共線性?x:?beta,?alpha?{}?beta?{},?y:?lognormal,?mu?{},?sigma?dPlot(title,x,y,pseudoobs)

?

相依性（相關）數據

自變量將是一個對數正態(tài)（y），變量（x）取決于（y），關系如下。初始值為1（獨立）。然后，對于每一個點i, 如果?

, 那么?

, 其中c是從1的分數列表中統(tǒng)一選擇的，否則,?

.

#相關數據：一個對數正態(tài)（y）。#畫出相關數據?np.linspace(0,?lognorm.ppf(0.99,?sc),?sz) plt.plot(t,?gkxx.pdf(t),?lw=5,?alpha=0.6,

擬合copula參數

沒有內置的方法來計算archimedean copulas的參數，也沒有橢圓elliptic copulas的方法。但是可以自己實現。選擇將一些參數擬合到一個scipy分布上，然后在一些樣本上使用該函數的CDF方法，或者用一個經驗CDF工作。這兩種方法在筆記本中都有實現。

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R語言實現 COPULA 算法建模相依性案例分析

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因此，你必須自己寫代碼來為archimedean獲取參數，將變量轉化為統(tǒng)一的邊緣分布，并對copula進行實際操作。它是相當靈活的。

#用于擬合copula參數的方法?#?===?Frank參數擬合????""" ????對這個函數的優(yōu)化將給出參數? ????"""???#一階debye函數的積分值????int_debye?=?lambda?t:?t/(npexp(t)-1.)?????debye?=?lambda?alphaquad(int_debye?,? ???????????????????????????????alpha ??????????????????????????????)[0]/alpha ????diff?=?(1.-kTau)/4.0-(debye(-alpha)-1.)/alpha#================#clayton?參數方法def?Clayton(kTau): ????try: ????????return?2.*kTau/(1.-kTau) ?#Gumbel參數方法def?Gumbel(kTau): ????try: ????????return?1./(1.-kTau)#================#copula生成????#得到協方差矩陣P????#x1=norm.ppf(x,loc=0,scale=1)????#y1=norm.ppf(y,loc=0,scale=1)????#return?norm.cdf((x1,y1),loc=0,scale=P)#================#copula繪圖????fig?=?pylab.figure() ????ax?=?Axes3D(fig) ????????ax.text2D(0.05,?0.95,?label,?transform=ax.transAxes) ????????ax.set_xlabel('X:?{}'.format(xlabel)) ????????ax.set_ylabel('Y:?{}'.format(ylabel)) ????#sample是一個來自U,V的索引列表。這樣，我們就不會繪制整個copula曲線。????if?plot: ?? ????????print?"繪制copula?{}的樣本".format(copulaName) ????????returnable[copulaName]=copulapoints ????????if?plot: ????????????zeFigure=plot3d(U[樣本],V[樣本],copulapoints[樣本],?label=copulaName,

生成一些輸入數據

在這個例子中，我們使用的是與之前相同的分布，探索copula 。如果你想把這段代碼改編成你自己的真實數據。

t?=?np.linspace(0,?lognorm.ppf(0.99,?sc),?sz)#從一些df中抽取一些樣本X=beta.rvs(a,b,size=sz)Y=lognorm.rvs(sc,size=sz)#通過對樣本中的數值應用CDF來實現邊緣分布U=beta.cdf(X,a,b)V=lognorm.cdf(Y,sc)#畫出它們直觀地檢查獨立性plt.scatter(U,V,marker='o',alpha=0.7) plt.show()

可視化Copulas

沒有直接的構造函數用于高斯或t_Copulas_，可以為橢圓_Copulas_(Elliptic?Copulas)建立一個更通用的函數。

Samples=700#選擇用于抽樣的copula指數np.random.choice(range(len(U)),Samples) Plot(U,V)

<IPython.core.display.Javascript?object>

Frechét-H?ffding邊界可視化

根據定理，我們將copula畫在一起，得到了Frechét-H?ffding邊界。

#建立邊界為copula的區(qū)域plot_trisurf(U[樣本],V[樣本],copula['min'][樣本], ??????????c='red')?#上限plot_trisurf(U[樣本],V[樣本],copula['max'][樣本], ???????????c='green')?#下限

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本文選自《python中的copula：Frank、Clayton和Gumbel copula模型估計與可視化》。

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