今天晚上火熱的卡塔爾世界杯就迎來了決賽，今年最大的看點(diǎn)莫過于是阿根廷復(fù)仇成功？還是法國(guó)衛(wèi)冕冠軍？

作為一個(gè)假足球粉，朋友圈里世界杯的賽事咱也看不懂，咱也不敢問。我認(rèn)為早餐加點(diǎn)醬油更好，所以從今天開始好好學(xué)物理吧！

Part I 彎曲的面藏不住我想穿越的心

小編已經(jīng)三天三夜沒有合眼了，每天盯著足球想著總得和大伙說點(diǎn)什么，可是話總得有個(gè)頭啊，想來想去只有四個(gè)字：非歐幾何！

眾所周知，在平面中從一個(gè)點(diǎn)輻射幾條直線，形成的角的和總是360度。由于六邊形的內(nèi)角為120度，所以只用正六邊形就可以鋪滿整個(gè)平面。而用正六邊形和正五邊形就無法鋪滿平面。

但是我們觀察一下足球的構(gòu)造，可以發(fā)現(xiàn)，足球是由正五邊形和正六邊形拼接而成，也就是說足球上一個(gè)“頂點(diǎn)”周圍的角的和小于360度。這是在平面幾何中無法理解的存在。我們稱之為非歐幾何。
在了解這個(gè)概念之前我們先回顧一下“歐氏幾何”，歐幾里得在幾何原本中提出了五大公理[1]：
1，由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線2，一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)3，以任意點(diǎn)為心及任意距離可以畫圓4，所有直角彼此相等5，同一平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩個(gè)直角和，那么這兩條直線必相交。

第五公理也可以表述成過直線外一點(diǎn)只能做一條不與其相交的直線，即只有一條平行線，所以第五公理也被稱為平行公理。

公理不需要證明就可以認(rèn)為是正確的。但是由于第五條公理如此復(fù)雜，許多年來幾何學(xué)家就質(zhì)疑第五公理是不是真正的公理。
在對(duì)第五公理質(zhì)疑的過程中，19世紀(jì)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶分別獨(dú)立提出了后來被稱為雙曲幾何（羅氏幾何）的幾何定理體系，從而發(fā)現(xiàn)第五公理不能被證明[2]。

在一個(gè)雙曲曲面中，平行線對(duì)應(yīng)于平面中一對(duì)雙曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)在這樣的曲面中過直線外一點(diǎn)可以做無數(shù)條不與其相交的直線。
隨之德國(guó)著名數(shù)學(xué)家黎曼（就是那個(gè)大名鼎鼎的黎曼猜想）又創(chuàng)建了黎曼幾何。其最簡(jiǎn)單的模型是橢圓幾何，也就是在一個(gè)橢圓平面中不存在不相交的直線。也就是說橢圓幾何中不存在平行線。

羅氏幾何和黎曼幾何是最典型的非歐幾何，但是從廣義上講，所有不符合歐幾里得五大公理的幾何都可以被稱為非歐幾何。

關(guān)于曲面上的幾何學(xué)，最著名的討論莫過于三角形內(nèi)角和是不是180度。
著名數(shù)學(xué)家高斯也曾經(jīng)做過實(shí)驗(yàn)，他曾經(jīng)測(cè)量三個(gè)山峰組成的三角形的內(nèi)角和，可惜由于精度不夠所以沒法驗(yàn)證。

黎曼提出的流形和度規(guī)的概念可以從理論上來計(jì)算這個(gè)問題。

所謂流形，通俗上可以理解成一個(gè)具有一定維度的光滑空間表面，比如直線和圓是一維流形，平面，球面，環(huán)面這些屬于二維流形[2]。
度規(guī)則是用來計(jì)算流形中弧長(zhǎng)、角度、面積等數(shù)值。

不同曲面上三角形內(nèi)角和 來源：參考文獻(xiàn)[2]

再后來，愛因斯坦提出相對(duì)論，由于在相對(duì)論中，除了三維的位置變量：（x，y，z），時(shí)間的維度也要計(jì)算進(jìn)去。
所以，相對(duì)論中采用位置和時(shí)間的四維空間（x，y，z，t），在四維空間中計(jì)算得到兩點(diǎn)間的距離為時(shí)空間隔。

在廣義相對(duì)論中，則是利用四維洛倫茲流形模擬時(shí)空。物體的引力場(chǎng)則引起了時(shí)空的彎曲，所以黎曼幾何也就成為了描述彎曲時(shí)空的有力工具。

Part II 長(zhǎng)成一個(gè)超導(dǎo)體又不是我的錯(cuò)

非歐幾何我們先淺嘗輒止，怎地我一個(gè)學(xué)凝聚態(tài)物理的小編不聊點(diǎn)凝聚態(tài)物理倒顯得委屈了它。

在微觀世界中，有一種長(zhǎng)得和足球一模一樣的分子，被稱為足球烯，它是由60個(gè)碳原子組成的球形分子。也被稱為富勒烯、C60。

固相的C60結(jié)構(gòu)最早由Kr?tschmer等人于1990年合成[4]。
單純的C60本身是一個(gè)絕緣體。但是Stephens等人隨后通過在C600中摻雜K原子，合成了K3C60，發(fā)現(xiàn)其在18K溫度處產(chǎn)生超導(dǎo)特性[5]。
K離子分布在C60分子的間隙之中，為整個(gè)分子導(dǎo)電提供了電子。

隨后人們?cè)贑60中摻雜不同的堿金屬原子，或者施加壓力制造出了大量的超導(dǎo)體。但是以C60為基礎(chǔ)的超導(dǎo)體仍屬于BCS理論預(yù)言范圍內(nèi)的常規(guī)超導(dǎo)體，所以其超導(dǎo)溫度無法突破40K[6]。

自1911年Onnes首次將氦氣液化并發(fā)現(xiàn)汞的超導(dǎo)性以來，尋找具有更高超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度的超導(dǎo)體是百年來無數(shù)物理學(xué)家的追求。

以C60為基礎(chǔ)的超導(dǎo)體實(shí)際上屬于有機(jī)超導(dǎo)體的分類。也就是由有機(jī)分子組成的超導(dǎo)體。
除了像C60這樣復(fù)雜的分子以外，也可以通過將普通的石墨摻雜堿金屬原子，或者通過堆疊苯環(huán)的方式來構(gòu)造碳基的有機(jī)超導(dǎo)體[6]。

還有一種有機(jī)超導(dǎo)體是由Bechgaard首先發(fā)現(xiàn)的一類被稱為Bechgaard鹽的化合物，其特征為結(jié)構(gòu)上是一維的化學(xué)聚合物，帶有苯環(huán)基團(tuán)，由分子鏈上的某些部分提供電子導(dǎo)電[7]。

更多的有機(jī)超導(dǎo)體表現(xiàn)出了復(fù)雜的相圖，比如隨外界壓力、溫度、磁場(chǎng)的變化導(dǎo)電維度會(huì)從一維導(dǎo)電變化到二維、三維導(dǎo)電，在低溫下又是完全的超導(dǎo)體[6]。

如何解釋有機(jī)超導(dǎo)體的復(fù)雜相圖乃至其微觀超導(dǎo)機(jī)理，目前也是超導(dǎo)物理學(xué)的最前沿的難題之一。

Part III 平凡的布料拼接出不平凡的我

眾所周知，足球是由20塊白色的正六邊形和12塊黑色的正五邊形拼接而成。
如果我們將這些不同顏色和形狀布料看成不同的原子或分子，這不是原子世界的團(tuán)簇嘛！

團(tuán)簇是由數(shù)個(gè)到數(shù)千個(gè)原子、分子或離子結(jié)合組成的相對(duì)穩(wěn)定的微觀或亞微觀結(jié)構(gòu)。

團(tuán)簇所處的物質(zhì)層次介于原子、分子和宏觀物體之間，可以認(rèn)為是第五種物態(tài)。（Ps：其他四種物態(tài)：固體、液體、氣體、等離子體）
團(tuán)簇最早是在1956年由BecKer等人通過超聲噴注加冷凝的方法獲得的，他們合成了Ar和He原子團(tuán)簇[8]。
上世紀(jì)八十年代以后，由于掃描隧道顯微鏡(STM)的實(shí)現(xiàn)，團(tuán)簇作為作為納米尺度的物質(zhì)逐漸受到廣泛關(guān)注。值得一提的是，我們前面提到的C60的發(fā)現(xiàn)更是豐富了團(tuán)簇的研究范圍。

組成團(tuán)簇的原子、分子一般通過金屬鍵、離子鍵、共價(jià)鍵、氫鍵以及范德瓦爾斯力結(jié)合在一起。這些力的本質(zhì)都是原子間正負(fù)電荷間的庫(kù)倫吸引力。
根據(jù)此我們知道，當(dāng)結(jié)合在一起的粒子數(shù)目非常多（~1023量級(jí)）時(shí)，就變成了我們熟悉的可以用肉眼觀察到的的宏觀物體。

由于組成團(tuán)簇的粒子數(shù)目很少，所以粒子數(shù)目會(huì)對(duì)團(tuán)簇的能級(jí)或能帶結(jié)構(gòu)有更明顯的影響，因而會(huì)具有與宏觀物體不同的尺寸效應(yīng)。
比如說，隨著團(tuán)簇尺寸的減小，金屬的連續(xù)能帶變成準(zhǔn)連續(xù)直至離散的能帶，從而導(dǎo)致其由金屬變成半導(dǎo)體或絕緣體[9]。

對(duì)于一個(gè)團(tuán)簇來說，在更小的尺寸下，集中在表面上的原子更多。
由于處于表面上的原子有一側(cè)沒有和其他原子配位，所以表面原子具有更高的能量，更容易與其他原子結(jié)合。所以團(tuán)簇具有很強(qiáng)的吸附性以及催化特性。

制備團(tuán)簇的方法一般有氣相法、液相法和固相法[9]。
氣相法就是先將物質(zhì)變成氣體，使之在氣體狀態(tài)下發(fā)生物理、化學(xué)變化，再通過冷卻過程凝聚成納米大小的微粒。
液相法則是通過化學(xué)反應(yīng)，選擇合適的鹽類化合物，配比成溶液使各元素處于離子狀態(tài)，再通過沉淀或結(jié)晶的辦法獲得超微顆粒。
固相法則是通過固相到固相的變化，通過切割、球磨等方法將大塊粗顆粒微細(xì)化。

團(tuán)簇的研究和納米科學(xué)緊密相連。團(tuán)簇可以用來制造微電子、光電子器件，發(fā)展集成電路，開展量子效應(yīng)的研究。

Part IV 滾來滾去還能這么有理？

在足球比賽中，帶球傳球都是很重要的技術(shù)。

踢球過程中腳與球之間的彈力本質(zhì)上是原子間的排斥力，屬于電磁相互作用力。
具體到微觀，就是電子與電子、質(zhì)子與質(zhì)子之間的庫(kù)倫排斥力，電子與質(zhì)子之間的庫(kù)倫吸引力。

電磁相互作用過程就和傳球一樣，是兩個(gè)粒子之間交換了一個(gè)光子。描述這個(gè)過程的理論被稱為量子電動(dòng)力學(xué)（QED），是由費(fèi)曼，施溫格和朝永振一郎于1940年提出。
電磁相互作用過程可以由簡(jiǎn)單的費(fèi)曼圖來描述。下圖為電磁相互作用最基本的過程[10]。這個(gè)圖描述的意思是一個(gè)電子進(jìn)入相互作用狀態(tài)，輻射或吸收一個(gè)光子，然后離開。在任何費(fèi)曼圖中，一個(gè)頂點(diǎn)就代表一個(gè)粒子。

根據(jù)這個(gè)基本過程，只要知道相互作用前后粒子的數(shù)量和特性，通過組合基本費(fèi)曼圖，就可以得到所有電磁相互作用過程的費(fèi)曼圖。

我們可以畫出兩個(gè)電子之間的庫(kù)倫排斥過程：左邊兩個(gè)電子進(jìn)入，交換了一個(gè)光子，然后離開，實(shí)現(xiàn)了電磁相互作用過程。這個(gè)過程在QED里也叫穆勒散射（突然心肺一停）。

如果左邊的電子箭頭是向左的出射方向，則代表一個(gè)電子的反粒子，也就是一個(gè)帶正電的電子。
比如下圖描述的就是一對(duì)正負(fù)電子相遇后湮滅成兩個(gè)光子。注意正反粒子的湮滅不可能只生成一個(gè)光子，因?yàn)椴粷M足前后作用過程中的動(dòng)量守恒。

除了電磁相互作用之外，自然界還存在其他三種基本相互作用力：萬有引力，弱相互作用，強(qiáng)相互作用。

我們知道原子核由質(zhì)子和中子組成，質(zhì)子需要克服相互之間極強(qiáng)的庫(kù)倫排斥力，以及需要和中子束縛在一起，則需要通過強(qiáng)相互作用力。
質(zhì)子和中子更本質(zhì)上是由夸克組成。而夸克具有電荷、顏色、味道。（味道？好吃？好耶！呀吼?。?br>其實(shí)這只是為了區(qū)分不同的自由度來做的方便命名。就像我們常見的物體有動(dòng)量、質(zhì)量等不同的特征一樣。

強(qiáng)相互作用力的本質(zhì)就是夸克顏色之間的相互作用，通過交換一種名叫膠子的基本粒子完成。就像電子之間交換光子一樣。其基本過程為：夸克-夸克+膠子。
描述強(qiáng)相互作用過程的理論叫做量子色動(dòng)力學(xué)（QCD），最早由湯川秀樹做了一些先驅(qū)性工作。

同樣的，根據(jù)這個(gè)基本過程我們可以畫出兩個(gè)質(zhì)子之間的強(qiáng)相互作用過程：

而弱相互作用主導(dǎo)的過程一般都是生成了新的粒子。比如說在核反應(yīng)的過程中一個(gè)質(zhì)子衰變成了一個(gè)中子。
弱相互作用的基本過程分為不帶電的弱相互作用，也就是電荷守恒的過程，通過交換一個(gè)Z玻色子。

其次是電荷不守恒的帶電弱相互作用，通過交換一個(gè)W-玻色子。
注意這里說的電荷不守恒只是在相互作用前后電荷不守恒，費(fèi)曼圖中每個(gè)頂點(diǎn)處都是電荷守恒的(包括顏色、味道)。除此之外，帶電弱相互作用過程還會(huì)改變夸克的味道。

除此之外，引力在理論上是通過交換引力子來實(shí)現(xiàn)的。
費(fèi)曼圖幫助我們把基本粒子相互作用過程中的具體細(xì)節(jié)呈現(xiàn)出來，可以大大方便分析和計(jì)算過程。

原來除了香蕉球以外，足球中還藏著這么多有趣的物理呀！

今天又是腦洞大開的一天呢！

參考文獻(xiàn)：

[0] 封面圖片來自網(wǎng)絡(luò)

[1] 幾何原本，蘭紀(jì)正，周恩寬譯，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003年第2版

[2] 維基百科-Non-Euclidean_geometry

[3] Superconductivity in fullerides, O. Gunnarsson. Reviews of Modern Physics, Vol. 69, No. 2, April 1997.

[4] Solid C60: a new form of carbon, W. Kr?tschmer et al. Nature, Vol 347, 27,1990.

[5] Structure of single-phase superconducting K3C60, Peter W. Stephens et al. Nature, Vol 351, 20, 1991.

[6] 超導(dǎo)“小時(shí)代”之十七-朽木亦可雕, 羅會(huì)仟。物理（46卷），2017年，3期。

[7] 維基百科-Bechgaard_salt.

[8] BecKer E W. Z, Phys.146(1956)333.

[9] 金屬小團(tuán)簇的密度泛函理論研究和金屬納米團(tuán)簇材料的實(shí)驗(yàn)研究, 李喜波. 四川大學(xué)博士論文，2007年。

[10] 粒子物理導(dǎo)論，格里菲斯著，王青譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2017年第一版（原書第二版）。

編輯：Garrett