前段時間和朋友們聊天說起來，在計算機技術發(fā)展起來之前，炮兵是個要求極高的技術兵種。尤其是手搖式的計算器發(fā)明之前，甚至需要在戰(zhàn)場上手算彈道。而其中最重要的數學工具就是三角函數。

那么，三角函數也能手算？

當然，用泰勒展開式就可以把三角函數轉換成多項式形式，計算近似值。

下面直接上公式。（我數學一般，就不搬運證明過程了）

其余幾個，tan呀sec什么的，展開式對我這種學渣來說太難了，就沒抄。反正只要會算sin和cos其它都能推算出來。

顯然我們沒有辦法計算無窮級數的和。但是如果只是想要一個近似值的話，只需計算級數的前幾項就可以了。具體取決于實際的精度需求。

舉個例子，假如需要計算cos17°的近似值，要求精度為百萬分之一。需要計算幾項呢？

精度為百萬分之一，也就是說，計算值與實際之差的絕對值要小于千萬分之五。

而在計算過程中的中間值的近似值就要取到千萬分之一級。

所以，第一步，將17°轉換為弧度值的時候，π值要取3.1415927 。

角度17°的弧度近似值就是0.2967060 。

※千萬分之一的小數必須寫滿7位，時即使最末位是0也不能省略。但是輸入計算器或電腦計算的時候無所謂。

接下來就是對比計算結果來選擇項數了。本學渣這里就不手工計算了，而是借用上個世紀的科技幫忙。

先用Excel自帶的VBA編程工具寫一個基于泰勒展開新余弦函數，姑且就叫cosTay 。

函數需要2個輸入變量，弧度值和項數。

代碼如下：

Function cosTay(a As Double, n As Integer) As Double

?Dim i As Integer

?Dim k As Double

? For i = 0 To n

?? k = Application.WorksheetFunction.Fact(2 * i)

?? cosTay = cosTay + ((-1) ^ i) * (a ^ (2 * i)) / k

? Next i

End Function

※引入k是因為調用Excel自帶的階乘（Fact）函數這句話有點長，這樣寫看起來舒服一點。

?

然后寫一個計算對比值的模塊，輸出直到達到精度需求前的計算值。

代碼如下：

Sub test()

?Dim n As Integer

?Dim a As Double

?Dim d As Double

? a = 0.296706

? n = 1

? Do

?? Cells(n + 1, 1).Value = Cos(a)

?? Cells(n + 1, 2).Value = cosTay(a, n)

?? d = Abs(Cos(a) - cosTay(a, n))

?? Cells(n + 1, 3).Value = d

?? n = n + 1

? Loop While d >= 5 / 10000000

End Sub

運行以后的輸出如下

原來，只需計算3項（也可以說4項，因為從n=0開始算的），精度別說千萬分之一了，都已經億分之一了。

當然了，這個精度和輸入的弧度值也有一點關系。

如果是53°，弧度值0.9250245，就需要4項才能達到同等精度。如下表。

輸入的弧度值越大就需要計算更多的項數來確保精度。當然，也可以通過加法定理將需要計算的弧度值變得小一些，這樣就不必計算太多項。

比如：

這樣就從計算53°變成計算7°了。

?

?

再來看一個我在工作中遇到的實例。

我拿到幾千張畫稿，上面大概是這樣的圖像。

有一系列階梯下降的短橫線，長度是3mm。相鄰的兩條橫線在豎直方向上的理論間距是0.0400mm（我不能說真實的數值，這是隨意擬的同數量級的一個數值）。通過測量實際間距和理論值的接近程度來評價成像精度的優(yōu)劣。

現有的工具可以對掃描稿件進行分析，得出所有相鄰兩條橫線（中點）的間距。但是，由于實際印刷、掃描時不可避免的存在歪斜。所以需要增加一個對歪斜角度的補償功能。

這里就把它當一道數學題來做，要求精度是萬分之一。

通過上面這個圖應該比較容易看出來。原有工具導出的結果為D，歪斜角是α，短線長是L，需要計算的是D’ 。于是有：

因為需求精度并不太高，所以將三角函數轉換為n=2的泰勒級數。

這樣就已經是一個能夠筆算的程度了。

雖然我想不會有人想看，但還是寫一個實例。

D取0.3000，L取3，α取5° ，π取3.14159 ；代入計算（盡量約分）：

弧度取0.08727 。

如今，不會有人想去筆算這樣的式子，所以我告訴大家結果，是0.0387 。

然而，在計算機技術普及之前，這是全世界眾多科學家和工程師們解決問題的必經之路。