? 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有著很多種證明方法，但大多證明過程比較復(fù)雜(比如常用的二階常系數(shù)線性微分方程的解)，對(duì)剛剛學(xué)完簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的高中生并不太友好。在這里我想分享一種"定義法"，希望可以幫助同樣想知道這個(gè)公式是怎么來的朋友較方便的理解。

? (注:這個(gè)證明僅供參考，如果存在任何問題都可以在評(píng)論區(qū)指出。)

證明：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)公式：y=Asin(wt+z)? (ps:z在這里暫時(shí)代表初相位)

? 令：存在一坐標(biāo)軸，有方程：X^2+Y^2=A^2（半徑為A）

? 我們假設(shè)：有一個(gè)小球m，在圓的軌道方程上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，方向速度向上（見圖1）根據(jù)數(shù)學(xué)上的知識(shí)點(diǎn)，可以很容易得到這個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸的相應(yīng)數(shù)據(jù)方程，包括位移和力的大小。

? 此時(shí)，有F向=mw^2A,大小恒定。

? 又有：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本也最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)。當(dāng)某物體進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的力跟位移成正比，并且總是指向平衡位置。

? 由我們學(xué)過的知識(shí)有回復(fù)力公式：F=-ky（K為一個(gè)常數(shù)，y是位移，-指方向。）

? 又，我們可以先回憶一下我們高中學(xué)過的三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。如果按照我們畫出的圖來，那么我們可以得到如下的公式。

? y=Asin(wt+z)，x=Acos(wt+z),2兀/T=w

??

? 上面的這兩個(gè)公式是:小球m在坐標(biāo)軸上的位移投影。也可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為:在t時(shí)刻，小球的坐標(biāo)(x,y)。

? 也就是說，現(xiàn)在我們需要證明的是:Y軸它確實(shí)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，換句話說就是:這個(gè)小球在y軸的投影的運(yùn)動(dòng)過程，它為什么是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？我們剛剛說了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義，我們只需要證明它的豎直方向的分力和它的位移成正比，那么我們的問題就迎刃而解了。

? 這個(gè)問題我們要怎么證明？如下圖所示，我們對(duì)之進(jìn)行受力分析。

? 最終我們得到:F分=mw^2(A.sin(wt+z))

? 我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程，它跟位移成正比關(guān)系，此時(shí)，它的位移應(yīng)該是(A.sin(wt+z))，前面的mw^2可以試做k，也就是寫成:F分=kx，再根據(jù)我們圖上所得，可以發(fā)現(xiàn)力在方向和大小上都符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義。

? 同樣的，我們還發(fā)現(xiàn):如果我們進(jìn)行受力分析的話，這個(gè)f在x軸上的投影分力為零，有速度的最大值。在兩個(gè)最遠(yuǎn)端的時(shí)候，有力的最大值，但速度投影最小值。這是符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的這一點(diǎn)可以證明我們的思路并沒有出現(xiàn)太大的問題。

? 那么，根據(jù)我們以上所得的信息:

因?yàn)?，我們可以求出來它在y軸的投影位移公式。

又因?yàn)?我們?cè)诹W(xué)上，定義上證明了在y軸上的投影運(yùn)動(dòng)確實(shí)滿足了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件和規(guī)律。

所以我們可以認(rèn)為:勻速圓周運(yùn)動(dòng)在y軸的投影運(yùn)動(dòng)過程，數(shù)據(jù)是完全符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的，此時(shí)，Y軸投影的位移公式就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移公式。

? 在這里，我在附上一張手寫證明過程:

? 希望這些證明對(duì)這些感興趣的人能有一些幫助，并希望那些有才華的人在評(píng)論區(qū)中指出我的錯(cuò)誤或者改正建議。謝謝你們。