很久沒做數學內容了。 注意，這里不是教你如何解方程，而是用高中到大學視角探究市面上常見的解方程想法里面的bug。 解x3=ax+b。 令x=u+v，觀察u+v的立方公式。（u+v）3=u3+v3+3uv（u+v）。 到這里以后，市面上的教程往往讓你把u+v替換成x。但是uv為什么不替換？u，v和x也是有關系的。 局部替換是什么？這就是我接下來要討論的。 容易根據直覺寫出如下定義： 對于一個函數f（x，y），若存在函數h（x，y）使得任意x，y，f（x，y）恒等于g（x，y，h（x，y）），則稱g（x，y，h（x，y））是f（x，y）的一個局部替換，替換核為h（x，y）。 稱自由函數為g（x，y，z），簡稱g。相對地，局部替換g（x，y，h（x，y））簡稱gh。 顯然，局部替換是自由函數在z=h（x，y）曲面上的一個限制。 因此局部替換后，雖然可以通過研究自由函數g來研究與其限制在h上的局部替換恒等的f，但是g的性質并不直接繼承到f。例如g的最小值和最小值點都會因為約束條件的存在而發(fā)生變化，gh不再繼承。 但是因式分解呢？說起來就比較復雜了。 考慮三次方程的例子。 我們先澄清對比系數法的背景，引入對比系數法的嚴格表述，然后試著考慮這個例子的因式分解。 式子一邊是x3=ax+b，另一邊是（u+v）3=u3+v3+3uv（u+v）。如果按照網絡營銷號上的說法，片面地將u+v替換為x，那么右側就變成了x3=u3+v3+3uvx。注意a和b都與x無關，不是x的函數。 假設三次方程有1個根，便于理解。那么這個式子里其實不存在原生的真正的變量。在初等的理解里，x，u，v都是常數。當然這里u和v其實具備一定任意性，它們中的一個是自由變化的。 那么為什么要將x當成變量呢？只有當x是變量的時候才能使用對比系數法。 在數學分析中級函數的一節(jié)，確實有可能使用『擴充變量』的技術，但那個東西即便是研究生也不容易理解，而且有較強的上下文背景。我們盡量避免直接使用那種技術去解釋。 而且擴充變量法的問題只是在于，無腦使用正確率非常小，倒不是一定錯誤。 這里我們可以通過研究原方程的零點進行擴充變量，這樣一來x就被視為變量了。但是與此同時u和v也立刻變?yōu)榱俗兞俊? 首先我們用正常的變量代換，不去引入局部代換試試看。 我們引入任意變量u，以及原變量x。相當于分解一個變量，但分解方式待定。系統性地學習到這個知識大概是在數學分析上冊。 然后立方和公式變成x3=u3+（x-u）3+3u（x-u）x。 關于變量x，次數和原方程一樣，都是三次。 我們進行整理。但是并沒有得到有用的式子，整理后變成了0=0。 然后我們使用雅可比變換，把x，u替換為x，u（x-u）。如果變換是一一的，既然前者能用，那么后者也能用。 根據二項展開，使用二項分布的記法，可以記x-u為v。所以這個變換還挺好想的，就是u+v和uv。我們通過概率論和韋達定理的啟發(fā)可以把原方程轉化為求u+v和uv兩個值。 這個變換的雅可比矩陣為：1，0，＊，x-2u。星號不需要求出，因為上三角矩陣行列式被對角元素完全確定。所以行列式為x-2u。如果u不是x的一半，那么這個變換就一定是可用的?；跇O坐標變換的原理，即便u是x的一半，因為這樣的點不是很多，所以也可以試著考慮證明這個變換還是具備一對一變換的性質。當然現在暫時還沒有證明必要，先繼續(xù)做試試看。 接下來我們重寫立方和公式。我們把u+v仍然寫為x，uv寫為y。公式變成x3=u3+v3+3xy。接下來繼續(xù)消去u和v。 如果用立方和公式消去，很明顯我們可以發(fā)現又變成0=0了。 這里x和u是沒有關系的，x和y也是沒有關系的。我們現在試圖給它們指定一個關系，即指定x分解為u，v的方式。 我們可不可能令u3+v3與x無關？我們很顯然可以令u3與x無關，但涉及了v就不好說了。我們?yōu)榇讼瓤疾靫=0的時候u3+v3是一個關于u的函數，然后考察它的取值范圍。它是一個二次函數，所以取值范圍肯定是不自由的，因為不到R。具體來說是3u2-3u+1。開口向上，最小值1/4。從求導來看也可以說是無關的吧，前提是在這個范圍。如果擴張到復數上，自然就可以取到R，也就是無關了。 同理，x不等于0也一樣。雖然我沒有算過。 但是顯然可以由隱函數定理或者映射方式證明，u+v，uv，u3+v3不可能都自由。它們三個中給定兩個就能求出u和v的值，進而求出第三個的值。 我們進一步引入條件概率相關的思考。 雖然不能讓立方和公式完美還原原方程中x，a，b三個均互相無關的場面，但是如果在給定x的時候，x和uv無關且x與u3+v3無關，那么這個方法還是有可能用下去的。 如果給定x，不給定u和v，顯然uv和u3+v3的值域都是任意的。 這樣卡bug到底可不可行，就要通過探究『對比系數法』的根本原理來澄清了。 當然，那些流量公眾號一般是做不到這一點的。 對比系數法的最初級版本是這樣的： 如果函數f（x）是線性函數，g（x）也是線性函數，且f恒等于g，那么它們的兩個系數都是相等的。 同理可以發(fā)現，如果f，g都是多項式函數，不必要求同次，那么它們的可數無窮個系數也都是相等的。 如果f和g都是多元函數，結論也是一樣的。 不過從根本上，對比系數法是建立在線性空間和線性表示上的方法。 對于線性空間V，它有基an，諸an的線性函數為f（b），其中b是向量，表示基an的系數。若上述線性函數空間中兩個函數f，g有f恒等于g，那么兩個函數中的b相等。其實也就是對偶空間啦。 通俗地講對比系數法的原理，其實也就是嚴格對比系數法的證明，也就是線性空間中唯一性的證明，反證相減法。 回到剛才的例子。我們試圖把對比系數法擴張到另一個范圍。接下來我們設x是任意的自變量，a，b是與x無關的變量，但a，b也可以看做常數。 顯然，若ax+b恒等于cx+d，那么a等于c，b等于d。 若存在f，使得f（x，b）x+b恒等于cx+d，那么b還等于d嗎？ 顯然，取f=x-b/x，則由多項式的對比系數法，d=0但b不一定等于0。所以是不成立的。 轉化為三次方程的例子，f（x，a）x+a恒等于3x+1，那么能用對比系數法說f（x，a）=3且a=1嗎？ 顯然不能。比如f=x就破壞了第一條，顯然還可以構造出違反兩條的f。 原解法的無效性一覽無遺。 那么在這個式子中，我們試著考慮局部換元后的自由函數g。 ax+b-u3-v3-3uvx。 既然無法做對比系數法，那只好強行分解為其本身，即在自由函數g（a，b，u，v，x）中存在x0為其關于x的線性函數的唯一零點。 那么這自由函數在題中有何限制？只有唯一一個，x=u+v。我們現在來看看x0是否在x=u+v這個子集（流形）上。為此我們固定a，b，考察截面函數gab（u，v，x）。 然而目前由于對比系數法無法使用，我們有5個量但只有3個約束。即便這樣仍有成功證明這一點的可能。可是即便成功，我們也將發(fā)現已有的3個約束方程（自由函數為0，立方和方程，初始方程）的信息包括了u+v=x，所以還是只有三個方程，缺少兩個方程。 盡管你可以自由地探索，反正做完驗證就行了，但是人不能事后諸葛亮，至少以我目前的嘗試看來，強行做對比系數法沒有任何先驗的道理。