惡補基本功-本科代數(shù)-第二章，1-2節(jié)
先說說群(Groups)，一個群，G，是一個集。
打個比方，以乘法群(multiplicative group)來說，G的成員x和y，與xy皆為G的元素時，有著三個特性：
滿足結合律，也就是(xy)z=x(yz)
對于每一個x，存在著ex=xe=x，而e是G的成員
如果x是G的成員，那么就存在著一個y，使得xy=yx=e。
如果我們稍微改一改，把xy變成x+y，那么這個特性就變成：
結合律：(x+y)+z=x+(y+z)
存在著元素0，使得0+x=x+0=x
存在元素y，使得x+y=y+x=0
對于G的所有x和y，存在著乘法符號時，就是xy=yx，如果G有以上的特性，G就是一個阿貝爾群，或者就是可交換群。
打個比方
讓Q作為有理數(shù)的集，那么Q就是加法之下的群，對于非0的Q，就形成了乘法之下的群，也叫Q*
實數(shù)和復數(shù)就屬于加法群，而他們的非0成員就是乘法群，前者是R和C，后者是R*和C*
絕對值為1的復數(shù)就是一個乘法群
一個包含1和-1的集是一個乘法群
一個包含1，-1，i，-i的集也是乘法群
假設一個群G和G‘，而
作為全部(x, x')。如果(x, x')和(y, y')這些對，屬于(xy, x'y')，那么
就是一個組。而
歐幾里得空間
，我們將其視為加法群。
有理數(shù)的加法群是實數(shù)的假發(fā)群的副群(sub group)
1是整數(shù)的加法群的生成器，因為每一個0以外的整數(shù)都能寫成1+1+...+1或-1-1-...-1
（這個例子跟導數(shù)的論證有關，跳過）
一個只有一個元素的我們稱之為trivial。如果這個群只有特定數(shù)量的元素，我們稱之為finite group，有限群，而元素的數(shù)量為order，也就是階。
如果H是G的子集，我們也可以說H是G的副群，如果H有成員的話并滿足G的那些特性。如果G只有一個副群，那么我們可以稱之為trivial subgroup，每一個G都是自己的副群。
映射，mapping
映射就是一個集S的所有成員，與另一個集S’的所有成員的關聯(lián)。
S映射去S'，如果說f是其映射，我們會這樣寫：
我們也可以說f(x)就是x在f的映射中對應的x'，在這里，f(x)是x在f之下的像(image)，又叫做當f在x時的值(value)。所以所有f(x)組成起來的集，也叫f的像。如果T是S的子集，那么f()的集就叫T的像。
簡單地說：
