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基于拉格朗日方法探測渦旋

2022-12-18 22:04 作者:永不磨滅的希望 0人讀過 | 我要投稿

KEYWORDS: ?LAVD; Lagrangian method; eddy detection

操作工具：matlab

一、拉格朗日(Lagrangian)方法

拉格朗日定義的本質(zhì)是找到在有限時間間隔內(nèi)很少或沒有物質(zhì)泄漏的致密實體。因此，由拉格朗日概念定義的渦旋可以像整體實體一樣連貫地移動，通常被稱為擬序渦。由于拉格朗日定義都是建立在流體粒子的拉格朗日軌跡之上的，因此在估計水的輸運和擴散方面具有很強的優(yōu)勢。在拉格朗日框架下可以更精確地描述與流體粒子的得失相關(guān)的生命周期。本文重點介紹拉格朗日方法中的一個，基于拉格朗日平均渦度偏差 (LAVD) 的旋轉(zhuǎn)相干拉格朗日渦旋 (Haller et al. 2016)。

LAVD方法的具體介紹如下：

LAVD，一個客觀參數(shù)，拉格朗日平均渦度偏差，它描述了流場中每個流體粒子的累積旋轉(zhuǎn)角度，用于定義旋轉(zhuǎn)擬序拉格朗日渦旋。定義的拉格朗日擬序渦是一組物質(zhì)管，流體粒子沿著這些管在時間間隔 [t0, t1] 內(nèi)相對于流體的平均剛體旋轉(zhuǎn)經(jīng)歷相同的體積旋轉(zhuǎn)。

其中 $%5Ceta%20$ 是絕對動力高度，式1是計算地轉(zhuǎn)流速度的基本公式。

式2用來計算Lagrangian軌跡的，是一個偏微分方程，軌跡是該方程的解。v(x,t)是粒子在位置 x 和時間 t 的歐拉速度，在計算中，我們根據(jù) Wang et al. (2016) 的研究將計算域的網(wǎng)格寬度設(shè)置為 0.1 km。所有積分均使用階梯自適應(yīng)四階/五階 Runge-Kutta 方法和三次插值法進行。

下面是求解式2的過程：

式3是一個映射關(guān)系，其中映射是從粒子初始的位置? $x_%7B0%7D%20%5Cin%20U(t_%7B0%7D%20)$ ?到之后的位置 $x(t%3Bx_%7B0%7D)%5Cin%20%20U(t)$ ,? $U(t)$ ?是一個不斷發(fā)展的物質(zhì)域。映射是最初位于物質(zhì)域 $U(t_%7B0%7D%20)$ ?中的所有流體粒子的拉格朗日軌跡的組合。

式4是LAVD的定義式，其中 $%5Comega%20%5Bx(s%3Bx_%7B0%7D)%2Cs%5D%20$ ?代表流體粒子在時間 s 沿其拉格朗日軌跡的渦度，? $%5Cbar%7B%5Comega%20%7D(s)$ 為在 $U(s)$ 上的瞬時空間平均渦度。

在二維速度場中，有限的時間間隔內(nèi)：

旋轉(zhuǎn)擬序拉格朗日渦旋是一個不斷演化的物質(zhì)域 $%5Cnu%20(t)$ ，使得 ? $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ ?充滿了 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 的許多等值線，使得LAVD 值向外遞減。
$%5Cnu%20(t)$ ?的邊界? $%5Cbeta%20(t)$ 是一條物質(zhì)線，使得? $%5Cbeta%20(t_%7B0%7D%20)$ 是? $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ ?在 $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ ?中的最外層等值線。
$%5Cnu%20(t)$ ??的中心 $C(t)$ ?是一個中心點，使得 $C(t_%7B0%7D%20)$ 是 ? $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 等值線在 $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ 的最內(nèi)點（最大值）。

式5是演化位置。

式6是時間 t 的演變位置。

$y$ 被定義為Lagrangian擬序時間尺度。

Lagrangian擬序渦的基本探測過程如下：

計算LAVD
探測渦旋中心的初始位置 ? $C(t_%7B0%7D%20)$ 作為? $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 的局地最大值
尋找渦旋邊界的初始位置 ? $%5Cbeta%20(t_%7B0%7D%20)$ ?作為? $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ ?的最外層封閉輪廓，它環(huán)繞渦旋中心?? $C(t_%7B0%7D%20)$ 并且凸度缺陷（convexity deficiency）要小于選定的閾值。

Lagrangian算法(2D)

注意：輸出的是初始時刻的渦旋位置?。。?/span>

matlab代碼如下：

輸出結(jié)果展示：

二、歐拉(Eulerian)方法

歐拉定義，例如?Okubo–Weiss (OW) 定義（Okubo 1970; Weiss 1991）、基于海面高度 (SSH) 的定義（Chelton et al.?2011a）、基于速度幾何的定義（Nencioli et al. 2010) 和基于位渦量 (PV) 的定義?(Zhang et al. 2014)，均通過建立在歐拉坐標上的瞬時特性來定義渦旋。

IVD（瞬時渦度偏差）：

在旋轉(zhuǎn)擬序歐拉渦中，IVD相當于Lagrangian中的LAVD，詳情見Haller et al. (2016)。

三、Lagrangian vs?Eulerian

例1：

我們展示了旋轉(zhuǎn)擬序拉格朗日渦旋和歐拉渦旋初始位置的比較，三個歐拉渦（綠色）接近拉格朗日渦（紅色），剩余的歐拉渦顯示出主要的絲狀化并在平流下分解。另外，基于初始時間的瞬時歐拉預(yù)測的擬序渦的大量誤報，即使該預(yù)測是框架不變的。

因此，相比于歐拉方法預(yù)測渦旋，拉格朗日方法的準確度更高。

例2：

雖然歐拉渦旋隨著時間的推移缺乏完全的物質(zhì)一致性是預(yù)料之中的，但其中一些渦旋在初始時間 $t_%7B0%7D%20$ 時非常接近拉格朗日渦旋，即使它們只是從瞬時分析中提取出來的。同時，其余歐拉渦旋沒有在平流下完全瓦解。

另：拉格朗日擬序渦還可以拓展到3D結(jié)構(gòu)

參考文獻

Haller, G., Hadjighasem, A., Farazmand, M., & Huhn, F. (2016). Defining coherent vortices objectively from the vorticity. Journal of Fluid Mechanics, 795, 136–173. https://doi.org/10.1017/jfm.2016.151
Xia, Q., Dong, C., He, Y., Li, G., & Dong, J. (2022). Lagrangian Study of Several Long-Lived Agulhas Rings. Journal of Physical Oceanography, 52(6), 1049–1072. https://doi.org/10.1175/jpo-d-21-0079.1

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