牛頓386、怎么通俗地理解有限增量公式？

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怎么通俗地理解有限增量公式？——網(wǎng)友提問

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

…有限增量公式：見《牛頓385》…

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[如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；

那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）?成立。

（“a=x，b=x+△x時，就變成了下面這種形式?！爆F(xiàn)代學者說。）

拉格朗日中值定理的其他形式

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記ξ=x+θ△x（0＜θ＜1），則有

△y=f（x+△x）-f（x）=f’（x+θ△x）·△x=f’（ξ）△x（0＜θ＜1）

上式稱為有限增量公式。（“上式給出了自變量取得的有限增量△x時，函數(shù)增量△y的精確表達式，因此也叫有限增量公式。”現(xiàn)代學者說。）

——《牛頓385》]

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阿膠（發(fā)布于2017-05-19 17:20，24人贊同了該回答）：

通俗理解：

①Δy=dy+o（Δx）

意思是y的變化量=（y的微分）+（一個關于Δx的無窮?。?/p>

…△：讀音是“德爾塔”。音標為/delt?/。

在物理學中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》

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…o：英文名Omicron（大寫Ο，小寫ο），是第十五個希臘字母。

小寫ο用于：高階無窮小函數(shù)…

（…階，無、窮、無窮，小，無窮小，高階無窮?。阂姟杜ｎD280~282》…）

…微、分、微分：見《牛頓3》…

[如果函數(shù)的增量Δy=f（x + Δx）—f（x）可表示為Δy= AΔx+o（Δx）（其中A是不隨Δx改變的常量，但A可以隨x改變），而o（Δx）是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f（x）在點x是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點x相應于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。

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函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△x→0）。

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通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)y=f（x）的微分又可記作dy=f'（x）dx。

——《牛頓331》]

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當Δx→0時，Δy才等于dy。

②當Δx不接近0，反而比0大得多時，0（Δx）并不是無窮小了，

所以要用一個新的公式。

根據(jù)Δy=f'（x）·Δx+o（Δx）這原始的微分公式，加上柯西中值定理，一個閉區(qū)間連續(xù)且切點斜率不為0的函數(shù)曲線中，必定有一個區(qū)間內(nèi)的點，可以使得Δy與f'（ξ）Δx相等，這個點肯定在函數(shù)曲線兩個端點之內(nèi)，所以用（x+θΔx）來表示這個點的橫坐標，而且0＜θ＜1。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…斜、率、斜率：見《牛頓289》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學上的隨機變量…

所以這個Δx不接近0時的公式就是：Δy=f’（x+θΔx）Δx （0＜θ＜1）

這個公式就叫做有限增量公式。

“ξ∈（x，x+△x）這個開區(qū)間，中值定理只是指明這個點的存在性，但到目前為止還沒有確定的方法，對任意的函數(shù)能把ξ準確的找出來。
把ξ寫成ξ=x+θΔx，（0<θ<1）就是反應出ξ∈（x，x+△x）。
是把這個點的不確定性拋給了θ，也就是說，我們只是知道0<θ<1，但不知道他的確切值。

請看下集《牛頓387、有限增量公式里為什么ξ會等于x+θΔx呢？》”

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