20世紀初，一顆天才的數(shù)學亮星在印度升起.他的傳奇經(jīng)歷至今仍為人們驚異不已： 沒有正規(guī)學歷，貧病交迫，哈代發(fā)現(xiàn)天才，不按常規(guī)做數(shù)學卻發(fā)表了大量的數(shù)學成果，33歲去世，留下3卷筆記本······這,就是拉馬努金(Srinivasa Aaiyangar Ramanujan,1887~1920). 　　1991年，一本有關(guān)印度天才數(shù)學家拉馬努金的傳記出版，書名是《一個博學的人——拉馬努金天才的一生》(The ManWho Knew Infinity——A Life of Genius Ramanujan).有關(guān)這位傳奇數(shù)學家的研究出現(xiàn)了新的高潮.作者寫道：“1987年，當拉馬努金誕生100周年時，他的聲譽閃耀著新的光輝.”在印度，他和尼赫?拉馬努金魯、諾貝爾物理學獎獲得者拉曼(Chandrasekhara Venkata Raman, 1888~1970) 幾乎同時舉行誕生百年的紀念活動.有關(guān)他們?nèi)说纳皆谟《榷家褦z制成電影.“拉馬努金數(shù)學會”在1986年成立，同年，出版了該會雜志的第一卷. 　　1887年12月22日，拉馬努金出生于印度南部的城市埃羅特(Erode),幼時由祖父母照看,父親在昆巴科南(Kombakonam)的一間服裝店任會計，拉馬努金也在那里長大成人. 這兩個地方離開印度的大城市——馬德拉斯(Madras)約240千米. 　　拉馬努金的少年時代沒有確切的記載可查.傳說他在12歲時借閱過龍內(nèi)(Loney)寫的《三角學》(Trigonomrtry).此書的內(nèi)容遠超過三角學，還包括指數(shù)函數(shù)、復數(shù)的對數(shù)、雙曲函數(shù)、無窮級數(shù)、無窮乘積，以及三角函數(shù)的展開.可以肯定的是，拉馬努金在15歲時從當?shù)亍罢畬W院”里借過卡爾(Carr)著的《純粹數(shù)學基本結(jié)果提要》(Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics)一書，而且為它著了迷.卡爾是英國劍橋大學的教師，這本《提要》匯集了他在教學中遇到的大約6000條定理，多半是微積分和幾何，沒有復變函數(shù)論和橢圓函數(shù)的知識.卡爾的書極少給證明，即使有，也非常簡短.一般認為，拉馬努金受卡爾此書的影響很深. 他的數(shù)學研究大多采取“只寫結(jié)果，少給證明”的方式，恐怕是從卡爾的《提要》學來. 但是，拉馬努金的早期貢獻很多是關(guān)于橢圓模函數(shù)、復變函數(shù)的，卻不知道他從何處獲得這類知識. 　　1903年，拉馬努金通過馬德拉斯大學主持的入學考試，成績一流，進入昆巴科南的政府學院就讀. 但他完全沉浸在數(shù)學的學習和研究之中，不學任何其他的科目.一年之后，他在英語和生理學兩科的考試中不及格：因而退學.四年之后，1908年，拉馬努金又進入馬德拉斯的帕采雅巴(Pachaiyappa)學院，也是因同樣的原因未通過考試而離校.這已到了1909年，拉馬努金結(jié)婚了.沒有人知道拉馬努金在1903~1910年間是如何研究數(shù)學的，現(xiàn)在只看到他寫下的大量的筆記. 　　馬德拉斯地方行政機構(gòu)的常任稅務(wù)官V. R.艾亞(V. R. Ai-yar)，也是印度數(shù)學會的奠基人. 1910年，已結(jié)婚的拉馬努金需要掙錢養(yǎng)家，就設(shè)法求見艾亞，說明他的數(shù)學能力，并希望在他的辦公室里安排一個工作.艾亞轉(zhuǎn)而介紹給拉馬努金以前在昆巴科南的政府學院時的老師 P. V. S.艾亞(P. V. Seahu Aiyar),P. V. S.艾亞再轉(zhuǎn)給另一位比較富裕的數(shù)學家拉奧(R. Ramachandra Rao,1935~ ).拉馬努金的數(shù)學筆記本給拉奧很深的印象，因而毫不猶豫地按月給拉馬努金發(fā)薪，使他能繼續(xù)從事數(shù)學研究，而不必擔心基本的生活.可以說，拉奧是認識拉馬努金數(shù)學天才的第一人. 1911 年，拉馬努金的第一篇數(shù)學論文在《印度數(shù)學會雜志》(Journal of Indian Mathematical Society)上發(fā)表. 1912年2月,拉馬努金在馬德拉斯海港托拉斯的辦公室有了一份工作，年薪30英鎊.這個托拉斯的主席是英國工程師斯必林(F. Spring)，經(jīng)理則是數(shù)學家S. N.艾亞(S. N. Aiyar). 他們兩人都對拉馬努金的生活十分關(guān)心，并鼓勵他和英國數(shù)學家進行聯(lián)系. 　　拉馬努金曾和兩位英國數(shù)學家聯(lián)系過，但沒有熱烈的反應(yīng).1913年1月16日，拉馬努金給英國數(shù)學大家哈代寫信，信中希望“在你的朋友中能有人對我的工作懷有好感”.哈代收到信之后，開始也沒有當一回事.因為那時來信說“已經(jīng)證明了費馬大定理”的人很多.收信后的那天晚上，哈代和李特爾伍德在三一學院從休息室走向下棋室時，哈代說起有一個印度人來信，他要么是怪人，要么是天才.兩人研究了兩個半小時之后，一致判斷為“天才”.信中所附的定理中，有些是錯的，有些是已知的，但也有許多是新的.哈代后來回憶說，“信中關(guān)于連分數(shù)的一些結(jié)果，即使它不全對，恐怕也沒有人能想象得出”. 　　哈代毫不遲延地給拉馬努金復信，要他立即來英國劍橋，但由于印度的婆羅門種姓觀念，以及拉馬努金母親的反對，拉馬努金沒有接受這一邀請. 另一方面，英國氣象學家沃克(G. Walker)爵士寫信給馬德拉斯大學，希望給予拉馬努金以正式承認： 從1913年5月1日起每月發(fā)給學者津貼75盧比，條件是每三個月寫一個研究報告交來.拉馬努金一共寫了4個報告，現(xiàn)在還都保存著. 1914年初，劍橋數(shù)學家耐維爾(E. H. Neville)來馬德拉斯大學演講，任務(wù)之一是勸說拉馬努金去劍橋. 大概是由于斯必林、沃克、耐維爾等人的努力，才說服了拉馬努金的母親. 1914年3月17日，拉馬努金乘船去英國. 　　在英國的三年內(nèi)，拉馬努金過得十分愉快，且是數(shù)學多產(chǎn)的時期. 哈代說：“拉馬努金幾乎每天都有半打的新結(jié)果出來.”拉馬努金在歐洲一共發(fā)表了21篇論文、17篇注記. 1918年，他當選為英國皇家學會會員.關(guān)于拉馬努金的數(shù)學才能，有許多神奇的傳說.有一次，哈代到醫(yī)院去看望拉馬努金，所坐的汽車號碼是1729，哈代想了一想， 沒有什么結(jié)果.在病房里說：“這個數(shù)沒意思.”拉馬努金說：“不，這個數(shù)字很有趣，因為這是能用兩種方法表示為立方數(shù)之和的最小整數(shù)，即?13+123=1729=93+103.”?這一傳說相當可靠，因為拉馬努金早些年曾考慮過這一數(shù)字，并在筆記本上有所記載. 　　盡管在劍橋有良好的生活條件，但是，拉馬努金不適應(yīng)英國潮濕的氣候， 1917年開始患上了肺結(jié)核.他住過5次療養(yǎng)院，有護士照看，但體重不斷下降. 他于是想回印度.當?shù)谝淮问澜绱髴?zhàn)結(jié)束，海路通行時，拉馬努金于1919年2月啟程回國.在印度，他繼續(xù)研究q-級數(shù),寫下了一本筆記(被稱為遺失的筆記(Lost notebook)).印度的氣候并沒有使病情好轉(zhuǎn)，1920年4月16日，拉馬努金去世. 　　對于拉馬努金的早逝，哈代十分惋惜.他一直幫助整理拉馬努金的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，給予高度的評價.1936年，哈代在美國的哈佛大學作了兩次演講，介紹拉馬努金的工作，并把這兩次演講擴展成一本專著，書名就是《拉馬努金》，1940年由劍橋大學出版社刊行， 1959年在美國重版(切爾西(Chelsea)出版社，紐約).拉馬努金的《論文選集》(Selected Papers)也由切爾西出版社出版. 　　但是，人們更感興趣的是拉馬努金未曾發(fā)表的3本筆記本，以及前面提到的“遺失的筆記”(那是近100頁散失的手稿)，其中記載著許多公式和定理. 拉馬努金1919年回國時把第一本筆記留在哈代那里，一年之后由哈代交給來劍橋訪問的馬德拉斯大學圖書館館長. 第二、第三本在拉馬努金去世后，也捐給了馬德拉斯大學圖書館.哈代根據(jù)第一本筆記，用了整整4個月的時間，寫了一篇論文:《拉馬努金筆記中的一章》(A Chapter from Ramanujan'sNotebook)[7]， 介紹其中的一章——超幾何級數(shù)， 指出拉馬努金發(fā)現(xiàn)了很多重要結(jié)果，其中許多是新的，這引起更多人的關(guān)注. 　　1974年，比利時數(shù)學家德利涅證明了拉馬努金的“τ猜想”.這是關(guān)于數(shù)論函數(shù)τ(n)的一個漸近估計式：|τ(n)|≤2（n^α）,其中α=（11/2）. 拉馬努金本人證出α= 7，哈代降到6，他的學生蘭金(Robert Alexander Rankin, 1915~ )降到α=（29/5）,但還不到（11/2）.最后德利涅用現(xiàn)代的代數(shù)幾何工具，出人意料地完全證實了拉馬努金的猜想.這一工作使德利涅獲得1978年的菲爾茲獎.拉馬努金的數(shù)學天才也進一步得到數(shù)學家的重視. 　　早在1920年代，哈代就曾強烈地呼吁整理拉馬努金的筆記，并加以出版. 1929年,沃森(George Neville Watson, 1886~1965)和威爾森(B. M. Wilson)著手進行編輯.威爾森做了大量的工作，卻不幸于1935年早逝(僅38歲)，沃森也做了一些， 后來轉(zhuǎn)去做其他事了.以后，第二次世界大戰(zhàn)開始，此事只得擱下，直至1947年哈代去世，筆記未能整理完成. 1949年，馬德拉斯大學圖書館將筆記拍照制成3份拷貝.1954年，印度數(shù)學會在新德里開會，建議出版筆記.最后，由印度塔塔基礎(chǔ)科學研究所將拉馬努金的筆記分成兩卷，于1957年影印出版，這樣，在世界各主要圖書館，都可以見到筆記本的內(nèi)容了. 　　然而，拉馬努金的筆記需要整理才能為大家所理解. 1974年1月，美國數(shù)學家伯恩特(Bruce C. Berndt)在普林斯頓高級研究所訪問，偶然看到一篇文章，用其中的結(jié)果證明了拉馬努金筆記本中的兩條定理.這使他對筆記本發(fā)生興趣.大約從1977年的5月起，伯恩特來到伊利諾斯大學，打算把筆記本里第14章的公式全部證明出來. 1988年，計算機檢索開始啟用，有關(guān)拉馬努金筆記本的論文已有三百余篇.伯恩特全身心地投入這一工作，把目標進一步擴大，打算把拉馬努金的筆記中每一個公式和定理都加以證明(如果別人已經(jīng)證明過，只引出文獻)，共分三卷出版. 1985年，《拉馬努金筆記(第一卷)》(Ramanujan’s Notebooks(Part I))由施普林格出版社(Springer-Verlag)正式刊行.第二、第三卷也在1990年和1995年先后出版. 　　伯恩特在該書的引言中，對拉馬努金的筆記作了總體的評論，其要點為： 　　1.哈代在看過第一本筆記后曾估計，其中約有三分之二是重復別人的結(jié)果，只有三分之一是新的.伯恩特認為，總的說來，新的成分不止三分之一.此外，有些結(jié)果是交叉在一起的，拉馬努金的一個公式是好幾個人的結(jié)果的總和，這也是有新意的. 　　2.筆記并非提交發(fā)表的論文，尚未經(jīng)充分核查，有錯是難免的. 但是錯誤只出現(xiàn)在一些局部的結(jié)果上，整體地看，沒有發(fā)現(xiàn)大的錯誤. 　　3.筆記的結(jié)果包含一部分論證，但多數(shù)沒有給出證明.筆記是給自己看的，許多證明也許覺得不必寫出.同時，家境的困難也不允許大量用紙，有些筆記是寫在包裝紙上的. 　　4.拉馬努金給出的這些論證以現(xiàn)在的標準來看，嚴格性是不夠的.他常常用級數(shù)的形式運算，積分和級數(shù)隨意交換，取極限而不考慮收斂與否等等. 但伯恩特認為，他的缺點也許正是他的優(yōu)點. 由于沒有那些框框，所以他能把他敏銳的直覺寫下來. 如果都要詳細論證才寫，筆記本里的許多天才的新成果，就不會出現(xiàn)，這將是一個損失. 　　總的來說，伯恩特同意哈代的論斷，基本上，拉馬努金的思考方式和我們大多數(shù)數(shù)學家是一樣的. 他運用直覺猜測，和已知結(jié)果作比較，并設(shè)法給證明.只不過證明的嚴格程度和今天的標準不同而已.許多傳說故事講拉馬努金在夢中接受神的指點，那是無法證實也無法否認的事，我們看到的筆記是有目的、有系統(tǒng)的數(shù)學思考的結(jié)果.如果想到拉馬努金當時是何等孤立，沒有任何參考書和與別人討論的機會，他能作出如此精確的判斷，決非僥幸之事. 至于他的真正思考過程，他的數(shù)學研究方法，仍是一個沒有完全解決的謎，值得后人繼續(xù)研究.一個較為合理的說法是，古印度和古希臘的數(shù)學傳統(tǒng)是不一樣的，古希臘強調(diào)邏輯演繹，古印度崇尚歸納和直覺. 現(xiàn)今數(shù)學的嚴格性是人為的，從拉馬努金的研究風格來看，也許這種規(guī)范還有改進的必要. 印度數(shù)學有過輝煌的歷史，但在近代已漸漸沒落.淪為英國殖民地之后，傳統(tǒng)數(shù)學更停止發(fā)展.19世紀50年代英國殖民政府建立現(xiàn)代意義下的大學，數(shù)學教學的內(nèi)容完全按歐洲的傳統(tǒng)設(shè)置. 　　印度的數(shù)學在拉馬努金之后有許多發(fā)展，特別是1947年印度擺脫英國殖民統(tǒng)治而獨立后，教育系統(tǒng)逐漸完備，數(shù)學教育水準有很大的提高.不過大學的數(shù)學課程改革不夠，教學內(nèi)容相當陳舊，數(shù)學研究也很弱.印度的數(shù)學研究集中在兩個研究所，一個是孟買的塔塔基礎(chǔ)研究所(Tata Institute of Fundament of Research,簡稱TIFR)，1945年建立；另一個是1931年設(shè)在加爾各答的印度統(tǒng)計研究所(Indian Statistical Institute,簡稱ISI).這兩個研究所設(shè)有研究生院,TIFR 由錢德拉塞赫蘭(Komaravolu Chandrasekharan,1920~ ) 領(lǐng)導, ISI 則由拉奧(Calyampudi Radkakrishna Rao,?1920~ )負責，都有很高的水平. 不過，像許多發(fā)展中國家一樣，一些優(yōu)秀的數(shù)學家都是在國外受教育和工作的.最著名的要數(shù)哈里希-錢德拉(Harish-Chandra, 1923~1983),他在李群表示論上的工作，屬于世界一流. 　　有人曾比較拉馬努金和哈里希-錢德拉的某些相似之處[4].例如，哈代曾這樣評論拉馬努金：“他發(fā)現(xiàn)了ζ函數(shù)的函數(shù)方程，但他從未聽說過雙周期函數(shù)或柯西定理，事實上連模糊的復變函數(shù)概念也沒有……”另外，著名的數(shù)論專家朗蘭茲在評論哈里希-錢德拉時說：“他從事數(shù)學相對較晚，盡管有很強的原發(fā)性意念，但有很多數(shù)學領(lǐng)域他從未認真涉獵過……可以毫不夸張地說，他在需要時就自己制造工具，一個本世紀的宏偉數(shù)學理論是被一個只學過高等微積分課程的人構(gòu)造出來的.”兩人的相似之處，還是很明顯的. 　　1995年，在伯恩特工作的伊利諾斯大學，召開過一個國際會議，專門討論拉馬努金的筆記.拉馬努金之謎，仍在繼續(xù)著. 參考文獻

[1] Hardy G H. Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggestedby his life and work. New York: Chelsea Publishing Company,1959 [2] Berndt B C. Ramanujan's notebooks. Part I, II, III. New York:Springer-Verlag, 1985~1995 [3] Ramanujan A S. Collected Papers. New York: Chelsea Publish-ing Company, 1962 [4] Kumar V. Ramanujan and Harish-Chandra. The MathematicalIntelligencer, 1993, 15(2) [5] Kanige l R. The man who knew infinity: a life of genius Ramanujan. New York: Charles Scribner’s Sons, 1991 [6] Berndt B C & Rankin R A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence: American Mathematical Society, 1995 [7] Hardy G H. A Chapter from Ramahujan’s Notebook. Cambridge Phil. Soc., 1923, 21: 492~503